Τα συστήματα αριθμών είναι θέσεις, μη θέσεις και μικτά. Αναφορά: Σύστημα θέσεων αριθμών


Ένα αριθμητικό σύστημα είναι μια συλλογή συμβόλων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών.
Το σύστημα αριθμών περιλαμβάνει: το αλφάβητο, δηλαδή ένα σύνολο χαρακτήρων για τη γραφή αριθμών, έναν τρόπο εγγραφής αριθμών, έναν τρόπο ανάγνωσης αριθμών. Χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: θέσεις και μη θέσεις.


Ονομάζονται συστήματα αριθμών θέσης, στα οποία η τιμή ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση (θέση) του στη σημειογραφία του αριθμού. Ονομάζονται συστήματα μη θέσεων αριθμών, στα οποία η τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση (θέση) του στη σημείωση του αριθμού.

Η θέση μας είναι γνωστή σε Καθημερινή ζωήδεκαδικό σύστημα αριθμών, στο οποίο η τιμή (βάρος) ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στη σημειογραφία του αριθμού. Στον αριθμό 1111, ο ίδιος αριθμός 1 σημαίνει διαδοχικά ένα, δέκα, εκατό, χίλια.

Όλα τα συστήματα αριθμών που χρησιμοποιούνται στην επιστήμη των υπολογιστών (δυαδικά, οκταδικά, δεκαεξαδικά, κ.λπ.) είναι θέσεις. Αυτό είναι σημαντικό, επειδή οι κανόνες για το σχηματισμό αριθμών, τη μεταφορά από το ένα σύστημα στο άλλο και την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε όλα τα συστήματα θέσης είναι παρόμοιοι.

Το σύστημα αριθμών χωρίς θέση είναι, για παράδειγμα, ρωμαϊκό. Οι κανόνες για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε συστήματα αριθμών μη θέσης είναι εντελώς διαφορετικοί.

Στο 2ο σύστημα η βάση είναι 2, δηλ. Χρησιμοποιούνται μόνο 2 ψηφία - 0 και 1. Στο 8ο σύστημα, η βάση είναι το 8, οι αριθμοί από το 0 έως το 7. Στο 16ο σύστημα, η βάση είναι το 16, οι αριθμοί από το 0 έως το 15. Χρησιμοποιώντας το οι αριθμοί 10, 11, 12, 13, 14, 15 στη γραφή αριθμών δεν είναι βολικό, επειδή είναι δύσκολο να διακρίνει κανείς, για παράδειγμα, τον αριθμό 12 από δύο αριθμούς - 1 και 2. Ως εκ τούτου, συμφωνήθηκε να υποδηλωθούν οι αριθμοί από το 10 έως 15 με λατινικά γράμματα με αλφαβητική σειρά A, B, C, D, E, F.


Τα συστήματα αριθμών θέσης είναι συστήματα στα οποία η τιμή ενός ψηφίου καθορίζεται από τη θέση (θέση) του στον αριθμό.
Η θέση των ψηφίων ονομάζεται ψηφίο του αριθμού. Τα συστήματα αριθμών θέσης διακρίνονται από τις βάσεις τους, όπου η βάση είναι ο αριθμός των ψηφίων που χρησιμοποιούνται στα συστήματα αριθμών.
Για παράδειγμα: δυαδικό σύστημα αριθμών (A2), οκταδικό σύστημα αριθμών (A8) κ.λπ.
Τα συστήματα μη θέσεων αριθμών είναι συστήματα στα οποία η τιμή ενός ψηφίου δεν καθορίζεται από τη θέση (θέση) του στον αριθμό.
Για παράδειγμα: Ρωμαϊκό σύστημα αριθμών (II, V, XII)

Αριθμητικά συστήματα - τι είναι; Ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε την απάντηση σε αυτό το ερώτημα, ο καθένας από εμάς χρησιμοποιεί ακούσια συστήματα αριθμών στη ζωή του και δεν το υποπτεύεται. Σωστά, πληθυντικός! Δηλαδή όχι ένα, αλλά πολλά. Πριν δώσουμε παραδείγματα συστημάτων αριθμών χωρίς θέση, ας εξετάσουμε αυτό το θέμα, ας μιλήσουμε και για συστήματα θέσεων.

Ανάγκη για λογαριασμό

Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι είχαν την ανάγκη για μέτρηση, δηλαδή συνειδητοποιούσαν διαισθητικά ότι έπρεπε να εκφράσουν με κάποιο τρόπο μια ποσοτική οπτική των πραγμάτων και των γεγονότων. Ο εγκέφαλος πρότεινε ότι ήταν απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν αντικείμενα για μέτρηση. Τα δάχτυλα ήταν πάντα τα πιο βολικά, και αυτό είναι κατανοητό, γιατί είναι πάντα διαθέσιμα (με σπάνιες εξαιρέσεις).

Έτσι, οι αρχαίοι εκπρόσωποι της ανθρώπινης φυλής έπρεπε να λυγίσουν τα δάχτυλά τους με την κυριολεκτική έννοια - για να υποδείξουν τον αριθμό των σκοτωμένων μαμούθ, για παράδειγμα. Δεν υπήρχαν ακόμη ονόματα για τέτοια στοιχεία του λογαριασμού, αλλά μόνο μια οπτική εικόνα, μια σύγκριση.

Σύγχρονα συστήματα αριθμών θέσης

Το σύστημα αριθμών είναι μια μέθοδος (τρόπος) παρουσίασης ποσοτικών τιμών και ποσοτήτων μέσω ορισμένων σημείων (σύμβολα ή γράμματα).

Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τι είναι θέσιο και μη θέσιο στη μέτρηση πριν δώσουμε παραδείγματα συστημάτων αριθμών χωρίς θέση. Υπάρχουν πολλά συστήματα αριθμών θέσης. Τώρα τα ακόλουθα χρησιμοποιούνται σε διάφορους τομείς γνώσης: δυαδικό (περιλαμβάνει μόνο δύο σημαντικά στοιχεία: 0 και 1), δεκαεξαδικό (αριθμός χαρακτήρων - 6), οκταδικό (χαρακτήρες - 8), δωδεκαδικό (δώδεκα χαρακτήρες), δεκαεξαδικό (περιλαμβάνει δεκαέξι χαρακτήρες). Επιπλέον, κάθε σειρά χαρακτήρων στα συστήματα ξεκινά από το μηδέν. με βάση τη χρήση δυαδικών κωδικών - ένα δυαδικό σύστημα αριθμών θέσης.

Σύστημα δεκαδικών αριθμών

Η θέση είναι η παρουσία σημαντικών θέσεων σε διαφορετικό βαθμό, στις οποίες βρίσκονται τα σημάδια του αριθμού. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί καλύτερα χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του συστήματος δεκαδικών αριθμών. Εξάλλου, έχουμε συνηθίσει να το χρησιμοποιούμε από την παιδική ηλικία. Υπάρχουν δέκα σημάδια σε αυτό το σύστημα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Πάρτε τον αριθμό 327. Έχει τρία σημάδια: 3, 2, 7. Κάθε ένα από αυτά βρίσκεται στο τη δική του θέση (τόπος). Το επτά παίρνει τη θέση που προορίζεται για μεμονωμένες τιμές (μονάδες), το δύο - δεκάδες και οι τρεις - εκατοντάδες. Δεδομένου ότι ο αριθμός είναι τριψήφιος, υπάρχουν μόνο τρεις θέσεις σε αυτόν.

Με βάση τα παραπάνω, ένας τέτοιος τριψήφιος δεκαδικός αριθμός μπορεί να περιγραφεί ως εξής: τριακόσιες, δύο δεκάδες και επτά μονάδες. Επιπλέον, η σημασία (σημασία) των θέσεων μετράται από αριστερά προς τα δεξιά, από μια αδύναμη θέση (μία) σε μια ισχυρότερη (εκατοντάδες).

Αισθανόμαστε πολύ άνετα στο σύστημα δεκαδικών θέσεων. Έχουμε δέκα δάχτυλα στα χέρια μας και το ίδιο στα πόδια μας. Πέντε συν πέντε - έτσι, χάρη στα δάχτυλα, φανταζόμαστε εύκολα μια ντουζίνα από την παιδική ηλικία. Γι' αυτό είναι εύκολο για τα παιδιά να μάθουν τους πίνακες πολλαπλασιασμού για πέντε και δέκα. Και είναι επίσης τόσο εύκολο να μάθετε πώς να μετράτε τα τραπεζογραμμάτια, τα οποία τις περισσότερες φορές είναι πολλαπλάσια (δηλαδή διαιρούνται χωρίς υπόλοιπο) με το πέντε και το δέκα.

