Υπολογισμός του εξαγώνου τύπου. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός εξαγώνου

Το θέμα των πολυγώνων καλύπτεται στο σχολικό πρόγραμμα, αλλά δεν του δίνουν αρκετή σημασία. Εν τω μεταξύ, είναι ενδιαφέρον, και αυτό ισχύει ιδιαίτερα για ένα κανονικό εξάγωνο ή εξάγωνο - εξάλλου, πολλά φυσικά αντικείμενα έχουν αυτό το σχήμα. Αυτά περιλαμβάνουν κηρήθρες και άλλα. Αυτή η φόρμα εφαρμόζεται πολύ καλά στην πράξη.

Ορισμός και κατασκευή

Ένα κανονικό εξάγωνο είναι ένα επίπεδο σχήμα που έχει έξι πλευρές ίσες σε μήκος και τον ίδιο αριθμό ίσων γωνιών.

Αν θυμηθούμε τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου

αποδεικνύεται ότι σε αυτό το σχήμα είναι ίσο με 720 °. Λοιπόν, δεδομένου ότι όλες οι γωνίες του σχήματος είναι ίσες, είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι καθεμία από αυτές είναι ίση με 120 °.

Το να σχεδιάσεις ένα εξάγωνο είναι πολύ απλό, το μόνο που χρειάζεσαι είναι μια πυξίδα και ένα χάρακα.

Οι οδηγίες βήμα προς βήμα θα μοιάζουν με αυτό:

Εάν θέλετε, μπορείτε να κάνετε χωρίς γραμμή σχεδιάζοντας πέντε κύκλους ίσης ακτίνας.

Το σχήμα που προκύπτει θα είναι ένα κανονικό εξάγωνο, και αυτό μπορεί να αποδειχθεί παρακάτω.

Οι ιδιότητες είναι απλές και ενδιαφέρουσες

Για να κατανοήσουμε τις ιδιότητες ενός κανονικού εξαγώνου, είναι λογικό να το σπάσουμε σε έξι τρίγωνα:

Αυτό θα βοηθήσει στο μέλλον να εμφανίζει με μεγαλύτερη σαφήνεια τις ιδιότητές του, οι κυριότερες από τις οποίες είναι:

περιγεγραμμένη διάμετρος κύκλου.
διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου.
περιοχή;
περίμετρος.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος και η δυνατότητα κατασκευής

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από ένα εξάγωνο, και επιπλέον, μόνο ένα. Δεδομένου ότι αυτό το σχήμα είναι σωστό, μπορείτε να το κάνετε πολύ απλά: σχεδιάστε μια διχοτόμο από δύο γειτονικές γωνίες μέσα. Τέμνονται στο σημείο Ο, και μαζί με την μεταξύ τους πλευρά σχηματίζουν ένα τρίγωνο.

Οι γωνίες μεταξύ της πλευράς του εξαγώνου και των διχοτόμων θα είναι 60° η καθεμία, επομένως μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι ένα τρίγωνο, για παράδειγμα, το AOB, είναι ισοσκελές. Και δεδομένου ότι η τρίτη γωνία θα είναι επίσης ίση με 60 °, είναι επίσης ισόπλευρη. Από αυτό προκύπτει ότι τα τμήματα ΟΑ και ΟΒ είναι ίσα, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να χρησιμεύσουν ως η ακτίνα του κύκλου.

Μετά από αυτό, μπορείτε να πάτε στην επόμενη πλευρά και επίσης να σχεδιάσετε μια διχοτόμο από τη γωνία στο σημείο C. Θα βγει ένα άλλο ισόπλευρο τρίγωνο και η πλευρά ΑΒ θα είναι κοινή με δύο ταυτόχρονα και το OS θα είναι η επόμενη ακτίνα μέσω της οποίας περνά ο ίδιος κύκλος. Θα υπάρχουν έξι τέτοια τρίγωνα συνολικά, και θα έχουν μια κοινή κορυφή στο σημείο Ο. Αποδεικνύεται ότι θα είναι δυνατό να περιγραφεί ο κύκλος, και είναι μόνο ένα, και η ακτίνα του είναι ίση με την πλευρά του εξαγώνου :

Γι' αυτό είναι δυνατή η κατασκευή αυτής της φιγούρας με τη βοήθεια μιας πυξίδας και ενός χάρακα.

