Εργασίες τριγωνομετρίας στο βασικό επίπεδο εξετάσεων. Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

Μπορείτε να παραγγείλετε μια λεπτομερή λύση στο πρόβλημά σας !!!

Μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο κάτω από το πρόσημο μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης («sin x, cos x, tg x» ή «ctg x») ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και θα εξετάσουμε περαιτέρω τους τύπους τους.

Οι απλούστερες εξισώσεις είναι «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά.

1. Εξίσωση `sin x=a`.

Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Εξίσωση `cos x=a`

Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτόνου, δεν υπάρχουν λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα.

3. Εξίσωση `tg x=a`

Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Εξίσωση `ctg x=a`

Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα

Για τα ιγμόρεια:
Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Η λύση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια:

χρησιμοποιώντας για να το μετατρέψετε στο απλούστερο?
λύστε την απλή εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους για τις ρίζες και τους πίνακες.

Ας εξετάσουμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

αλγεβρική μέθοδος.

Στη μέθοδο αυτή γίνεται η αντικατάσταση μιας μεταβλητής και η αντικατάστασή της σε ισότητα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`,

βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`.

Λύση. Μετακινήστε προς τα αριστερά όλους τους όρους ισότητας: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Πρώτα, πρέπει να φέρετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές:

`a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Στη συνέχεια, διαχωρίστε και τα δύο μέρη κατά «cos x \ne 0» για την πρώτη περίπτωση και κατά «cos^2 x \ne 0» για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για το `tg x`: `a tg x+b=0` και `a tg^2 x + b tg x +c =0`, οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Λύση. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση δεύτερου βαθμού, διαιρώντας το αριστερό και το δεξί μέρος της με το «cos^2 x \ne 0», παίρνουμε:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, ως αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Τότε:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Μεταβείτε στο Half Corner

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Λύση. Εφαρμόζοντας τους τύπους διπλής γωνίας, το αποτέλεσμα είναι: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου τα a,b,c είναι συντελεστές και το x είναι μια μεταβλητή, διαιρούμε και τα δύο μέρη με «sqrt (a^2+b^2)»:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))».

Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημίτονου, δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 1 και το μέτρο τους είναι το πολύ 1. Ας τους συμβολίσουμε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , τότε:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`.

Λύση. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με «sqrt (3^2+4^2)», παίρνουμε:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))».

`3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`.

Σημειώστε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Εφόσον `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητά μας με την ακόλουθη μορφή:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Κλασματικές-ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα, στους αριθμητές και στους παρονομαστές των οποίων υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Λύση. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Δεδομένου ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν, παίρνουμε `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Εξισώστε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`.

Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η μελέτη ξεκινά στην 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για τις εξετάσεις, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων - σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμοι!

Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να είστε σε θέση να συμπεράνετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο.

Προετοιμασία για το επίπεδο προφίλ της ενιαίας κρατικής εξέτασης στα μαθηματικά. Χρήσιμο υλικό για την τριγωνομετρία, μεγάλες θεωρητικές βιντεοδιαλέξεις, βίντεο ανάλυση προβλημάτων και επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών.

Χρήσιμα υλικά

Συλλογές βίντεο και διαδικτυακά μαθήματα

Τριγωνομετρικοί τύποι

Γεωμετρική απεικόνιση τριγωνομετρικών τύπων

Λειτουργίες τόξου. Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Απαραίτητη θεωρία για την επίλυση προβλημάτων.
α) Λύστε την εξίσωση $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2)\right]$.
α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi; -\pi\right]$.
Λύστε την εξίσωση $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
α) Λύστε την εξίσωση $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
Λύστε την εξίσωση $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\δεξιά)$.
α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
α) Λύστε την εξίσωση $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$.

Ανάλυση εργασιών βίντεο

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20)\right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30)\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\δεξιά)$.

α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi\right]$.

β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$.

Επιλογή εργασιών προηγούμενων ετών

α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Πρώιμο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
α) Λύστε την εξίσωση $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
α) Λύστε την εξίσωση $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \δεξιά]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
α) Λύστε την εξίσωση $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
α) Λύστε την εξίσωση $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
β) Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2018. Κύριο κύμα, ημέρα επιφύλαξης)
α) Λύστε την εξίσωση $2x \cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
α) Λύστε την εξίσωση $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
α) Λύστε την εξίσωση $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
α) Λύστε την εξίσωση $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2017, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
α) Λύστε την εξίσωση $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα, ημέρα κράτησης)
α) Λύστε την εξίσωση $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (ΧΡΗΣΗ-2016, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
β) Βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2015, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2014, πρώιμο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2013, κύριο κύμα)
α) Λύστε την εξίσωση $6 \sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
β) Υποδείξτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (ΧΡΗΣΗ-2012, δεύτερο κύμα)

ένα)Λύστε την εξίσωση 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

σι) \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \δεξιά].

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

ένα)Ανοίγοντας τις αγκύλες και μετακινώντας όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά, έχουμε την εξίσωση 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Λαμβάνοντας υπόψη ότι \cos x \neq 0, ο όρος 2 \sin x μπορεί να αντικατασταθεί από 2 tg x \cos x, λαμβάνουμε την εξίσωση 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0,το οποίο, ομαδοποιώντας, μπορεί να αναχθεί στη μορφή (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

σι)Με τη βοήθεια ενός αριθμητικού κύκλου επιλέγουμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \δεξιά].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Απάντηση

ένα) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

σι) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την Εξίσωση (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

ένα) ODZ: \begin(περιπτώσεις) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(περιπτώσεις)

Η αρχική εξίσωση στο ODZ είναι ισοδύναμη με το σύνολο των εξισώσεων

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(πίνακας)\δεξιά.