Άλλα συστήματα αριθμών θέσης

Προς έκπληξη πολλών, πρέπει να πούμε ότι όχι μόνο στο σύστημα δεκαδικών μετρήσεων, ο εγκέφαλός μας έχει συνηθίσει να κάνει κάποιους υπολογισμούς. Μέχρι τώρα, η ανθρωπότητα χρησιμοποιούσε έξι και δωδεκαδικά συστήματα αριθμών. Δηλαδή, σε ένα τέτοιο σύστημα υπάρχουν μόνο έξι χαρακτήρες (σε δεκαεξαδικό): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Στο δωδεκαδικό υπάρχουν δώδεκα από αυτούς: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 , A, B, όπου A - δηλώνει τον αριθμό 10, B - τον αριθμό 11 (καθώς το πρόσημο πρέπει να είναι ένα).

Κρίνετε μόνοι σας. Μετράμε τον χρόνο σε έξι, έτσι δεν είναι; Μια ώρα είναι εξήντα λεπτά (έξι δεκάδες), μια μέρα είναι είκοσι τέσσερις ώρες (δύο επί δώδεκα), ένας χρόνος είναι δώδεκα μήνες, και ούτω καθεξής... Όλα τα χρονικά διαστήματα χωρούν εύκολα σε έξι και δωδεκαδικές σειρές. Αλλά είμαστε τόσο συνηθισμένοι σε αυτό που δεν το σκεφτόμαστε καν όταν μετράμε τον χρόνο.

Συστήματα αριθμών χωρίς θέση. Unary

Είναι απαραίτητο να αποφασίσετε τι είναι - ένα σύστημα αριθμών χωρίς θέση. Αυτό είναι ένα τέτοιο σύστημα σημείων στο οποίο δεν υπάρχουν θέσεις για τα σημάδια ενός αριθμού ή η αρχή της "ανάγνωσης" ενός αριθμού δεν εξαρτάται από τη θέση. Έχει επίσης τους δικούς του κανόνες για τη γραφή ή τον υπολογισμό.

Ας δώσουμε παραδείγματα συστημάτων αριθμών χωρίς θέση. Ας πάμε πίσω στην αρχαιότητα. Οι άνθρωποι χρειάζονταν έναν λογαριασμό και βρήκαν την πιο απλή εφεύρεση - τους κόμπους. Το σύστημα αριθμών χωρίς θέση είναι οζώδες. Ένα είδος (ένα σακουλάκι ρύζι, ένας ταύρος κ.λπ.) το μετρούσαν, για παράδειγμα, κατά την αγορά ή την πώληση και έδεναν έναν κόμπο σε ένα κορδόνι.

Ως αποτέλεσμα, υπήρχαν τόσοι κόμποι στο σχοινί όσες και πολλές σακούλες με ρύζι αγοράστηκαν (για παράδειγμα). Θα μπορούσαν όμως να είναι και εγκοπές σε ξύλινο ραβδί, σε πέτρινη πλάκα κ.λπ. Ένα τέτοιο σύστημα αριθμών έγινε γνωστό ως οζώδες. Έχει ένα δεύτερο όνομα - unary, ή single ("uno" στα λατινικά σημαίνει "ένα").

Γίνεται προφανές ότι αυτό το σύστημα αριθμών δεν είναι θέσεις. Άλλωστε, για τι είδους θέσεις μπορούμε να μιλήσουμε όταν αυτή (η θέση) είναι μόνο μία! Παραδόξως, σε ορισμένα μέρη της Γης, εξακολουθεί να χρησιμοποιείται ένα μοναδικό μη θέσιο σύστημα αριθμών.

Επίσης, τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν:

  • Roman (τα γράμματα χρησιμοποιούνται για την εγγραφή αριθμών - λατινικοί χαρακτήρες).
  • αρχαία αιγυπτιακά (παρόμοια με τα ρωμαϊκά, χρησιμοποιήθηκαν επίσης σύμβολα).
  • αλφαβητικά (χρησιμοποιήθηκαν γράμματα του αλφαβήτου).
  • Βαβυλωνιακή (σφηνοειδής - χρησιμοποιούσαν μια ευθεία και ανεστραμμένη "σφήνα").
  • Ελληνικά (αναφέρονται και ως αλφαβητικά).

Ρωμαϊκό σύστημα αριθμών

Η αρχαία Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία, όπως και η επιστήμη της, ήταν πολύ προοδευτική. Οι Ρωμαίοι έδωσαν στον κόσμο πολλές χρήσιμες εφευρέσεις επιστήμης και τέχνης, συμπεριλαμβανομένου του συστήματος μέτρησής τους. Πριν από διακόσια χρόνια, χρησιμοποιήθηκαν ρωμαϊκοί αριθμοί για να δηλώσουν ποσά σε επαγγελματικά έγγραφα (αποφεύγοντας έτσι την πλαστογραφία).

Ένα παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση, το γνωρίζουμε τώρα. Επίσης, το ρωμαϊκό σύστημα χρησιμοποιείται ενεργά, αλλά όχι για μαθηματικούς υπολογισμούς, αλλά για στενά εστιασμένες ενέργειες. Για παράδειγμα, με τη βοήθεια των ρωμαϊκών αριθμών, συνηθίζεται να ορίζονται ιστορικές ημερομηνίες, αιώνες, αριθμοί τόμων, ενοτήτων και κεφαλαίων σε εκδόσεις βιβλίων. Οι ρωμαϊκές πινακίδες χρησιμοποιούνται συχνά για τη διακόσμηση των καντράν ρολογιών. Και επίσης η ρωμαϊκή αρίθμηση είναι ένα παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση.

Οι Ρωμαίοι χαρακτήριζαν τους αριθμούς με λατινικά γράμματα. Επιπλέον, κατέγραψαν τους αριθμούς σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Υπάρχει ένας κατάλογος βασικών συμβόλων στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα, με τη βοήθεια του οποίου γράφτηκαν όλοι οι αριθμοί χωρίς εξαίρεση.

Κανόνες σύνθεσης αριθμών

Ο απαιτούμενος αριθμός προέκυψε προσθέτοντας σημεία (λατινικά γράμματα) και υπολογίζοντας το άθροισμά τους. Ας εξετάσουμε πώς γράφονται συμβολικά τα σημάδια στο ρωμαϊκό σύστημα και πώς πρέπει να «διαβάζονται». Παραθέτουμε τους βασικούς νόμους του σχηματισμού των αριθμών στο ρωμαϊκό σύστημα μη θέσεων.

  1. Ο αριθμός τέσσερα - IV, αποτελείται από δύο χαρακτήρες (I, V - ένα και πέντε). Λαμβάνεται αφαιρώντας το μικρότερο πρόσημο από το μεγαλύτερο αν είναι προς τα αριστερά. Όταν το μικρότερο σημάδι βρίσκεται στα δεξιά, είναι απαραίτητο να προσθέσετε, τότε παίρνετε τον αριθμό έξι - VI.
  2. Είναι απαραίτητο να προσθέσετε δύο πανομοιότυπα σημάδια που στέκονται δίπλα-δίπλα. Για παράδειγμα: SS είναι 200 ​​(C είναι 100) ή XX είναι 20.
  3. Εάν το πρώτο πρόσημο ενός αριθμού είναι μικρότερο από το δεύτερο, τότε ο τρίτος χαρακτήρας σε αυτή τη σειρά μπορεί να είναι ένας χαρακτήρας του οποίου η τιμή είναι ακόμη μικρότερη από τον πρώτο. Για να μην μπερδευτούμε, ας δώσουμε ένα παράδειγμα: CDX - 410 (σε δεκαδικό).
  4. Μερικοί μεγάλοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με διαφορετικούς τρόπους, κάτι που είναι ένα από τα μειονεκτήματα του ρωμαϊκού συστήματος μέτρησης. Ας δώσουμε παραδείγματα: MVM (Ρωμαϊκό σύστημα) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (δεκαδικό σύστημα) ή MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. Και αυτοί δεν είναι όλοι τρόποι.