Λοιπόν, η περιοχή αυτού του κύκλου θα είναι τυπική:

Εγγεγραμμένος κύκλος

Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου συμπίπτει με το κέντρο του εγγεγραμμένου. Για να το επαληθεύσουμε αυτό, μπορούμε να σχεδιάσουμε κάθετες από το σημείο Ο προς τις πλευρές του εξαγώνου. Θα είναι τα ύψη εκείνων των τριγώνων που αποτελούν το εξάγωνο. Και σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, το ύψος είναι το διάμεσο σε σχέση με την πλευρά στην οποία στηρίζεται. Έτσι, αυτό το ύψος δεν είναι παρά η κάθετη διχοτόμος, που είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου υπολογίζεται απλά:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Και αφού R=a και r=h, αποδεικνύεται ότι

r=R(√3)/2.

Έτσι, ο εγγεγραμμένος κύκλος διέρχεται από τα κέντρα των πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου.

Η περιοχή του θα είναι:

S=3πa²/4,

δηλαδή τα τρία τέταρτα αυτού που περιγράφεται.

Περίμετρος και εμβαδόν

Όλα είναι ξεκάθαρα με την περίμετρο, αυτό είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών:

Ρ=6α, ή P=6R

Αλλά το εμβαδόν θα είναι ίσο με το άθροισμα και των έξι τριγώνων στα οποία μπορεί να χωριστεί το εξάγωνο. Εφόσον το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το μισό γινόμενο της βάσης και του ύψους, τότε:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2ή

S=3R²(√3)/2

Όσοι επιθυμούν να υπολογίσουν αυτό το εμβαδόν μέσω της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου μπορούν να γίνουν ως εξής:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Διασκεδαστικές κατασκευές

Ένα τρίγωνο μπορεί να εγγραφεί σε ένα εξάγωνο, οι πλευρές του οποίου θα συνδέουν τις κορυφές μέσω ενός:

Θα είναι δύο συνολικά, και η επιβολή τους ο ένας στον άλλο θα δώσει το αστέρι του Δαβίδ. Κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα είναι ισόπλευρο. Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί. Αν κοιτάξετε την πλευρά AC, τότε ανήκει σε δύο τρίγωνα ταυτόχρονα - BAC και AEC. Εάν στο πρώτο από αυτά AB \u003d BC, και η γωνία μεταξύ τους είναι 120 °, τότε καθένα από τα υπόλοιπα θα είναι 30 °. Από αυτό μπορούμε να βγάλουμε λογικά συμπεράσματα:

Το ύψος του ABC από την κορυφή Β θα είναι ίσο με τη μισή πλευρά του εξαγώνου, αφού sin30°=1/2. Όσοι επιθυμούν να το επαληθεύσουν μπορούν να συμβουλεύονται να υπολογίσουν εκ νέου σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, ταιριάζει απόλυτα εδώ.
Η πλευρά AC θα είναι ίση με δύο ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος υπολογίζεται πάλι χρησιμοποιώντας το ίδιο θεώρημα. Δηλαδή AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
Τα τρίγωνα ABC, CDE και AEF είναι ίσα σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία και επομένως ακολουθεί η ισότητα των πλευρών AC, CE και EA.

Τέμνοντας μεταξύ τους, τα τρίγωνα σχηματίζουν ένα νέο εξάγωνο, και είναι επίσης κανονικό. Είναι εύκολο να αποδείξεις:

Έτσι, το σχήμα συναντά τα σημάδια ενός κανονικού εξαγώνου - έχει έξι ίσες πλευρές και γωνίες. Από την ισότητα των τριγώνων στις κορυφές, είναι εύκολο να συναχθεί το μήκος της πλευράς του νέου εξαγώνου:

d=а(√3)/3

Θα είναι επίσης η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω του. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου θα είναι η μισή πλευρά του μεγάλου εξαγώνου, κάτι που αποδείχθηκε όταν λάβαμε υπόψη το τρίγωνο ΑΒΓ. Το ύψος του είναι ακριβώς το μισό της πλευράς, επομένως, το δεύτερο μισό είναι η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο μικρό εξάγωνο:

r2=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Αποδεικνύεται ότι το εμβαδόν του εξαγώνου μέσα στο αστέρι του Δαβίδ είναι τρεις φορές μικρότερο από αυτό του μεγάλου στο οποίο είναι εγγεγραμμένο το αστέρι.