Ας λύσουμε την πρώτη εξίσωση. Για να γίνει αυτό, θα αντικαταστήσουμε \cos 4x=t, t \σε [-1; ένας].Τότε \sin^24x=1-t^2. Παίρνουμε:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; ένας].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας, βρίσκουμε λύσεις που ικανοποιούν το ODZ.

Το πρόσημο «+» σηματοδοτεί το 1ο και 3ο τέταρτο, στα οποία tg x>0.

Παίρνουμε: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

σι)Ας βρούμε τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \αριστερά(0;\,\frac(3\pi )2\δεξιά].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Απάντηση

ένα) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

σι) \πι; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την εξίσωση: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

σι)Καθορίστε όλες τις ρίζες που ανήκουν στο διάστημα \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

ένα)Επειδή \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,τότε \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Ως εκ τούτου, η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x=\cos ^22x, η οποία, με τη σειρά της, είναι ισοδύναμη με την εξίσωση \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Αλλά \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)και

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, οπότε η εξίσωση γίνεται

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Τότε είτε 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 είτε 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Λύνοντας την πρώτη εξίσωση ως δευτεροβάθμια εξίσωση για το \cos x, παίρνουμε:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Επομένως, είτε \cos x=1 είτε \cosx=-\frac12.Αν \cos x=1, τότε x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Αν \cosx=-\frac12,τότε x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi, s \in \mathbb Z.

Ομοίως, λύνοντας τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε είτε \cos x=-1, είτε \cosx=\frac12.Αν \cos x=-1, τότε οι ρίζες x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Αν \cosx=\frac12,τότε x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Ας συνδυάσουμε τις λύσεις που προέκυψαν:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

σι)Επιλέγουμε τις ρίζες που εμπίπτουν στο δεδομένο διάστημα χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό κύκλο.

Παίρνουμε: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi )3.

Απάντηση

ένα) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

σι) \frac(11\pi )3, 4\pi, \frac(13\pi )3.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την Εξίσωση 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

σι)Να αναφέρετε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\δεξιά).

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

ένα) 1. Σύμφωνα με τον τύπο μείωσης, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx.Ο τομέας της εξίσωσης θα είναι x τιμές τέτοιες ώστε \cos x \neq 0 και tg x \neq -1. Μετασχηματίζουμε την εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο συνημιτόνου διπλής γωνίας 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Παίρνουμε την εξίσωση: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

σημειώσε ότι \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),οπότε η εξίσωση γίνεται: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Από εδώ \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Μετασχηματίστε το \sin x+\cos x χρησιμοποιώντας τον τύπο αναγωγής και τον τύπο για το άθροισμα των συνημιτόνων: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

Από εδώ \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.Που σημαίνει, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

ή x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Έτσι x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

ή x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Οι τιμές του x που βρέθηκαν ανήκουν στον τομέα ορισμού.

σι)Ας μάθουμε πρώτα πού πέφτουν οι ρίζες της εξίσωσης k=0 και t=0. Αυτοί θα είναι αντίστοιχα οι αριθμοί a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5και b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Ας αποδείξουμε μια βοηθητική ανισότητα:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Πραγματικά, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Σημειώστε επίσης ότι \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, που σημαίνει \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Από τις ανισότητες (1) από την ιδιότητα της αρκοσίνης παίρνουμε:

τόξο 1

Από εδώ \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Επίσης, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

Με k=-1 και t=-1 παίρνουμε τις ρίζες της εξίσωσης a-2\pi και b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).Εν -2\pi

2\pi Άρα αυτές οι ρίζες ανήκουν στο δεδομένο διάστημα \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Για άλλες τιμές των k και t, οι ρίζες της εξίσωσης δεν ανήκουν στο δεδομένο διάστημα.

Πράγματι, αν k\geqslant 1 και t\geqslant 1, τότε οι ρίζες είναι μεγαλύτερες από 2\pi. Αν k\leqslant -2 και t\leqslant -2, τότε οι ρίζες είναι λιγότερες -\frac(7\pi )2.

Απάντηση

ένα) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

σι) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

ένα)Λύστε την Εξίσωση \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

σι)Βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο διάστημα ;

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

ένα)Ας μετατρέψουμε την εξίσωση:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

σι)Βρίσκουμε τις ρίζες που ανήκουν στο τμήμα χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο.

Το καθορισμένο διάστημα περιέχει έναν μόνο αριθμό \frac\pi 2.

Απάντηση

ένα) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

σι) \frac\pi 2.

Πηγή: «Μαθηματικά. Προετοιμασία για τις εξετάσεις-2017. επίπεδο προφίλ. Εκδ. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Κατάσταση

δεν περιλαμβάνονται στο ODZ.

Που σημαίνει, \sin x \neq 1.

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον παράγοντα (\sinx-1),διαφορετικό από το μηδέν. Παίρνουμε την εξίσωση \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),ή εξίσωση 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Εφαρμόζοντας τον τύπο αναγωγής στην αριστερή πλευρά και τον τύπο αναγωγής στη δεξιά πλευρά, λαμβάνουμε την εξίσωση 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Αυτή είναι η εξίσωση που χρησιμοποιεί την αντικατάσταση \cosx=t,που -1 \leqslant t \leqslant 1μείωση στο τετράγωνο: 2t^2+t-1=0,των οποίων οι ρίζες t_1=-1και t_2=\frac12.Επιστρέφοντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε \cos x = \frac12ή \cosx=-1,που x=\frac \pi 3+2\pi m, m\in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

σι)Λύστε ανισότητες

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, Μ, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\αριστερά [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί που να ανήκουν στο διάστημα \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\right].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Αυτή η ανισότητα ικανοποιείται από k=-1 και μετά x=-\pi.

Απάντηση

ένα) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, Μ, n, k \in \mathbb Z;

σι) -\πι .