Αριθμητικά κόλπα

Ένα σύστημα αριθμών χωρίς θέση είναι μερικές φορές ένα σύνθετο σύνολο κανόνων για το σχηματισμό αριθμών, την επεξεργασία τους (ενέργειες σε αυτούς). Οι αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμών χωρίς θέση δεν είναι εύκολες σύγχρονους ανθρώπους. Δεν ζηλεύουμε τους αρχαίους Ρωμαίους μαθηματικούς!

Παράδειγμα προσθήκης. Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς: XIX + XXVI = XXXV,Αυτή η εργασία εκτελείται σε δύο βήματα:

  1. Αρχικά, παίρνουμε και προσθέτουμε τα μικρότερα κλάσματα των αριθμών: IX + VI = XV (I μετά το V και το Iπριν οι Χ «καταστραφούν» ο ένας τον άλλον).
  2. Δεύτερον - προσθέστε τα μεγάλα κλάσματα των δύο αριθμών: Χ + ΧΧ = ΧΧΧ.

Η αφαίρεση είναι κάπως πιο δύσκολη. Ο αριθμός που πρέπει να μειωθεί πρέπει να διαιρεθεί στα συστατικά στοιχεία του και, στη συνέχεια, οι διπλότυποι χαρακτήρες να μειωθούν στον αριθμό που πρέπει να μειωθεί και να αφαιρεθεί. Αφαίρεση 263 από 500:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Πολλαπλασιασμός των ρωμαϊκών αριθμών. Παρεμπιπτόντως, είναι απαραίτητο να αναφέρουμε ότι οι Ρωμαίοι δεν είχαν σημάδια αριθμητικών πράξεων, απλώς τις υποδείκνυαν με λέξεις.

Ο πολλαπλασιαστής έπρεπε να πολλαπλασιαστεί με κάθε μεμονωμένο σύμβολο πολλαπλασιαστή, με αποτέλεσμα να προκύψουν πολλά γινόμενα που έπρεπε να προστεθούν. Έτσι πολλαπλασιάζονται τα πολυώνυμα.

Όσο για τη διαίρεση, αυτή η διαδικασία στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα ήταν και παραμένει η πιο δύσκολη. Εδώ χρησιμοποιήθηκε ο αρχαίος ρωμαϊκός άβακας. Για να δουλέψουν μαζί του, οι άνθρωποι ήταν ειδικά εκπαιδευμένοι (και όχι κάθε άτομο κατάφερε να μάθει μια τέτοια επιστήμη).

Σχετικά με τα μειονεκτήματα των συστημάτων μη θέσης

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση έχουν τα μειονεκτήματά τους, τις ταλαιπωρίες στη χρήση. Το Unary είναι αρκετά απλό για απλή μέτρηση, αλλά δεν είναι καθόλου κατάλληλο για αριθμητικούς και σύνθετους υπολογισμούς.

Στη ρωμαϊκή δεν υπάρχουν ενιαίοι κανόνες για το σχηματισμό μεγάλων αριθμών και δημιουργείται σύγχυση, ενώ είναι επίσης πολύ δύσκολο να γίνουν υπολογισμοί σε αυτό. Επιπλέον, τα περισσότερα που μπορούσαν να καταγράψουν οι αρχαίοι Ρωμαίοι χρησιμοποιώντας τη μέθοδό τους ήταν 100.000.

αριθμητικό σύστημα είναι η μέθοδος γραφής αριθμών με τη μορφή συνδυασμών γραφικών συμβόλων. Ένας αριθμός είναι κάποια αφηρημένη οντότητα για την περιγραφή μιας ποσότητας και οι αριθμοί είναι σημάδια που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή αριθμών. Σήμερα, οι πιο συνηθισμένοι είναι οι αραβικοί αριθμοί, οι ρωμαϊκοί αριθμοί είναι λιγότερο συνηθισμένοι. Το σύστημα των ρωμαϊκών αριθμών βασίζεται στη χρήση ειδικών σημείων για δεκαδικά ψηφία: I=1, X=10, C=100, M=1000 και τα μισά τους: V=5, L=50, D=500. Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι για να γράψετε αριθμούς. Για παράδειγμα, οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τα γράμματα του αλφαβήτου τους για αυτόν τον σκοπό και οι αρχαίοι Σουμέριοι χρησιμοποιούσαν σφηνοειδή σημεία. Υπάρχουν θέσεωςΚαι μη θέσειςαριθμητικά συστήματα.

Σύστημα θέσεων αριθμών – Σύστημαγράφοντας αριθμούς ως ακολουθία χαρακτήρων, στην οποία η αριθμητική τιμή κάθε χαρακτήρα εξαρτάται από τη θέση του στην εγγραφή.

Ένα παράδειγμα συστήματος θέσης είναι το γνωστό σύστημα δεκαδικών αριθμών. Παράδειγμα μη θέσεων συστήματος είναι το ρωμαϊκό σύστημα. Η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε αριθμούς σε ένα σύστημα χωρίς θέση είναι πολύ άβολο. Ως εκ τούτου, τα συστήματα θέσης είναι σήμερα τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα.

Η εφεύρεση του συστήματος θέσεων αποδίδεται στους Σουμέριους και τους Βαβυλώνιους. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τους Ινδουιστές. Στη μεσαιωνική Ευρώπη, το δεκαδικό σύστημα θέσης εμφανίστηκε χάρη στους Ιταλούς εμπόρους που το δανείστηκαν από τους Μουσουλμάνους. Τον 9ο αιώνα, ο μεγάλος Άραβας μαθηματικός Mohammed ibn Musa Al Khorezmi περιέγραψε για πρώτη φορά το δεκαδικό σύστημα και τους κανόνες για την εκτέλεση απλών αριθμητικών πράξεων σε αυτό. Τον 12ο αιώνα τα έργα του μεταφράστηκαν στα λατινικά, χάρη στα οποία η Ευρώπη μπόρεσε να εξοικειωθεί με αυτήν την εφεύρεση του ανθρώπινου μυαλού.

      Μετρικό σύστημα

Υπάρχουν διάφορα συστήματα λογισμού θέσης που διαφέρουν ως προς τον αριθμό των σημείων που χρησιμοποιούνται. Για να γίνει διάκριση μεταξύ αριθμών σε διαφορετικά συστήματα λογισμού, τοποθετείται ένας δείκτης στο τέλος του αριθμού - το σύμβολο του συστήματος. Για παράδειγμα, η καταχώρηση σημαίνει τον συνηθισμένο αριθμό 483,56 σε δεκαδικό, και την καταχώρηση
σημαίνει εντελώς διαφορετικό αριθμό (αν και παρόμοιο στην εμφάνιση) σε δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών(σε δεκαδικό είναι 1155,335938). Εάν είναι σαφές από το περιβάλλον ότι χρησιμοποιείται μόνο το δεκαδικό σύστημα (ή μόνο δεκαεξαδικό ή κάποιο άλλο), τότε κατά τη σύνταξη του αριθμού, το ευρετήριο συνήθως παραλείπεται.

Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα διαφορετικά πρόσημα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - τα οποία αντιπροσωπεύουν φυσικούς αριθμούς σε αύξουσα σειρά από το μηδέν έως το εννέα. Ο αριθμός 10 είναι η βάση του δεκαδικού συστήματος. Δεν έχει ειδικό σήμα, και συμβολίζεται με τα δύο πρώτα σύμβολα αυτού του συστήματος.

Για παράδειγμα, γράφοντας το 483,56 σε δεκαδικό σημαίνει ότι αυτός ο αριθμός είναι το άθροισμα τετρακοσίων (
), οκτώ δεκάδες (
), τρεις μονάδες (
), πέντε δέκατα της μονάδας (
) και έξι εκατοστά της μονάδας (
). Με άλλα λόγια, μπορούμε να γράψουμε:

      Δυαδικό σύστημα

Το δυαδικό (δυαδικό) σύστημα αριθμών είναι το απλούστερο από όλα τα συστήματα θέσεων. Περιέχει μόνο δύο χαρακτήρες 0 και 1 και χρησιμοποιείται στην τεχνολογία υπολογιστών λόγω της απλότητας και της υψηλής αξιοπιστίας του. Το δυαδικό σύστημα εφευρέθηκε από τον μεγάλο Γερμανό επιστήμονα Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), ο οποίος το χρησιμοποίησε στη μηχανική υπολογιστική μηχανή που δημιούργησε. Στην πρώτη στήλη του Πίνακα. Το 2.1 δείχνει δεκαδικούς αριθμούς και στο δεύτερο - τους αντίστοιχους δυαδικούς αριθμούς.