Από τη θεωρία στην πράξη

Οι ιδιότητες του εξαγώνου χρησιμοποιούνται πολύ ενεργά τόσο στη φύση όσο και σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Πρώτα απ 'όλα, αυτό ισχύει για μπουλόνια και παξιμάδια - τα καπέλα του πρώτου και του δεύτερου δεν είναι τίποτα άλλο από ένα κανονικό εξάγωνο, αν δεν λάβετε υπόψη τις λοξοτομές. Το μέγεθος των κλειδιών αντιστοιχεί στη διάμετρο του εγγεγραμμένου κύκλου - δηλαδή στην απόσταση μεταξύ των απέναντι όψεων.

Έχει βρει την εφαρμογή του και εξαγωνικά πλακάκια. Είναι πολύ λιγότερο κοινό από ένα τετράγωνο, αλλά είναι πιο βολικό να το τοποθετήσετε: τρία πλακάκια συναντώνται σε ένα σημείο, όχι τέσσερα. Οι συνθέσεις μπορεί να είναι πολύ ενδιαφέρουσες:

Παράγονται επίσης πλάκες από σκυρόδεμα.

Η επικράτηση του εξαγώνου στη φύση εξηγείται απλά. Έτσι, είναι πιο εύκολο να τοποθετήσετε κύκλους και μπάλες σφιχτά σε ένα αεροπλάνο εάν έχουν την ίδια διάμετρο. Εξαιτίας αυτού, οι κηρήθρες έχουν τέτοιο σχήμα.

Μετατροπέας μονάδων απόστασης και μήκους Μετατροπέας μονάδων περιοχής Εγγραφή © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Απαγορεύεται η αντιγραφή υλικών. Στην ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τιμές στις ίδιες μονάδες μέτρησης! Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με τη μετατροπή μονάδων μέτρησης, χρησιμοποιήστε τον μετατροπέα μονάδων απόστασης και μήκους και τον μετατροπέα μονάδων περιοχής. Πρόσθετα χαρακτηριστικά της αριθμομηχανής τετράπλευρου εμβαδού

Μπορείτε να μετακινηθείτε μεταξύ των πεδίων εισαγωγής πατώντας το δεξί και το αριστερό πλήκτρο στο πληκτρολόγιο.

Θεωρία. Εμβαδόν τετράπλευρου Το τετράπλευρο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τέσσερα σημεία (κορυφές), από τα οποία κανένα δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία γραμμή, και τέσσερα τμήματα (πλευρές) που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη. Ένα τετράπλευρο λέγεται κυρτό εάν το τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία αυτού του τετράπλευρου θα βρίσκεται μέσα του.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου;

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του εμβαδού καθορίζεται λαμβάνοντας κάθε άκρο του πολυγώνου ΑΒ και υπολογίζοντας το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΟ με κορυφή στην αρχή Ο, μέσω των συντεταγμένων των κορυφών. Όταν περπατάτε γύρω από ένα πολύγωνο, σχηματίζονται τρίγωνα, συμπεριλαμβανομένου του εσωτερικού του πολυγώνου και βρίσκονται έξω από αυτό. Η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος αυτών των περιοχών είναι η περιοχή του ίδιου του πολυγώνου.

Επομένως, ο τύπος ονομάζεται τύπος του τοπογράφου, αφού ο "χαρτογράφος" είναι στην αρχή. αν περπατά την περιοχή αριστερόστροφα, η περιοχή προστίθεται αν είναι στα αριστερά και αφαιρείται αν είναι δεξιά ως προς την αρχή. Ο τύπος εμβαδού ισχύει για οποιοδήποτε μη τεμνόμενο (απλό) πολύγωνο, το οποίο μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Περιεχόμενο

1 Ορισμός
2 Παραδείγματα
3 Πιο περίπλοκο παράδειγμα
4 Επεξήγηση ονόματος
5 Βλ

Περιοχή πολυγώνου

Προσοχή

Θα μπορούσε να είναι:

τρίγωνο;
τετράπλευρο;
πεντάγωνο ή εξάγωνο και ούτω καθεξής.

Ένα τέτοιο σχήμα σίγουρα θα χαρακτηρίζεται από δύο θέσεις:

Οι διπλανές πλευρές δεν ανήκουν στην ίδια γραμμή.
Τα μη γειτονικά δεν έχουν κοινά σημεία, δηλαδή δεν τέμνονται.

Για να καταλάβετε ποιες κορυφές είναι γειτονικές, πρέπει να δείτε αν ανήκουν στην ίδια πλευρά. Αν ναι, τότε γειτονική. Διαφορετικά, μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα, το οποίο πρέπει να ονομάζεται διαγώνιος. Μπορούν να σχεδιαστούν μόνο σε πολύγωνα που έχουν περισσότερες από τρεις κορυφές.