Πίνακας 2.1

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να μετατρέψουμε έναν δυαδικό αριθμό με κλασματικό μέρος του 1100.1011 σε έναν πιο οικείο δεκαδικό αριθμό. Στον πίνακα. Το 2.2 δείχνει πώς πραγματοποιείται αυτός ο μετασχηματισμός.

Πίνακας 2.2

δυάδικος αριθμός

Δεκαδικός

αριθμός

ολόκληρο μέρος

Κλασματικό μέρος

+

+

+

+

+

+

+

=

Αντίστροφη δεκαδική μετατροπή ρεσε έναν δυαδικό αριθμό (δυαδικός κώδικας) πραγματοποιείται σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο. Αντιστοίχιση σε αριθμό ρεδείκτης
(
), και αναζητήστε έναν ακέραιο αριθμό , ικανοποιώντας την ανισότητα

,
. (2.2)

Αν
, τότε η εργασία ολοκληρώνεται - ο απαιτούμενος δυαδικός αριθμός περιέχει ένα στο πιο σημαντικό ψηφίο και μηδέν πίσω της.

Αν
, τότε υπολογίζουμε τη διαφορά
, και αναζητήστε τον αντίστοιχο αριθμό για αυτό , χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.2) με
. λειτουργία υπολογισμού διαφοράς
και εύρεση
επαναλάβετε μέχρι, για οποιαδήποτε
δεν πληρούται η προϋπόθεση:
.

Είναι προφανές ότι
(εκείνοι.
). Κατά την κατασκευή του επιθυμητού δυαδικού αριθμού, χρησιμοποιείται ο κανόνας: αριθμητικές τιμές αντιστοιχούν στα ψηφία του δυαδικού κώδικα, στον οποίο υπάρχουν. Τα υπόλοιπα bits είναι γεμάτα με μηδενικά.

Χρησιμοποιούμε αυτόν τον κανόνα για να βρούμε τον δυαδικό κωδικό του δεκαδικού αριθμού 108.5. Σύμφωνα με τον τύπο (2.2), λαμβάνουμε: .

Ο επιθυμητός δυαδικός αριθμός είναι: 1101100.1. Η πρώτη μονάδα στα αριστερά στην καταχώριση αριθμού αντιστοιχεί στο 6ο ψηφίο, η δεύτερη μετά από αυτό - στο πέμπτο ψηφίο. Δεν υπάρχει τέταρτο ψηφίο, οπότε γράφουμε μηδέν μετά τα δύο πρώτα. Υπάρχουν τρίτο και δεύτερο ψηφίο - μετά το μηδέν γράφουμε δύο ένα. Επίσης δεν υπάρχουν μονοψήφια και μηδενικά - μετά από δύο ένα γράφουμε δύο μηδενικά. Υπάρχει ένα μείον το πρώτο ψηφίο - επομένως, μετά την υποδιαστολή, σημειώνουμε τη μονάδα.

Οι αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως στο δεκαδικό ("στήλη"). Για παράδειγμα, πάρτε τους αριθμούς 0111 (
) και 0101 (
), και εκτελέστε τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού:

,

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε 1100 (
) και 100011 (
), το οποίο είναι αναμενόμενο.

      Γκρι κωδικός

Εκτός από τους δυαδικούς αριθμούς, στην πράξη χρησιμοποιούνται και άλλοι κώδικες, χρησιμοποιώντας δύο σύμβολα: 0 και 1. Σε αυτή την ενότητα, θα εξοικειωθούμε με τον Γκρι κώδικα. Κατά την ταξινόμηση των δεδομένων, η φυσική αναπαράσταση είναι η συνήθης περιγραφή ακέραιου αριθμού, αφού μεταξύ των δέκα ψηφίων το καθένα είναι 1 περισσότερο από το προηγούμενο. Με τη μετάβαση σε μια δυαδική περιγραφή, αυτή η φυσικότητα εξαφανίζεται. Εξετάστε την αναπαράσταση bit των αριθμών 6, 7, 8 και 9:

0110 0111 1000 1001.

Οι αριθμοί 6 και 7, καθώς και 8 και 9, διαφέρουν μεταξύ τους κατά ένα bit. Ωστόσο, οι αριθμοί 7 και 8 δεν έχουν τίποτα κοινό! Αυτή η ιδιότητα αναπαράστασης μπορεί να προκαλέσει μεγάλα προβλήματα κατά την επίλυση προβλημάτων που απαιτούν συστηματοποίηση αριθμητικών δεδομένων. Ο γκρι κώδικας χρησιμοποιείται για την επίλυση του προβλήματος της ετερογένειας της αναπαράστασης.

Γκρι κωδικός – σύστημα αρίθμησης στο οποίο δύο γειτονικές τιμές διαφέρουν μόνο κατά ένα bit.

Ο γκρι κωδικός εμφανίζεται στην τρίτη στήλη του πίνακα. 2.1. Το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο στην πράξη αντανακλαστικός δυαδικός γκρι κώδικας, αν και στη γενική περίπτωση υπάρχει άπειρος αριθμός Gray κωδικών για συστήματα αριθμών με οποιαδήποτε βάση. Στις περισσότερες περιπτώσεις, ο όρος "Γκρι κώδικας" σημαίνει ακριβώς τον ανακλαστικό δυαδικό γκρι κώδικα. Το όνομα αντανακλαστικός (ανακλώμενος) δυαδικός κώδικας προέρχεται από το γεγονός ότι το δεύτερο μισό των τιμών στον κώδικα Gray είναι ισοδύναμο με το πρώτο μισό, μόνο με αντίστροφη σειρά, εκτός από το πιο σημαντικό bit, το οποίο απλώς αντιστρέφεται. Εάν διαιρέσετε ξανά κάθε μισό στο μισό, η ιδιότητα θα διατηρηθεί για καθένα από τα μισά του μισού και ούτω καθεξής.

Ο Γκρι Κώδικας αναπτύχθηκε από τον Φρανκ Γκρέι, ερευνητή της Bell Labs. Χρησιμοποίησε αυτόν τον κωδικό στο σύστημα παρορμητικής επικοινωνίας του (αριθμός διπλώματος ευρεσιτεχνίας 2632058 ελήφθη για αυτό).

Όταν μετατρέπουμε έναν δυαδικό κωδικό σε δεκαδικό αριθμό, πολλαπλασιάζουμε το μηδέν ή το ένα με , όπου
– αριθμός θέσης bit στον δυαδικό κώδικα (; κ.λπ.), και στη συνέχεια συνοψίστε τα αποτελέσματα.

Όταν μετατρέπουμε τον γκρι κώδικα σε δεκαδικό, πολλαπλασιάζουμε το μηδέν ή ένα με (
), όπου
– αριθμός θέσης bit σε γκρι κωδικό (; κ.λπ.). Στη συνέχεια, αφαιρούμε από το αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στην υψηλότερη μονάδα, το αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στη μονάδα ενός μικρότερου ψηφίου, προσθέτουμε το αποτέλεσμα που αντιστοιχεί στη μονάδα ενός ακόμη μικρότερου ψηφίου και ούτω καθεξής. (δείτε την τελευταία στήλη του Πίνακα 2.1).

      Τριμερές αριθμητικό σύστημα

Τριμερές αριθμητικό σύστημα - σύστημα αριθμών θέσης με ακέραια βάση ίση με 3. Υπάρχει σε δύο εκδόσεις: ασύμμετρηΚαι συμμετρικόςτριμερή συστήματα. Ένα μη ισορροπημένο σύστημα χρησιμοποιεί συνήθως σύμβολα: 0, 1 και 2. Συμμετρικό: -1, 0, +1. Στον πίνακα. Το 2.3 δείχνει τους δεκαδικούς αριθμούς και τους αντίστοιχους αριθμούς στο τριαδικό σύστημα αριθμών.

Πίνακας 2.3

Δεκαδικός

τριαδικός

ασύμμετρη

τριαδικός

συμμετρικός

Στοιχεία του τριμερούς συστήματος υπήρχαν μεταξύ των αρχαίων Σουμερίων. Ένα πλήρες συμμετρικό τριμερές σύστημα προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Ιταλό μαθηματικό Φιμπονάτσι (Λεονάρντο της Πίζας) (1170–1250). Το συμμετρικό τριαδικό σύστημα σάς επιτρέπει να αναπαραστήσετε αρνητικούς αριθμούς χωρίς να χρησιμοποιήσετε ξεχωριστό σύμβολο μείον.

Την εποχή της γέννησης της τεχνολογίας των υπολογιστών, το τριμερές σύστημα ήταν ένας σοβαρός ανταγωνιστής του δυαδικού συστήματος. Το πλεονέκτημά του είναι ότι παρέχει τα περισσότερα πυκνότητα αριθμούσε σύγκριση με άλλα ακέραια συστήματα. Ας το εξηγήσουμε αυτό με το ακόλουθο παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι σε έναν υπολογιστή χρησιμοποιούμε αριθμούς σε σύστημα θέσης με ακέραια βάση . Επιπλέον, κάθε αριθμός έχει ένα μέγιστο απορρίψεις. Αυτό σημαίνει ότι για να αποθηκευτεί ένας αριθμός στη μνήμη ενός υπολογιστή, απαιτείται κελιά μνήμης και κάθε κελί πρέπει να μπορεί να είναι μέσα πολιτείες. Το κόστος υλικού είναι:
.

Χρησιμοποιώντας ένα σύστημα βάσης Και απορρίψεις, είμαστε σε θέση να φανταστούμε διάφορους αριθμούς. Η αποτελεσματικότητα του συστήματος αριθμών που χρησιμοποιείται σε έναν υπολογιστή μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας το ακόλουθο αριθμητικό κριτήριο:

. (2.3)

Όσο περισσότερους αριθμούς μπορούμε να αναπαραστήσουμε σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών και όσο λιγότερο κόστος υλικού, τόσο πιο αποτελεσματικό είναι το σύστημα σύμφωνα με αυτό το κριτήριο.

Πιο συχνά, το κριτήριο απόδοσης χρησιμοποιείται σε αυτή τη μορφή

. (2.4)

Στην πράξη, το κριτήριο (2.4) είναι ισοδύναμο με το κριτήριο (2.3), αλλά είναι πιο βολικό στη χρήση. Η ισοδυναμία βασίζεται στο γεγονός ότι αν
, έπειτα
. Γράφημα συνάρτησης
φαίνεται στο σχ. 2.1.

Εικ.2.1. Γράφημα συνάρτησης

Αυτή η λειτουργία έχει ένα μέγιστο για . Για ακέραιες τιμές επιτυγχάνεται το μέγιστο για = 3.

;

;

.

Έτσι, το πιο αποτελεσματικό βάσει του κριτηρίου (2.4) είναι το τριαδικό σύστημα αριθμών (που χρησιμοποιείται σε τριμερείς υπολογιστές), ακολουθούμενο από το δυαδικό σύστημα αριθμών (που χρησιμοποιείται παραδοσιακά στους περισσότερους κοινούς υπολογιστές) και το τεταρτοταγές σύστημα αριθμών.

Το 1958, ο Nikolai Petrovich Brusentsov από το Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας κατασκεύασε τον πρώτο σειριακό ηλεκτρονικό τριμερή υπολογιστή "Setun" σε κυψέλες μαγνητικών ενισχυτών εναλλασσόμενου ρεύματος διόδου φερρίτη που λειτουργούσαν σε τριαδικό κώδικα δύο bit, η τέταρτη κατάσταση των δύο bit δεν χρησιμοποιήθηκε. Το 1970, ο Brusentsov κατασκεύασε τον δεύτερο σειριακό ηλεκτρονικό τριμερή υπολογιστή "Setun-70".

Το 1973, ένας πειραματικός τριμερής υπολογιστής δημιουργήθηκε για πρώτη φορά στις Ηνωμένες Πολιτείες και το 2008, ένα τριμερές ψηφιακό σύστημα υπολογιστή TCA2 κατασκευάστηκε εκεί σε 1484 ενσωματωμένα τρανζίστορ.

Ωστόσο, οι δυαδικοί υπολογιστές κυριαρχούν επί του παρόντος στην τεχνολογία των υπολογιστών λόγω της απλότητας και της υψηλής αξιοπιστίας τους.

      Οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών

Το σύστημα αριθμών θέσης μπορεί να κατασκευαστεί σε οποιαδήποτε βάση. Ωστόσο, μεγαλύτερη πρακτική σημασία έχουν: δυαδικό, δεκαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό. Επιπλέον, τα δύο τελευταία χρησιμοποιούνται κυρίως όχι για υπολογισμούς, αλλά για αναπαράσταση δυάδικος κώδικαςσε μορφή φιλική προς τον άνθρωπο.

Στον πίνακα. Το 2.4 δείχνει μια δυαδική λέξη 24-bit και τους αντίστοιχους οκταδικούς και δεκαεξαδικούς κωδικούς της.

Πίνακας 2.4

δυάδικος κώδικας

1011001111000101100010112

οκταδικός κωδικός

Hex κωδικός

Προφανώς, είναι ευκολότερο για ένα άτομο να αντιληφθεί τον δυαδικό κώδικα με τη μορφή οκταδικών ή δεκαεξαδικών κωδικών. Όταν χρησιμοποιείτε έναν οκταδικό κώδικα, τρία bit μιας δυαδικής λέξης μετατρέπονται σε έναν χαρακτήρα. Όταν χρησιμοποιείτε μια δεκαεξαδική λέξη, κάθε τέσσερα bit μιας δυαδικής λέξης μετατρέπονται σε έναν χαρακτήρα. Στον πίνακα. Το 2.5 δείχνει πώς πραγματοποιείται αυτός ο μετασχηματισμός. Όπως μπορείτε να δείτε, οι δεκαεξαδικοί αριθμοί συμβολίζονται με 10 αραβικούς αριθμούς και έξι λατινικά γράμματα.

1. Συστήματα θέσεων και μη θέσεων

Σημάδια ενός συστήματος μη θέσης: - αυτό είναι ένα σύστημα στο οποίο η θέση του σημείου στη σημειογραφία ενός αριθμού δεν εξαρτάται από τη θέση του.

Παραδείγματα μη θέσεων αριθμητικού συστήματος: Ρωμαϊκό.

Ακόμη και οι άνθρωποι της πέτρινης εποχής είχαν την ανάγκη να μετρούν μαμούθ ή τους συντρόφους τους. με φυσικό τρόποο υπολογισμός ήταν το απλούστερο μοντέλο - κάθε μαμούθ υποδεικνύεται από ένα βότσαλο ή ένα ραβδί, έγιναν εγκοπές για μέτρηση και πλέκονταν κόμποι.

Στο ρωμαϊκό σύστημα αριθμών, εφευρέθηκαν οι ακόλουθοι αριθμοί: I - αντιστοιχεί σε 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Αλλά το σύστημα είναι μη θέσεων και καθώς ο αριθμός αυξάνεται, πρέπει να εφευρεθούν νέοι αριθμοί. Επομένως, οι ενέργειες με λατινικούς αριθμούς είναι πολύ άβολες. (δείτε την παρουσίαση)

Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση ήταν περισσότερο ή λιγότερο κατάλληλα για την εκτέλεση πρόσθεσης και αφαίρεσης, αλλά καθόλου βολικά για πολλαπλασιασμό και διαίρεση. (Στη Ρωσία μέχρι τον 18ο αιώνα, μη θέσεωνΣλαβικοί αριθμοί.)

Σημάδια ενός συστήματος θέσης: - αυτό είναι ένα σύστημα στο οποίο η θέση ενός σημείου σε μια καταχώρηση αριθμού εξαρτάται από τη θέση του.

Οι ιδέες της κατασκευής θέσης αριθμητικών συστημάτων προέκυψαν επανειλημμένα μεταξύ τους διαφορετικούς λαούς. Οι απόηχοι αυτών των ιδεών μπορούν να βρεθούν στο προφορική γλώσσα. Θυμηθείτε τουλάχιστον τέτοιες φράσεις. Όπως τα «σαράντα σαράντα», «η ντουζίνα του διαβόλου», «το σκοτάδι του λαού» (στο αρχαία Ρωσίαη λέξη «σκοτάδι» υποδήλωνε τον τρέχοντα αριθμό «εκατομμύριο»). Αλλά σήμερα θα επικεντρωθούμε στη γραπτή ερμηνεία αυτής της έννοιας.