Τι είδους από αυτά υπάρχουν; Ένα πολύγωνο με περισσότερες από τέσσερις γωνίες μπορεί να είναι κυρτό ή κοίλο. Η διαφορά του τελευταίου είναι ότι ορισμένες από τις κορυφές του μπορεί να βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές μιας ευθείας γραμμής που τραβιέται μέσα από μια αυθαίρετη πλευρά του πολυγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κανονικού και ακανόνιστου εξαγώνου;

Γνωρίζοντας το μήκος της πλευράς, πολλαπλασιάστε το με 6 και λάβετε την περίμετρο του εξαγώνου: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
Αντικαταστήστε τα αποτελέσματα στον τύπο μας:

τραπεζοειδής μέθοδος.
Μια μέθοδος για τον υπολογισμό του εμβαδού των ακανόνιστων πολυγώνων χρησιμοποιώντας τον άξονα συντεταγμένων.
Μια μέθοδος για τη διαίρεση ενός εξαγώνου σε άλλα σχήματα.

Ανάλογα με τα αρχικά δεδομένα που θα γνωρίζετε, επιλέγεται η κατάλληλη μέθοδος.

Σπουδαίος

Μερικά ακανόνιστα εξάγωνα αποτελούνται από δύο παραλληλόγραμμα. Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου, πολλαπλασιάστε το μήκος του με το πλάτος του και στη συνέχεια προσθέστε τις δύο ήδη γνωστές περιοχές. Βίντεο για το πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός πολυγώνου Ένα ισόπλευρο εξάγωνο έχει έξι ίσες πλευρές και είναι ένα κανονικό εξάγωνο.

Το εμβαδόν ενός ισόπλευρου εξαγώνου ισούται με 6 περιοχές των τριγώνων στα οποία χωρίζεται ένα κανονικό εξαγωνικό σχήμα. Όλα τα τρίγωνα σε ένα κανονικό εξάγωνο είναι ίσα, οπότε για να βρείτε το εμβαδόν ενός τέτοιου εξαγώνου, αρκεί να γνωρίζετε το εμβαδόν τουλάχιστον ενός τριγώνου. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου εξαγώνου, φυσικά, χρησιμοποιείται ο τύπος για το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου, που περιγράφεται παραπάνω.

404 δεν βρέθηκε

Η διακόσμηση ενός σπιτιού, η ένδυση, η σχεδίαση εικόνων συνέβαλαν στη διαδικασία σχηματισμού και συσσώρευσης πληροφοριών στον τομέα της γεωμετρίας, τις οποίες οι άνθρωποι εκείνης της εποχής έπαιρναν εμπειρικά, σπιθαμή προς σπιθαμή και μετέδιδαν από γενιά σε γενιά. Σήμερα, η γνώση της γεωμετρίας είναι απαραίτητη για έναν κόφτη, έναν οικοδόμο, έναν αρχιτέκτονα και κάθε απλό άνθρωπο στην καθημερινή ζωή. Επομένως, πρέπει να μάθετε πώς να υπολογίζετε την περιοχή διαφορετικών ψηφίων και να θυμάστε ότι καθένας από τους τύπους μπορεί να είναι χρήσιμος αργότερα στην πράξη, συμπεριλαμβανομένου του τύπου για ένα κανονικό εξάγωνο.
Ένα εξάγωνο είναι ένα τέτοιο πολυγωνικό σχήμα, του οποίου ο συνολικός αριθμός γωνιών είναι έξι. Ένα κανονικό εξάγωνο είναι ένα εξάγωνο σχήμα που έχει ίσες πλευρές. Οι γωνίες ενός κανονικού εξαγώνου είναι επίσης ίσες μεταξύ τους.
Στην καθημερινή ζωή, μπορούμε συχνά να βρούμε αντικείμενα που έχουν σχήμα κανονικού εξαγώνου.

Υπολογιστής ακανόνιστου εμβαδού πολυγώνου στα πλάγια

Θα χρειαστείτε

- ρουλέτα
— ηλεκτρονικός αποστασιόμετρο·
- ένα φύλλο χαρτιού και ένα μολύβι.
- αριθμομηχανή.

Οδηγία 1 Εάν χρειάζεστε τη συνολική επιφάνεια ενός διαμερίσματος ή ενός ξεχωριστού δωματίου, απλώς διαβάστε το τεχνικό διαβατήριο για το διαμέρισμα ή το σπίτι, το οποίο δείχνει το πλάνα κάθε δωματίου και το συνολικό πλάνα του διαμερίσματος. 2 Για να μετρήσετε την περιοχή ενός ορθογώνιου ή τετράγωνου δωματίου, πάρτε μια μεζούρα ή έναν ηλεκτρονικό αποστασιόμετρο και μετρήστε το μήκος των τοίχων. Όταν μετράτε αποστάσεις με αποστασιόμετρο, φροντίστε να διατηρείτε την κατεύθυνση της δέσμης κάθετη, διαφορετικά τα αποτελέσματα της μέτρησης ενδέχεται να παραμορφωθούν. 3 Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το μήκος που προκύπτει (σε μέτρα) του δωματίου με το πλάτος (σε μέτρα). Η προκύπτουσα τιμή θα είναι η επιφάνεια του δαπέδου, μετράται σε τετραγωνικά μέτρα.

Τύπος περιοχής Gauss

Εάν πρέπει να υπολογίσετε την επιφάνεια δαπέδου μιας πιο περίπλοκης κατασκευής, όπως ένα πενταγωνικό δωμάτιο ή ένα δωμάτιο με στρογγυλή καμάρα, σχεδιάστε ένα σχηματικό σκίτσο σε ένα κομμάτι χαρτί. Στη συνέχεια, χωρίστε το σύνθετο σχήμα σε πολλά απλά, όπως ένα τετράγωνο και ένα τρίγωνο ή ένα ορθογώνιο και ένα ημικύκλιο. Χρησιμοποιήστε μια μεζούρα ή μετρητή απόστασης για να μετρήσετε το μέγεθος όλων των πλευρών των σχημάτων που προκύπτουν (για έναν κύκλο, πρέπει να γνωρίζετε τη διάμετρο) και εισαγάγετε τα αποτελέσματα στο σχέδιό σας.

5 Τώρα υπολογίστε το εμβαδόν κάθε σχήματος ξεχωριστά. Το εμβαδόν των ορθογωνίων και των τετραγώνων υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πλευρές. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κύκλου, διαιρέστε τη διάμετρο στο μισό και στο τετράγωνο (πολλαπλασιάστε την από μόνη της) και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με 3,14.
Εάν θέλετε μόνο το μισό του κύκλου, διαιρέστε την περιοχή που προκύπτει στη μέση. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου, βρείτε το P διαιρώντας το άθροισμα όλων των πλευρών με το 2.

Τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ακανόνιστου πολυγώνου

Εάν τα σημεία αριθμούνται διαδοχικά αριστερόστροφα, τότε οι ορίζοντες στον παραπάνω τύπο είναι θετικοί και ο συντελεστής σε αυτόν μπορεί να παραλειφθεί. αν είναι αριθμημένα δεξιόστροφα, οι ορίζουσες θα είναι αρνητικές. Αυτό συμβαίνει επειδή ο τύπος μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Green. Για να εφαρμόσετε τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυγώνου στο καρτεσιανό επίπεδο.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε ένα τρίγωνο με συντεταγμένες ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Πάρτε την πρώτη συντεταγμένη x της πρώτης κορυφής και πολλαπλασιάστε την με τη συντεταγμένη y της δεύτερης κορυφής και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τη συντεταγμένη x της δεύτερης κορυφής με τη συντεταγμένη y της τρίτης. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για όλες τις κορυφές. Το αποτέλεσμα μπορεί να προσδιοριστεί με τον ακόλουθο τύπο: A tri.

Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ακανόνιστου τετράπλευρου

Α) _(\κείμενο(τρι.))=(1 \πάνω από 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) όπου xi και yi δηλώνουν την αντίστοιχη συντεταγμένη. Αυτός ο τύπος μπορεί να ληφθεί ανοίγοντας τις αγκύλες στον γενικό τύπο για την περίπτωση n = 3. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να βρείτε ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος των 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, που δίνει 3. Ο αριθμός των μεταβλητών στον τύπο εξαρτάται από τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. Για παράδειγμα, ο τύπος για το εμβαδόν ενός πενταγώνου θα χρησιμοποιεί μεταβλητές έως x5 και y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \πάνω από 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A για τετραπλό - μεταβλητές έως x4 και y4: Ένα τετραπλό.