Η ιδέα ενός συστήματος θέσης προέκυψε για πρώτη φορά στην αρχαία Βαβυλώνα: η βάση του συστήματος αριθμών είναι το 60 - τα απομεινάρια αυτού διατηρούνται ακόμη στην αντίστροφη μέτρηση του χρόνου και σε κλάσματα μοιρών. Οι Βαβυλώνιοι κόντεψαν να ανακαλύψουν το μηδέν, αλλά, δυστυχώς, δεν έκαναν ποτέ αυτό το τελευταίο βήμα. Το πιο διαδεδομένο ήταν το σύστημα δεκαδικών αριθμών, το οποίο προήλθε από την Ινδία το 595 μ.Χ. (δείτε την παρουσίαση)

Η τιμή κάθε ψηφίου στο σύστημα αριθμών θέσης εξαρτάται από τη θέση (θέση) του κατά την εγγραφή του αριθμού. Η θέση (θέση) ενός ψηφίου σε μια καταχώρηση αριθμού το καθορίζει ... Ερώτηση: "Τι καθορίζει;" Απάντηση: απαλλαγή? αν δεν υπάρχει ψηφίο στον αριθμό, τότε στη θέση του μπαίνει ο αριθμός 0. Γνωρίζουμε ότι 10 μονάδες οποιουδήποτε ψηφίου σχηματίζουν μια νέα μονάδα του υψηλότερου ψηφίου. Ο αριθμός 10 ονομάζεται βάση του δεκαδικού συστήματος αριθμών. Με τη βοήθειά του προσδιορίζεται το «βάρος» της μονάδας κάθε ψηφίου.

Υπάρχουν πολλά συστήματα θέσης: δυαδικό, πεπτικό, οκταδικό, δεκαεξαδικό κ.λπ., και παίρνουν το όνομά τους ανάλογα με τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιούνται για τη σύνθεση ενός αριθμού σε ένα δεδομένο σύστημα.

Σχηματισμός της έννοιας των συστημάτων αριθμών με διαφορετικές βάσεις:

Ερώτηση: Πόσα ψηφία χρησιμοποιούνται στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών;

Απάντηση: Δώδεκα.

Ερώτηση: Και πόσα ψηφία χρησιμοποιούνται στο 8άρι αριθμητικό σύστημα;

Απάντηση: Οκτώ.

Η μορφή γραφής αριθμών σε διάφορα συστήματα αριθμών. (δείτε την παρουσίαση)

Εξετάσαμε μαζί σας τις μορφές γραφής αριθμών που μας επιτρέπουν να παράγουμε:

2. Η μετατροπή των αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση γίνεται με διαίρεση ενός ακέραιου δεκαδικού αριθμού με τη βάση νέο σύστημαυπολογισμός. Πρέπει να θυμόμαστε ότι ο αριθμός των ψηφίων για την εγγραφή ενός αριθμού σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών δεν μπορεί να υπερβαίνει τη βάση αυτού του συστήματος.

Παραδείγματα: Ας μετατρέψουμε το σύστημα αριθμών 29 σε 3ψήφιο (επίδειξη δασκάλου) και 13 σε διψήφιο σύστημα αριθμών (συλλογικά). (δείτε την παρουσίαση)

3. Η μετατροπή ακεραίων από ένα σύστημα αριθμών με οποιαδήποτε βάση σε ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών είναι αρκετά εύκολο να πραγματοποιηθεί. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να γράψετε τον αριθμό σε διευρυμένη μορφή και να υπολογίσετε την τιμή του. (δείτε την παρουσίαση)

1002 3 = 1*3 3 + 0*3 2 + 0*3 1 + 2*3 0 = 27 + 0+ 0+ 2 = 29 10 (επίδειξη δασκάλου)

1101 2 = 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 10 (συλλογικά)

1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10 (συλλογικά)

120 3 = 1*3 2 + 2*3 1 + 0*3 0 = 9 + 6 + 0 = 15 10 (συλλογικά)

Δάσκαλος: Παιδιά! Εσείς και εγώ κάναμε εξαιρετική δουλειά: ανακαλύψαμε τι είναι τα συστήματα αριθμών, ταξινομήσαμε τους κανόνες για τη μετάφραση αριθμών από το ένα σύστημα στο άλλο. Και τώρα θα ήθελα να σας διαβάσω τις γραμμές του ποιήματος:

Το ονομάζαμε αυτό το σύστημα δεκαδικό.

Υπήρχαν ραβδιά και άβακας, μια αριθμομηχανή, ο Πυθαγόρας,

Και τώρα μπροστά στα μάτια μου - μια ασημένια οθόνη.

Λοιπόν, όπως πιστεύει - πρέπει να το λύσουμε.

Μετράμε δεκαδικά - δύο, δώδεκα, εκατόν ένα,

Και ο υπολογιστής είναι μόνο σε δυαδικό - είτε μηδέν είτε ένα.

Δάσκαλος: Παιδιά, σας διάβασα αυτές τις γραμμές για έναν λόγο! Και για τι; Πώς νομίζετε? Απάντηση των μαθητών.

Κατώτατη γραμμή: Θα ήθελα να δώσετε προσοχή στο γεγονός ότι ο υπολογιστής μετατρέπει όλες τις πληροφορίες σε δυαδικό κώδικα. Η μελέτη διαφόρων συστημάτων αριθμών μας δίνει την ευκαιρία να μιλήσουμε με έναν υπολογιστή στην ίδια γλώσσα και να κατανοήσουμε όλες τις πληροφορίες που κρυπτογραφούνται από αυτόν!

Εκτέλεση δημιουργικών εργασιών για την εμπέδωση του υλικού: (βλ. παρουσίαση)

Και τώρα σας προτείνω ανεξάρτητα να ολοκληρώσετε εργασίες για να ενοποιήσετε το υλικό.

1. Ας παρατηρήσουμε τη γέννηση ενός λουλουδιού: πρώτα εμφανίστηκε το ένα φύλλο, μετά το δεύτερο ... και μετά άνθισε ο οφθαλμός. Σταδιακά μεγαλώνοντας, το λουλούδι μας δείχνει κάποιο δυαδικό αριθμό. Αν παρακολουθήσετε την ανάπτυξη ενός λουλουδιού μέχρι το τέλος, θα μάθετε πόσες μέρες του πήρε για να μεγαλώσει.


Απάντηση: 1001001 2 ή 145 10

Κριτήρια για την αξιολόγηση της ανεξάρτητης εργασίας:

Ολοκληρώθηκε:

Όλες οι εργασίες είναι σωστές: "5" - εξαιρετική.

4 εργασίες σωστά: "4" - καλό.

3 εργασίες σωστά: "3" - ικανοποιητικό.

λιγότερες από 3 εργασίες σωστά: "Δεν ήμασταν προσεκτικοί στο μάθημα!"

Καθήκον αυξημένης πολυπλοκότητας για δυνατούς μαθητές.

2. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα κωδικοποίησης γραμμάτων και τους κανόνες μετάφρασης αριθμών 2®10, αποκρυπτογραφήστε τη δεδομένη λέξη:

111 2 110 2 1011 2 1010 2 100 2 1000 2 111 2 1100 2 1101 2

"Στην αρχαία Αίγυπτο, οι αριθμοί γράφονταν χρησιμοποιώντας αυτά τα σύμβολα"

Απάντηση: ιερογλυφικά.

IV. Παρακολούθηση

(προφορική ερώτηση μαθητών, χρησιμοποιούνται κάρτες ως απάντηση: πράσινο - "ΝΑΙ", κόκκινο - "ΟΧΙ".

1 ερώτηση: είναι αλήθεια ότι στην αρχαιότητα χρησιμοποιούσαν το χέρι ως εργαλείο μέτρησης; (Ναι)

Ερώτηση 2: Είναι αλήθεια ότι οι υπολογιστές χρησιμοποιούν το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών; (Δεν)

Ερώτηση 3: Είναι αλήθεια ότι στην Αρχαία Βαβυλώνα οι αριθμοί απεικονίζονταν με ιερογλυφικά; (Όχι)

Ερώτηση 4: Είναι αλήθεια ότι ο αριθμός 1001101 μπορεί να γραφτεί με δυαδικό συμβολισμό; (Ναι)

Ερώτηση 5: αληθεύει ότι εφευρέθηκε το σύστημα δεκαδικών αριθμών θέσης; αρχαία Ινδία? (Ναί)

Ερώτηση 6: Είναι αλήθεια ότι στο σύστημα αριθμών θέσης η θέση ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση (τόπο) του στον αριθμό; (Δεν)

Ερώτηση 7: Είναι αλήθεια ότι η σφηνοειδής γραφή χρησιμοποιήθηκε στην Αρχαία Αίγυπτο; (Δεν)

Ερώτηση 8: Είναι αλήθεια ότι δεν χρησιμοποιούμε το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών στην καθημερινή ζωή; (Ναί)

Ερώτηση 9: Είναι αλήθεια ότι ο αριθμός 34263 μπορεί να γραφτεί στο πεπτικό σύστημα αριθμών; (Δεν)

Ερώτηση 10: Είναι αλήθεια ότι το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών ήταν μη θέσιο; (Ναί)

Ερώτηση 11: Είναι αλήθεια ότι ο αριθμός 443423 μπορεί να γραφτεί στο quinary number system; (Ναί)

Ερώτηση 12: Είναι αλήθεια ότι το όνομα ενός συστήματος εξαρτάται από τη βάση του; (Ναί)


συμπέρασμα

Η πρακτική της χρήσης σύγχρονων τεχνολογιών πληροφοριών στα μαθήματα επιστήμης των υπολογιστών επιβεβαίωσε τη συνάφεια και την αποτελεσματικότητα της επιλεγμένης μεθόδου παρουσίασης υλικού για διδασκαλία, γεγονός που κατέστησε δυνατή την εξαγωγή των ακόλουθων συμπερασμάτων: ενδιαφέρον για το θέμα. Τα σύγχρονα διδακτικά βοηθήματα επέτρεψαν τη μείωση του χρόνου παρουσίασης νέου υλικού, την επιτάχυνση της διαδικασίας εμπέδωσης των αποκτηθέντων δεξιοτήτων, τη σωστή κατανόηση του σκοπού και της προόδου της εργασίας που έγινε και τη μείωση του χρόνου για την ολοκλήρωση των εργασιών.

Η εξεταζόμενη μεθοδολογία για τη διεξαγωγή ενός εισαγωγικού μαθήματος σχετικά με το θέμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε άλλες θεματικές ενότητες. Θεωρώ απαραίτητο να προσφέρω την ανάπτυξη του μαθήματος στους συναδέλφους μου.


Ψυχολογική, παιδαγωγική και μεθοδική εκπαιδευτική και ειδική βιβλιογραφία για το ερευνητικό θέμα. 2) Εξέτασε τα χαρακτηριστικά της διδασκαλίας των μαθητών για επίλυση λογικές εργασίεςστα μαθήματα πληροφορικής. 3) Χαρακτήρισε τα χαρακτηριστικά της χρήσης των ΤΠΕ στα μαθήματα πληροφορικής. 4) Αναπτύξαμε μεθόδους για τη χρήση της τεχνολογίας της πληροφορίας σε ένα μάθημα πληροφορικής προκειμένου να διδάξουμε στους μαθητές πώς να λύνουν λογικές ...

Κατά την επικοινωνία με υπολογιστή. 8. Απεριόριστη μάθηση: το περιεχόμενο, οι ερμηνείες και οι εφαρμογές του είναι όσο μεγάλα θέλετε. Κεφάλαιο 2 γνωστική δραστηριότηταμαθητές σε μαθήματα πληροφορικής μέσω ηλεκτρονικού εγχειριδίου "2.1 Ανάλυση του ψυχολογικού και παιδαγωγικού περιεχομένου του θέματος από την άποψη των δυνατοτήτων του Έχοντας μελετήσει τις κύριες διατάξεις για ...

Ορισμός.Το αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο κανόνων για τον προσδιορισμό (καταγραφή) πραγματικών αριθμών χρησιμοποιώντας ψηφιακά σήματα. Υπάρχουν θέσεωςΚαι μη θέσειςαριθμητικά συστήματα.

Σε ένα σύστημα αριθμών χωρίς θέση, το ποσοτικό ισοδύναμο κάθε ψηφίου που περιλαμβάνεται στην εγγραφή ενός δεδομένου αριθμού δεν εξαρτάται από τη θέση (θέση) αυτού του ψηφίου σε έναν αριθμό άλλων ψηφίων. Στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα, τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για την εγγραφή διαφόρων ακεραίων είναι:

i=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; Μ=1000

Για παράδειγμα, MCMLXXXV=1000+(1000-100)+50+10+10+10+5=1985

Το μειονέκτημα ενός τέτοιου συστήματος αριθμών είναι προφανές - η πολυπλοκότητα της αναπαράστασης μεγάλων αριθμών σε αυτό.

Το πρώτο σύστημα αριθμών θέσης επινοήθηκε στην αρχαία Βαβυλώνα και ήταν σεξουαλικό, δηλ. χρησιμοποιούσε 60 ψηφία. Είναι ενδιαφέρον ότι εξακολουθούμε να χρησιμοποιούμε αυτό το σύστημα αριθμών κατά τη μέτρηση του χρόνου.

Τον 19ο αιώνα, το σύστημα του δωδεκαδικού αριθμού έγινε αρκετά διαδεδομένο. Μέχρι τώρα, χρησιμοποιούμε συχνά τη λέξη "ντουζίνα", για παράδειγμα - 12 μήνες, 24 ώρες, 360 °.

      Σύστημα δεκαδικών αριθμών.

Ένα παράδειγμα συστήματος αριθμών θέσης είναι το κοινό σύστημα δεκαδικών αριθμών. Στο σύστημα αριθμών θέσης, η τιμή που αντιπροσωπεύεται από ένα ψηφίο (το «βάρος» του) εξαρτάται από τη θέση αυτού του ψηφίου στη σημείωση του αριθμού.

Ορισμός.Η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό ονομάζεται του απαλλάσσω.

Ορισμός.Ο αριθμός των διαφορετικών ψηφίων στο αλφάβητο του συστήματος αριθμών θέσης ονομάζεται βάσηαυτό το σύστημα.

Ορισμός. ΑλφάβητοΈνα αριθμητικό σύστημα είναι ένα διατεταγμένο σύνολο ψηφίων.

Χαρακτηριστικάσύστημα αριθμών θέσης:

    Ο αριθμός των ψηφίων του αριθμητικού συστήματος είναι ίσος με τη βάση του.

    Το μεγαλύτερο ψηφίο είναι ένα λιγότερο από τη βάση του.

    Όταν γράφετε έναν αριθμό, κάθε ψηφίο πολλαπλασιάζεται με τη βάση του συστήματος αριθμών στην ισχύ που καθορίζει τη θέση του ψηφίου, ξεκινώντας από το 0.

Στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, το «βάρος» κάθε ψηφίου είναι 10 φορές το «βάρος» του προηγούμενου.

Για παράδειγμα: σε διευρυμένη μορφή, ο αριθμός 555,55 \u003d 5 × 10 2 + 5 × 10 1 + 5 × 10 0 + 5 × 10 -1 + 5 × 10 -2

Εφόσον στην πράξη χρησιμοποιείται συνήθως το σύστημα δεκαδικών αριθμών, τότε, παραλείποντας διάφορες δυνάμεις του 10, μόνο οι συντελεστές σε αυτές τις δυνάμεις συντομεύονται. Έτσι, εμφανίστηκε ένα μοτίβο που επιτρέπει τη χρήση 10 ψηφίων για την εγγραφή οποιουδήποτε, αυθαίρετα μεγάλου αριθμού. Μετά ήρθαν οι κανόνες (αλγόριθμοι) πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, αφαίρεσης και διαίρεσης.

Αλλά από τεχνική άποψη, η χρήση αλφαβήτου 10 ψηφίων δεν είναι βολική. Δεδομένων των χαρακτηριστικών των συστημάτων θέσεων αριθμών, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η μικρότερη βάση που μπορεί να έχει ένα σύστημα αριθμών θέσης είναι το 2.

      Δυαδικό σύστημα αριθμών.

Στο δυαδικό σύστημα αριθμών, η βάση είναι το 2 και το αλφάβητο αποτελείται από δύο ψηφία (0 και 1). Κατά συνέπεια, οι αριθμοί στο δυαδικό σύστημα σε διευρυμένη μορφή γράφονται ως το άθροισμα των δυνάμεων της βάσης 2 με συντελεστές, οι οποίοι είναι οι αριθμοί 0 και 1.

Για παράδειγμα, μια διευρυμένη σημείωση για έναν δυαδικό αριθμό μπορεί να μοιάζει με αυτό:

1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 +0×2 -1 +1×2 -2 = 101,01 2

Σε γενικές γραμμές, είναι δυνατή η χρήση μιας ποικιλίας συστημάτων αριθμών θέσης. Στα συστήματα αριθμών με βάση q, οι αριθμοί σε διευρυμένη μορφή γράφονται ως το άθροισμα των βαθμών της βάσης q με συντελεστές, που είναι οι αριθμοί 0,1, ..., q-1.

A=a n-1 ×q n-1 +a n-2 ×q n-2 +…+a 1 ×q 1 +a 0 ×q 0 +a -1 ×q -1 +…+am ×q - Μ

Το έργο : Γράψτε τους παρακάτω αριθμούς σε διευρυμένη μορφή:

19,99 10 =1×10 1 +9×10 0 +9×10 -1 +9×10 -2

10,10 2 =1×2 1 +0×2 0 +1×2 -1 +0×2 -2

64,5 8 =6×8 1 +4×8 0 +5×8 -1

39,F 16 =3×16 1 +9×16 0 +F×16 -1

      Μετάφραση αριθμών 10 → 2.

Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος:

    Διαιρέστε τον αριθμό με το 2, διορθώστε το υπόλοιπο και το πηλίκο.

    Αν το πηλίκο είναι ≠0, τότε διαιρέστε το με το 2 και ούτω καθεξής. Συνεχίστε τη διαίρεση όσο το δυνατόν περισσότερο.

    Στο τέλος της διαίρεσης, γράψτε όλα τα υπόλοιπα που προκύπτουν από τα δεξιά προς τα αριστερά.

Παραδείγματα: 7 10 =111 2 ; 26 10 =11010 2 ; 35 10 =100011 2 ; 101 10 =1100101 2 ;

125 10 =1111101 2 ; 253 10 =11111101 2

Το έργο : φτιάξτε ένα τραπέζι στο σημειωματάριό σας. Συμπληρώστε τις δύο πρώτες στήλες.

      Μετάφραση αριθμών 2 → 10.

Για να μετατρέψουμε αριθμούς από δυαδικούς σε δεκαδικούς, χρησιμοποιούμε τον διευρυμένο τύπο για τη γραφή ενός αριθμού:

1000001001 2 =1×2 9 +0×2 8 +0×2 7 +0×2 6 +0×2 5 +0×2 4 +1×2 3 +0×2 2 +0×2 1 +1× 2 0 = 512+8+1=521 10

Παραδείγματα:

  2. 10101000 2 =168 10

    11,11 2 =3,75 10

    101111001 2 =377 10

    10,11 2 =2,75 10

      Οκταδικό σύστημα αριθμών.

Κατά την αναπαράσταση μη μηχανικών δεδομένων (για παράδειγμα, αριθμητικές πληροφορίες), δεν είναι βολικό να χρησιμοποιείτε το δυαδικό σύστημα με τις περίπλοκες εγγραφές του. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται συχνά το οκταδικό σύστημα αριθμών, το οποίο χρησιμοποιεί τους αριθμούς από το 0 έως το 7. Η ευκολία του οκταδικού συστήματος αριθμών είναι ότι η μετάβαση από το οκταδικό σε δυαδικό είναι πολύ απλή: αρκεί να αντικαταστήσετε κάθε οκταδικό ψηφίο με το δυαδική τριάδα.

0→000 1→001 2→010 3→011

4→100 5→101 6→110 7→111

Το έργο: συμπληρώστε την τρίτη στήλη του πίνακα.

Η αντίστροφη μετάβαση από το δυαδικό σε οκταδικό είναι επίσης αρκετά απλή. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να επιλέξετε τριάδες στη δυαδική σημείωση του αριθμού (στα δεξιά και αριστερά της υποδιαστολής) και να αντικαταστήσετε κάθε τριάδα με το αντίστοιχο οκταδικό ψηφίο. Εάν είναι απαραίτητο, οι ημιτελείς τριάδες συμπληρώνονται με μηδενικά.

Παραδείγματα:

    1111110 2 =001 111 110=176 8

    273,54 8 =010 111 011,101 100 2

    101 011 101,101 101 110 2 =535,556 8

Η μετατροπή των αριθμών από το δεκαδικό σύστημα αριθμών στο οκταδικό πραγματοποιείται με διαίρεση με τη βάση του συστήματος αριθμών (στην περίπτωση αυτή, με το 8). Για παράδειγμα, 1678 10 = 3216 8 .

Η μετατροπή από το οκταδικό σύστημα αριθμών στο δεκαδικό πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο για τη διευρυμένη σημείωση του αριθμού:

    703 8 =7×8 2 +0×8 1 +3×8 0 =448+0+8=451 10

    327 8 =3×8 2 +2×8 1 +7×8 0 =192+16+7=215 10

    571 8 =5×8 2 +7×8 1 +1×8 0 =377 10

    67,5 8 =6×8 1 +7×8 0 +5×8 -1 =48+7+0,625=55,625 10

      Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Στην ενδομηχανική επεξεργασία πληροφοριών και για την περιγραφή της λειτουργίας των σύγχρονων υπολογιστών, χρησιμοποιείται το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Για να γράψετε αριθμούς σε αυτό το σύστημα, πρέπει να έχετε δεκαέξι χαρακτήρες. Τα αρχικά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου χρησιμοποιούνται ως ψηφία που λείπουν σε αυτό το σύστημα αριθμών.

Το έργο: συμπληρώστε την τέταρτη στήλη του πίνακα.

Η σύνδεση με το δυαδικό σύστημα αριθμών είναι επίσης προφανής σε αυτή την περίπτωση: κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντικαθίσταται από τέσσερα δυαδικά. Η μετατροπή από δυαδικό σε δεκαεξαδικό είναι επίσης προφανής: ο δυαδικός αριθμός χωρίζεται σε τετράδια και στη συνέχεια το καθένα αντικαθίσταται από ένα δεκαεξαδικό ψηφίο.

    AF,C 16 =1010 1111.1100 2

    B3 16 =10110011 2

    101011101.101101111 2 =0001 0101 1101.1011 01111=15D,B7 16

    100110101111 2 =9AF 16

Σύμφωνα με γνωστούς κανόνες, οι αριθμοί μετατρέπονται από δεκαδικούς σε δεκαεξαδικούς και αντίστροφα:

  2. 1F4 16 =1×16 2 +F×16 1 +4×16 0 =256+15×16+4=500 10

    1E 16 =1×16 1 +E×16 0 =16+14=30 10

    D7 16 =13×16 1 +7×16 0 =215 10

  3. 19F 16 =1×16 2 +9×16 1 +F×16 0 =256+144+15=415 10

  1. 1. Η έννοια της κωδικοποίησης πληροφοριών. Καθολικότητα διακριτής (ψηφιακής) αναπαράστασης πληροφοριών. Συστήματα θέσεων και μη θέσεων. Αλγόριθμοι

    Εγγραφο

    ... (ψηφιακή) παρουσίαση πληροφοριών. θέσεωςΚαι μη θέσεις συστήματα υπολογισμός. Δεκαδικοί αλγόριθμοι μετατροπής συστήματα υπολογισμόςτυχαία και αντίστροφα. Σύνδεση...

  2. Το σύστημα αριθμών είναι ένας τρόπος γραφής αριθμών χρησιμοποιώντας ένα δεδομένο σύνολο ειδικών χαρακτήρων (αριθμούς)

    Εγγραφο

    Ειδικοί χαρακτήρες (αριθμοί). Υπάρχουν θέσεωςΚαι μη θέσεις συστήματα υπολογισμός. Συστήματα υπολογισμόςδυαδικό (χρησιμοποιούνται ψηφία 0, 1). ... σε ένα κελί. Αριθμητικές πράξεις σε θέσεως συστήματα υπολογισμός. Πρόσθεση Βασικές αριθμητικές πράξεις: ...

  3. Νο. 1: Αριθμητικά συστήματα. Μετάφραση αριθμών από σύστημα σε σύστημα. Αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς σε δυαδικά, οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών

    Μάθημα

    ... : Εξοικειωθείτε με τις έννοιες Σύστημα υπολογισμός, θέσεωςΚαι μη θέσεις Σύστημα υπολογισμός, βάση θέσεως συστήματα. Μάθετε πώς να κάνετε έναν πίνακα αντιστοιχίας μεταξύ συστήματα υπολογισμός, μεταφράστε αριθμούς...

Φόρτωση...Φόρτωση...