Υπάρχει μολύβι κοντά σας; Ρίξτε μια ματιά στο τμήμα του - είναι ένα κανονικό εξάγωνο ή, όπως ονομάζεται επίσης, ένα εξάγωνο. Η διατομή ενός καρυδιού, ένα πεδίο εξαγωνικού σκακιού, μερικά πολύπλοκα μόρια άνθρακα (για παράδειγμα, γραφίτης), μια νιφάδα χιονιού, μια κηρήθρα και άλλα αντικείμενα έχουν επίσης αυτό το σχήμα. Ένα γιγάντιο κανονικό εξάγωνο ανακαλύφθηκε πρόσφατα μέσα. Δεν σας φαίνεται παράξενο που η φύση χρησιμοποιεί τόσο συχνά δομές αυτού του συγκεκριμένου σχήματος για τις δημιουργίες της; Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.

Κανονικό εξάγωνο είναι ένα πολύγωνο με έξι ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Από το σχολικό μάθημα γνωρίζουμε ότι έχει τις εξής ιδιότητες:

Το μήκος των πλευρών του αντιστοιχεί στην ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Από όλα, μόνο ένα κανονικό εξάγωνο έχει αυτή την ιδιότητα.
Οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και το μέγεθος της καθεμίας είναι 120 °.
Η περίμετρος ενός εξαγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Р=6*R εάν είναι γνωστή η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτό ή Р=4*√(3)*r εάν ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε αυτό. Τα R και r είναι οι ακτίνες των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων.
Το εμβαδόν που καταλαμβάνει ένα κανονικό εξάγωνο προσδιορίζεται ως εξής: S=(3*√(3)*R 2)/2. Εάν η ακτίνα είναι άγνωστη, αντικαθιστούμε το μήκος μιας από τις πλευρές αντί για αυτήν - όπως γνωρίζετε, αντιστοιχεί στο μήκος της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου.

Το κανονικό εξάγωνο έχει ένα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό λόγω του οποίου έχει γίνει τόσο διαδεδομένο στη φύση - είναι σε θέση να γεμίσει οποιαδήποτε επιφάνεια του αεροπλάνου χωρίς επικαλύψεις και κενά. Υπάρχει ακόμη και το λεγόμενο Pal lemma, σύμφωνα με το οποίο ένα κανονικό εξάγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με 1/√(3) είναι ελαστικό γενικής χρήσης, δηλαδή μπορεί να καλύψει οποιοδήποτε σύνολο με διάμετρο μίας μονάδας.

Τώρα σκεφτείτε την κατασκευή ενός κανονικού εξαγώνου. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι, ο πιο εύκολος από τους οποίους περιλαμβάνει τη χρήση πυξίδας, μολυβιού και χάρακα. Αρχικά, σχεδιάζουμε έναν αυθαίρετο κύκλο με μια πυξίδα και, στη συνέχεια, κάνουμε ένα σημείο σε μια αυθαίρετη θέση σε αυτόν τον κύκλο. Χωρίς να αλλάξουμε τη λύση της πυξίδας, βάζουμε την άκρη σε αυτό το σημείο, σημειώνουμε την επόμενη εγκοπή στον κύκλο, συνεχίζουμε έτσι μέχρι να πάρουμε και τους 6 πόντους. Τώρα μένει μόνο να τα συνδέσουμε μεταξύ τους με ευθεία τμήματα και θα αποδειχθεί το επιθυμητό σχήμα.

Στην πράξη, υπάρχουν φορές που πρέπει να σχεδιάσετε ένα μεγάλο εξάγωνο. Για παράδειγμα, σε μια οροφή από γυψοσανίδα δύο επιπέδων, γύρω από το σημείο στερέωσης του κεντρικού πολυελαίου, πρέπει να εγκαταστήσετε έξι μικρούς λαμπτήρες στο κάτω επίπεδο. Θα είναι πολύ, πολύ δύσκολο να βρείτε μια πυξίδα αυτού του μεγέθους. Πώς να προχωρήσετε σε αυτή την περίπτωση; Πώς σχεδιάζετε έναν μεγάλο κύκλο; Πολύ απλό. Πρέπει να πάρετε μια δυνατή κλωστή με το επιθυμητό μήκος και να δέσετε μια από τις άκρες της απέναντι από το μολύβι. Τώρα μένει μόνο να βρεθεί ένας βοηθός που θα πιέσει το δεύτερο άκρο του νήματος στο ταβάνι στο σωστό σημείο. Φυσικά, σε αυτήν την περίπτωση, είναι πιθανά μικρά λάθη, αλλά είναι απίθανο να γίνουν αντιληπτά σε έναν ξένο.

Μαθηματικές ιδιότητες

Χαρακτηριστικό ενός κανονικού εξαγώνου είναι η ισότητα της πλευράς του και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, αφού

Όλες οι γωνίες είναι 120°.

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι:

Η περίμετρος ενός κανονικού εξαγώνου είναι:

Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου υπολογίζεται από τους τύπους:

Εξάγωνα πλακάκια στο αεροπλάνο, δηλαδή μπορούν να γεμίσουν το αεροπλάνο χωρίς κενά και επικαλύψεις, σχηματίζοντας το λεγόμενο παρκέ.

Εξαγωνικό παρκέ (εξαγωνικό παρκέ)- πλάκα του επιπέδου με ίσα κανονικά εξάγωνα που βρίσκονται πλάι σε πλευρά.

Το εξαγωνικό παρκέ είναι διπλό σε τριγωνικό παρκέ: εάν συνδέσετε τα κέντρα των παρακείμενων εξαγώνων, τότε τα τμήματα που σχεδιάζονται θα δώσουν ένα τριγωνικό παρκέ. Το σύμβολο Schläfli ενός εξαγωνικού παρκέ είναι (6,3), που σημαίνει ότι τρία εξάγωνα συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του παρκέ.

Το εξαγωνικό παρκέ είναι το πιο πυκνό πακέτο κύκλων στο αεροπλάνο. Στον δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, το καλύτερο γέμισμα είναι να τοποθετηθούν τα κέντρα των κύκλων στις κορυφές ενός παρκέ που σχηματίζεται από κανονικά εξάγωνα, στο οποίο κάθε κύκλος περιβάλλεται από έξι άλλους. Η πυκνότητα αυτής της συσκευασίας είναι . Το 1940, αποδείχθηκε ότι αυτή η συσκευασία είναι η πιο πυκνή.

Ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρά είναι ένα καθολικό κάλυμμα, δηλαδή, οποιοδήποτε σύνολο διαμέτρου μπορεί να καλυφθεί από ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρά (λήμμα Pal).

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και μια ευθεία. Παρακάτω είναι η μέθοδος κατασκευής που προτείνεται από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία, Βιβλίο IV, Θεώρημα 15.

Κανονικό εξάγωνο στη φύση, την τεχνολογία και τον πολιτισμό

δείξτε τη διαίρεση του επιπέδου σε κανονικά εξάγωνα. Το εξαγωνικό σχήμα περισσότερο από τα άλλα σας επιτρέπει να κάνετε οικονομία στους τοίχους, δηλαδή λιγότερο κερί θα δαπανηθεί σε κηρήθρες με τέτοια κύτταρα.

Μερικοί σύνθετοι κρύσταλλοι και μόρια, όπως ο γραφίτης, έχουν εξαγωνικό κρυσταλλικό πλέγμα.

Σχηματίζεται όταν μικροσκοπικά σταγονίδια νερού στα σύννεφα έλκονται από σωματίδια σκόνης και παγώνουν. Οι παγοκρύσταλλοι που εμφανίζονται στην περίπτωση αυτή, οι οποίοι αρχικά δεν ξεπερνούν το 0,1 mm σε διάμετρο, πέφτουν κάτω και μεγαλώνουν ως αποτέλεσμα της συμπύκνωσης της υγρασίας από τον αέρα πάνω τους. Σε αυτή την περίπτωση, σχηματίζονται κρυσταλλικές μορφές με έξι άκρες. Λόγω της δομής των μορίων του νερού, μόνο γωνίες 60° και 120° είναι δυνατές μεταξύ των ακτίνων του κρυστάλλου. Ο κύριος κρύσταλλος νερού έχει το σχήμα ενός κανονικού εξαγώνου στο επίπεδο. Στη συνέχεια εναποτίθενται νέοι κρύσταλλοι στις κορυφές ενός τέτοιου εξαγώνου, νέοι εναποτίθενται πάνω τους και έτσι λαμβάνονται διάφορες μορφές αστεριών νιφάδας χιονιού.

Επιστήμονες από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης κατάφεραν να προσομοιώσουν την εμφάνιση ενός τέτοιου εξαγώνου στο εργαστήριο. Για να μάθουν πώς συμβαίνει ένας τέτοιος σχηματισμός, οι ερευνητές τοποθέτησαν ένα μπουκάλι νερού 30 λίτρων σε ένα περιστρεφόμενο δίσκο. Διαμόρφωσε την ατμόσφαιρα του Κρόνου και τη συνηθισμένη περιστροφή του. Στο εσωτερικό, οι επιστήμονες τοποθέτησαν μικρούς δακτυλίους που περιστρέφονται πιο γρήγορα από το δοχείο. Αυτό δημιούργησε μικροσκοπικές δίνες και πίδακες, τις οποίες οι πειραματιστές οραματίστηκαν με πράσινη μπογιά. Όσο πιο γρήγορα περιστρεφόταν ο δακτύλιος, τόσο μεγαλύτερες γίνονταν οι δίνες, με αποτέλεσμα το κοντινό ρεύμα να αποκλίνει από το κυκλικό σχήμα. Έτσι, οι συγγραφείς του πειράματος κατάφεραν να αποκτήσουν διάφορα σχήματα - οβάλ, τρίγωνα, τετράγωνα και, φυσικά, το επιθυμητό εξάγωνο.

Ένα φυσικό μνημείο με περίπου 40.000 διασυνδεδεμένες στήλες από βασάλτη (σπάνια ανδεσιτικές), που σχηματίστηκαν ως αποτέλεσμα μιας αρχαίας ηφαιστειακής έκρηξης. Βρίσκεται στα βορειοανατολικά της Βόρειας Ιρλανδίας, 3 χλμ βόρεια της πόλης Bushmills.

Οι κορυφές των κιόνων σχηματίζουν ένα είδος εφαλτηρίου, που ξεκινά από τους πρόποδες του γκρεμού και χάνεται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. Οι περισσότεροι από τους κίονες είναι εξαγωνικοί, αν και μερικοί έχουν τέσσερις, πέντε, επτά ή οκτώ γωνίες. Η ψηλότερη στήλη έχει ύψος περίπου 12 μέτρα.

Πριν από περίπου 50-60 εκατομμύρια χρόνια, κατά την περίοδο του Παλαιογένους, η τοποθεσία Antrim υπόκειται σε έντονη ηφαιστειακή δραστηριότητα όταν λιωμένος βασάλτης διείσδυσε μέσα από τις αποθέσεις, σχηματίζοντας εκτεταμένα οροπέδια λάβας. Με γρήγορη ψύξη, ο όγκος της ουσίας μειώθηκε (αυτό παρατηρείται όταν στεγνώνει η λάσπη). Η οριζόντια συμπίεση είχε ως αποτέλεσμα τη χαρακτηριστική δομή των εξαγωνικών πυλώνων.

Η διατομή του παξιμαδιού έχει τη μορφή κανονικού εξαγώνου.

Ξέρετε πώς μοιάζει ένα κανονικό εξάγωνο;
Αυτή η ερώτηση δεν έγινε τυχαία. Οι περισσότεροι μαθητές στην 11η τάξη δεν γνωρίζουν την απάντηση σε αυτό.

Κανονικό εξάγωνο είναι αυτό στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες είναι επίσης ίσες..

Σιδερένιο παξιμάδι. Νιφάδα χιονιού. Ένα κελί από κηρήθρες στο οποίο ζουν μέλισσες. Μόριο βενζολίου. Τι κοινό έχουν αυτά τα αντικείμενα; - Το γεγονός ότι όλα έχουν κανονικό εξαγωνικό σχήμα.

Πολλοί μαθητές χάνονται όταν βλέπουν εργασίες για ένα κανονικό εξάγωνο και πιστεύουν ότι χρειάζονται κάποιες ειδικές φόρμουλες για την επίλυσή τους. Είναι έτσι?

Σχεδιάστε τις διαγώνιες ενός κανονικού εξαγώνου. Πήραμε έξι ισόπλευρα τρίγωνα.

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι .

Τότε η περιοχή ενός κανονικού εξαγώνου είναι έξι φορές μεγαλύτερη.

Πού είναι η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου.

Σημειώστε ότι σε ένα κανονικό εξάγωνο, η απόσταση από το κέντρο του σε οποιαδήποτε από τις κορυφές είναι ίδια και ίση με την πλευρά του κανονικού εξαγώνου.

Αυτό σημαίνει ότι η ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό εξάγωνο είναι ίση με την πλευρά του.
Η ακτίνα ενός κύκλου που εγγράφεται σε ένα κανονικό εξάγωνο είναι εύκολο να βρεθεί.
Είναι ίσος.
Τώρα μπορείτε εύκολα να λύσετε τυχόν προβλήματα ΧΡΗΣΗΣ στα οποία εμφανίζεται ένα κανονικό εξάγωνο.

Βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε κανονικό εξάγωνο με πλευρά .

Η ακτίνα ενός τέτοιου κύκλου είναι .

Απάντηση: .

Ποια είναι η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο με ακτίνα 6;

Γνωρίζουμε ότι η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτό.