Αριθμητικά και λογικά θεμέλια λειτουργίας υπολογιστή αριθμητικού συστήματος. Αριθμητικές και λογικές βάσεις υπολογιστών

Επί του παρόντος, στην καθημερινή ζωή, για την κωδικοποίηση αριθμητικών πληροφοριών, χρησιμοποιείται ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών με βάση το 10, στο οποίο χρησιμοποιούνται 10 στοιχεία χαρακτηρισμού: οι αριθμοί 0,1,2, ... 8,9. Το πρώτο (χαμηλότερο) ψηφίο δείχνει τον αριθμό των μονάδων, το δεύτερο - δεκάδες, το τρίτο - εκατοντάδες κ.λπ. Με άλλα λόγια, σε κάθε επόμενο ψηφίο, το βάρος του ψηφιακού συντελεστή αυξάνεται κατά 10 φορές.
Στις συσκευές ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών, χρησιμοποιείται ένα δυαδικό σύστημα αριθμών με βάση 2, στο οποίο χρησιμοποιούνται δύο στοιχεία χαρακτηρισμού: 0 και 1.
Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός 101011 είναι ισοδύναμος με τον δεκαδικό αριθμό 43:
Στις ψηφιακές συσκευές, χρησιμοποιούνται ειδικοί όροι για να δηλώσουν μονάδες πληροφοριών διαφόρων μεγεθών: bit, byte, kilobyte, megabyte, κ.λπ. Ένα bit ή δυαδικό ψηφίο καθορίζει την τιμή οποιουδήποτε χαρακτήρα σε έναν δυαδικό αριθμό. Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός 101 έχει τρία bit ή τρία ψηφία. Το ψηφίο στα δεξιά, με το μικρότερο βάρος, ονομάζεται νεότερος και το ψηφίο στα αριστερά, με το μεγαλύτερο βάρος, ονομάζεται ανώτερος.
Ένα byte ορίζει μια μονάδα πληροφοριών 8-bit, 1byte=23 bit, π.χ. 10110011 ή 01010111 κ.λπ.,
Για την αναπαράσταση πολυψήφιων αριθμών στο δυαδικό σύστημα, απαιτείται μεγάλος αριθμός δυαδικών ψηφίων. Η εγγραφή είναι ευκολότερη εάν χρησιμοποιείτε το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.
Η βάση του δεκαεξαδικού συστήματος αριθμών είναι ο αριθμός 16=, ο οποίος χρησιμοποιεί 16 στοιχεία χαρακτηρισμού: αριθμούς από το 0 έως το 9 και γράμματα A,B,C,D,E,F. Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαεξαδικό, αρκεί να διαιρέσετε τον δυαδικό αριθμό σε ομάδες τεσσάρων bit: το ακέραιο μέρος από δεξιά προς τα αριστερά, το κλασματικό τμήμα από αριστερά προς τα δεξιά από το κόμμα. Οι ακραίες ομάδες μπορεί να είναι ελλιπείς.
Κάθε δυαδική ομάδα αντιπροσωπεύεται από τον αντίστοιχο δεκαεξαδικό χαρακτήρα (Πίνακας 1). Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός 0101110000111001 σε δεκαεξαδικό εκφράζεται ως 5C39.
Ο χρήστης είναι πιο άνετος με το σύστημα δεκαδικών αριθμών. Επομένως, πολλές ψηφιακές συσκευές, που λειτουργούν με δυαδικούς αριθμούς, λαμβάνουν και εκδίδουν δεκαδικούς αριθμούς στο χρήστη. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ένας δυαδικός-δεκαδικός κώδικας.
Ένας δυαδικός-δεκαδικός κωδικός σχηματίζεται αντικαθιστώντας κάθε δεκαδικό ψηφίο ενός αριθμού με μια δυαδική αναπαράσταση τεσσάρων bit αυτού του ψηφίου σε δυαδικό κώδικα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 15 αντιπροσωπεύεται ως 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε byte περιέχει δύο δεκαδικά ψηφία. Σημειώστε ότι ο δυαδικός-δεκαδικός κώδικας με αυτήν τη μετατροπή δεν είναι δυαδικός αριθμός ισοδύναμος με δεκαδικό αριθμό.
Ο κλάδος της μαθηματικής λογικής που μελετά τις σχέσεις μεταξύ λογικών μεταβλητών που έχουν μόνο δύο τιμές ονομάζεται άλγεβρα της λογικής. Η άλγεβρα της λογικής αναπτύχθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό J. Boole και συχνά ονομάζεται άλγεβρα Boole. Η άλγεβρα της λογικής είναι η θεωρητική βάση για την κατασκευή συστημάτων ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών. Πρώτον, με βάση τους νόμους της άλγεβρας της λογικής, αναπτύσσεται μια λογική εξίσωση της συσκευής, η οποία σας επιτρέπει να συνδέσετε λογικά στοιχεία με τέτοιο τρόπο ώστε το κύκλωμα να εκτελεί μια δεδομένη λογική λειτουργία.

Αριθμητική και σπαζοκεφαλιά βασικά Κτίριο υπολογιστή. Επί του παρόντος, στην καθημερινή ζωή, για την κωδικοποίηση αριθμητικών πληροφοριών, χρησιμοποιείται ένα δεκαδικό σύστημα αριθμών με βάση το 10, στο οποίο χρησιμοποιούνται 10 στοιχεία χαρακτηρισμού: οι αριθμοί 0,1,2, ... 8,9. Κατά την πρώτη...

Αριθμητική και σπαζοκεφαλιά βασικά Κτίριο υπολογιστή. Επί του παρόντος, στην καθημερινή ζωή, το δεκαδικό s χρησιμοποιείται για την κωδικοποίηση αριθμητικών πληροφοριών. Αρχή ελέγχου προγράμματος υπολογιστή.

Ονομα " ηλεκτρονικός χρήση υπολογιστή το αυτοκίνητο» αντιστοιχεί στην αρχική εφαρμογή υπολογιστή- vypo... περισσότερα ». Αριθμητική και σπαζοκεφαλιά βασικά Κτίριο υπολογιστή.

1642 - Ο Πασκάλ ανέπτυξε ένα μοντέλο χρήση υπολογιστή αυτοκίνηταγια εκτέλεση αριθμητικήΕνέργειες ( χτισμένοτο 1845 και είχε το όνομα «Ο τροχός του Πασκάλ»).
Γίνεται έρευνα στον τομέα της οπτοηλεκτρονικής και κατασκευήστη βάση του υπολογιστή...

Βασική αρχή Κτίριοόλα μοντέρνα υπολογιστήείναι έλεγχος λογισμικού. Βασικάοι διδασκαλίες της αρχιτεκτονικής χρήση υπολογιστή μηχανές
πραγματική δομή υπολογιστήπολύ πιο περίπλοκο από αυτό που συζητήθηκε παραπάνω (μπορεί να ονομαστεί λογικόςδομή).

Αρκεί να κατεβάσετε cheat sheets για λογικόςπρογραμματισμός - και δεν φοβάσαι καμία εξέταση!
Βασικάπρογραμματισμός σε Turbo-Prolog: αριθμητικήυπολογισμούς και πράξεις σύγκρισης.

Μοντελοποίηση υπολογιστή - η βάσηαναπαράσταση της γνώσης σε υπολογιστή (Κτίριοδιάφορες βάσεις γνώσεων).
6) Δοκιμή και διόρθωση σφαλμάτων: - Συντακτική αποσφαλμάτωση. - σημασιολογική αποσφαλμάτωση (debugging λογικόςδομές). - υπολογισμοί δοκιμών, ανάλυση αποτελεσμάτων δοκιμών...

Μια μέθοδος είναι ένας τρόπος, ένας τρόπος για να επιτευχθεί ένας στόχος, Κτίριοδέντρο σφαλμάτων.
3. ορίστε τη σχέση μεταξύ ενεργοποίησης και γεγονότων κεφαλής ως προς λογικόςΛειτουργίες "AND" και "OR".

Εχουν μεγάλης σημασίαςγια την επιστήμη, είναι οι πυλώνες λογικήγιατί χωρίς αυτούς τους νόμους λογικέςαδιανόητος. σπαζοκεφαλιάοι νόμοι είναι αντικειμενικά υφιστάμενοι και απαραίτητοι εφαρμοσμένοι κανόνες Κτίριο λογικόςσκέψη.

Το πληθωρικό μοντέλο είναι το σημείο εκκίνησης Κτίριο datalogical μοντέλο της βάσης δεδομένων και χρησιμεύει ως ενδιάμεσο μοντέλο για ειδικούς στο αντικείμενο (για
Μετά πάνω της βάσηεννοιολογική ( λογικός), εσωτερικά (φυσικά) και εξωτερικά μοντέλα.

Βρέθηκαν παρόμοιες σελίδες:10

Οι ψηφιακές συσκευές έχουν να αντιμετωπίσουν διαφορετικούς τύπους πληροφοριών. Πρόκειται για καθαρές δυαδικές πληροφορίες, όπως εάν η συσκευή είναι ενεργοποιημένη ή απενεργοποιημένη, εάν η συσκευή λειτουργεί ή όχι. Οι πληροφορίες μπορούν να παρουσιαστούν με τη μορφή κειμένων και στη συνέχεια τα γράμματα του αλφαβήτου πρέπει να κωδικοποιηθούν χρησιμοποιώντας επίπεδα δυαδικού σήματος. Πολύ συχνά, οι πληροφορίες μπορεί να είναι αριθμοί. Οι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν σε διάφορα συστήματα αριθμών. Η μορφή των αριθμών εγγραφής σε αυτά διαφέρει σημαντικά μεταξύ τους, επομένως, προτού προχωρήσουμε στα χαρακτηριστικά της αναπαράστασης αριθμών στην ψηφιακή τεχνολογία, θα εξετάσουμε την καταγραφή τους σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Αριθμητικά συστήματα

Το σύστημα αριθμών είναι ένα σύνολο τεχνικών και κανόνων για την αναπαράσταση αριθμών με χρήση ψηφιακών σημάτων.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι εγγραφής αριθμών με ψηφιακούς χαρακτήρες, αλλά οποιοδήποτε σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται θα πρέπει να παρέχει:

το εύρος αναπαράστασης οποιουδήποτε αριθμού·
μοναδικότητα της αναπαράστασης (κάθε συνδυασμός συμβόλων αντιστοιχεί μόνο σε μία τιμή).

Όλα τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε θέσεις και μη θέσεις. ΣΤΟ μη θέσιο αριθμητικό σύστημαη σημασία του ψηφίου σε οποιαδήποτε θέση του αριθμού είναι η ίδια, δηλ. δεν εξαρτάται από τη θέση της τοποθεσίας. Για παράδειγμα, ένα ενιαίο σύστημα με έναν χαρακτήρα ίσο με ένα. Ένα τέτοιο σύστημα αριθμών προορίζεται για το συνολικό λογαριασμό (κόμποι για "μνήμη", εγκοπές, παύλες, μέτρηση στα δάχτυλα κ.λπ.). Για να απεικονίσετε έναν συγκεκριμένο αριθμό σε αυτό το σύστημα, πρέπει να σημειώσετε τον αριθμό των μονάδων (ραβδάκια) ίσο με αυτόν τον αριθμό. Αυτό το σύστημα είναι αναποτελεσματικό επειδή η καταχώριση αριθμού είναι πολύ μεγάλη.

Ένα άλλο παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών «σχεδόν μη θέσεων» είναι το ρωμαϊκό σύστημα μέτρησης. Το ρωμαϊκό σύστημα μέτρησης χρησιμοποιεί τα ακόλουθα σύμβολα:

Ι - 1; V - 5; X - 10; b - 50; C - 100; 0-500; M - 1000.

Οι κανόνες για τη μετατροπή από το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών στο αραβικό σύστημα είναι οι εξής. Ο μικρότερος αριθμός στα δεξιά του μεγαλύτερου αριθμού προστίθεται στον μεγαλύτερο και ο μικρότερος αριθμός στα αριστερά του μεγαλύτερου αριθμού αφαιρείται από τον μεγαλύτερο.

Ένα παράδειγμα μετάφρασης από το ρωμαϊκό σύστημα στο αραβικό σύστημα αριθμών:

SSHUUP \u003d 100 + 100 + 10 + 5 + 5 + 1 + 1 \u003d 222;

X1X1Y \u003d 10 + (10 - 1) \u003d 19.

Όπως προκύπτει από τον κανόνα της μετάφρασης, το ρωμαϊκό σύστημα δεν είναι εντελώς μη-θετικό. Αυτό το σύστημα χρησιμοποιείται σπάνια (καντράν, αρχιτεκτονική, ιστορία, κ.λπ.).

Συστήματα θέσεων αριθμών -Αυτά είναι συστήματα αριθμών στα οποία η τιμή ενός ψηφίου σε μια καταχώρηση αριθμού Νεξαρτάται από τη θέση του (τόπος). Για παράδειγμα, στο σύστημα δεκαδικών αριθμών, ο αριθμός 05 σημαίνει πέντε μονάδες, το 50 σημαίνει πέντε δεκάδες, το 500 σημαίνει πεντακόσιες κ.ο.κ.

Θεμέλιο (βάση)αριθμητικά συστήματα (γ) -Αυτός είναι ο αριθμός χαρακτήρων ή συμβόλων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση ψηφίων σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών.

Ένας άπειρος αριθμός συστημάτων αριθμών θέσης είναι δυνατός, αφού οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να ληφθεί ως βάση και μορφή νέο σύστημαυπολογισμός.

Παραδείγματα ορισμένων συστημάτων αριθμών θέσης και η εφαρμογή τους δίνονται στον Πίνακα. 2.1.

Στον πίνακα. 2.2 για ευκολία σύγκρισης, δίνονται οι πρώτοι 23 αριθμοί της φυσικής σειράς αριθμών σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Όπως φαίνεται από τον Πίνακα. 2.2, για να γράψετε τον ίδιο αριθμό σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, απαιτείται διαφορετικός αριθμός θέσεων ή ψηφίων. Για παράδειγμα, 14 |0 = 1 1 10 2 = 16 8 = Ε [σε.Δηλαδή, στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, ο αριθμός 14 καταλαμβάνει δύο θέσεις (δύο ψηφία), στο δυαδικό σύστημα αριθμών - τέσσερις θέσεις, στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών - μία θέση. Όσο μικρότερη είναι η βάση του συστήματος αριθμών

Παραδείγματα συστημάτων αριθμών θέσης

Ονομα υπολογισμός	Βάση υπολογισμός	Μεταχειρισμένος	Εφαρμογή
Δυάδικος			Σε ψηφιακούς υπολογιστές, διακριτά μαθηματικά, προγραμματισμός
τριαδικός		Οποιοιδήποτε τρεις χαρακτήρες: (-, 0,+), (-1,0,+1), (Α, Β, ΜΕ), (Χ, Υ, Τ)ή τρία ψηφία: (1,2,3)	Στα ψηφιακά ηλεκτρονικά
οκτάεδρος
Δεκαδικός			πανταχού παρών
δέκατος έκτος		Α, Β, Γ, Τ	Στον ψηφιακό υπολογιστή, στον προγραμματισμό
δεκαετία του εξήντα		00, 01,02,..., 59	Ως μονάδες χρόνου, γωνίες, συντεταγμένες, γεωγραφικό μήκος και πλάτος

Με ένα δεδομένο μήκος του πλέγματος bit, η μέγιστη απόλυτη τιμή του αριθμού που μπορεί να γραφτεί είναι περιορισμένη.

Έστω ότι το μήκος του πλέγματος bit είναι ένας θετικός αριθμός./V, ο μέγιστος αριθμός είναι

?^((Dmax - εγώ ~ 1

Για παράδειγμα, όταν Ν= 8:

Liu) max \u003d Yu 8 - 1 \u003d 9999999 (| 0);

L (2) μέγιστο - 2 8 - 1 \u003d 256 - 1 \u003d 257 (| 0) \u003d 1111111 (2);

ΑΛΛΑ ( 1 6) μέγιστο \u003d 16 8 - 1 \u003d 4294967296 - 1 \u003d 4294967295 (10) \u003d RRRRRRR (16) .

Έτσι, για το ίδιο μήκος του πλέγματος bit Ν=8μέγιστη σε απόλυτη τιμή A (16)P1ax > A (10)P1ax > A (2)gpax, δηλ. όσο περισσότερο #, τόσο περισσότερο L ((?) max.

Φυσικές σειρές αριθμών σε διάφορα συστήματα αριθμών

Δεκαδικός	Δυάδικος	οκτάεδρος	Δεκαεξαδικό

Μετάφραση σε συστήματα θέσεων αριθμών

Μετατροπή σε δεκαδικό σύστημα αριθμών. Οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ Νστο σύστημα αριθμών θέσης μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο

Για τη μετατροπή στο δεκαδικό σύστημα, υπολογίζουμε ένα τέτοιο ποσό.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 253.24 είναι 10 σε κανονική δεκαδική μορφή (

Παράδειγμα 2.1. Μετατρέψτε τον δυαδικό αριθμό 1101.01(2) στο δεκαδικό σύστημα αριθμών.

Το δυαδικό σύστημα αριθμών χρησιμοποιεί τα δύο ψηφία 0 ΚΑΙ 1 ΚΑΙ τον δυαδικό ΑΡΙΘΜΟ 1 1 01.012 για να αναπαραστήσει αριθμούς (

TU 2 = 1101,01 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 2° + 0 2 _| + 1 2 -2 =

“=8 + 4 + 0+1+0+1/4= 14,25 10 .

Εάν, σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής, κάνουμε ενέργειες στη δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης, παίρνουμε το δεκαδικό ισοδύναμο ενός δυαδικού αριθμού:

1101,01 2 = 8 + 4 + 0+ 1 +0 + 1/4 = 14,25 10 .

Παράδειγμα 2.2. Οκταδικός αριθμός 53.2 8 (# = 8) για μετατροπή σε δεκαδικό σύστημα αριθμών:

2560 + 240 + 7 + 8/16 = 2807,25 10 .

Μετατροπή αριθμών από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε σύστημα αυθαίρετων αριθμών με βασικούς κανόνες μετάφρασης ολόκληρο μέροςο δεκαδικός αριθμός έχει ως εξής. Το ακέραιο μέρος του δεκαδικού αριθμού πρέπει να διαιρείται διαδοχικά με ντο(η βάση ενός συστήματος αυθαίρετων αριθμών) έως ότου ο δεκαδικός αριθμός γίνει μηδέν. Τα υπόλοιπα που λαμβάνονται με διαίρεση και γράφονται με τη σειρά, ξεκινώντας από το τελευταίο υπόλοιπο, είναι τα ψηφία του αριθμού του ^-αριακού συστήματος αριθμών.

Κανόνες μετάφρασης κλασματικό μέροςδεκαδικός αριθμός που ακολουθεί. Το κλασματικό μέρος του δεκαδικού αριθμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί διαδοχικά με (τη βάση ενός αυθαίρετου συστήματος) και το ακέραιο τμήμα να διαχωριστεί μέχρι να μηδενιστεί ή να επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια μετάφρασης.

Τα ακέραια μέρη των αποτελεσμάτων του πολλαπλασιασμού, με τη σειρά που αντιστοιχεί στη λήψη τους, αποτελούν έναν αριθμό στο νέο σύστημα.

Παράδειγμα 2.4. Μετατρέψτε τον αριθμό 26.625 10 στο δυαδικό σύστημα αριθμών.

Μεταφράζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού:

26: 2 = 13, υπόλοιπο 0;
13:2 = 6, υπόλοιπο 1;
6:2 = 3, το υπόλοιπο είναι 0.
3:2=1, το υπόλοιπο είναι 1.
1: 2 = 0, το υπόλοιπο είναι 1.

Ο δεκαδικός αριθμός έχει γίνει μηδέν, η διαίρεση έχει τελειώσει. Ξαναγράφουμε όλα τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω και παίρνουμε τον δυαδικό αριθμό 11010 2 .

0,625 2 = 1,250, ακέραιος μέρος 1;
0,250 2 = 0,500, ακέραιο μέρος 0;
0.500 2 = 1.000, ακέραιος μέρος 1;
0.000 2 = 0.000, ακέραιο μέρος 0.

Το ακέραιο μέρος έχει γίνει ίσο με μηδέν. Ξαναγράφουμε τα ακέραια μέρη των αποτελεσμάτων πολλαπλασιασμού από πάνω προς τα κάτω και παίρνουμε τον δυαδικό αριθμό 0,1010 2 .

Παράδειγμα 2.5. Μετατρέψτε τον αριθμό 70.05 10 στο οκταδικό σύστημα αριθμών με ακρίβεια 4ου ψηφίου.

Μεταφράζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού:

70: 8 = 8, υπόλοιπο 6;
8:8=1, το υπόλοιπο είναι 0.
1: 8 = 0, το υπόλοιπο είναι 1.

Ο δεκαδικός αριθμός έχει γίνει μηδέν, η διαίρεση έχει τελειώσει. Ξαναγράφουμε όλα τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω και παίρνουμε τον οκταδικό αριθμό 106 8 .

Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού:

0,05 8 = 0,40, ακέραιο μέρος 0;
0,40 8 = 3,20, ακέραιος μέρος 3;
0,30 8 = 2,40, ακέραιος μέρος 2;
0,40 8 = 3,20, ακέραιος μέρος 3.

Το ακέραιο μέρος δεν έγινε ίσο με μηδέν, προκύπτει μια άπειρη σειρά, η διαδικασία μετάφρασης ολοκληρώθηκε, αφού έχει επιτευχθεί η καθορισμένη ακρίβεια. Ξαναγράφουμε τα ακέραια μέρη των αποτελεσμάτων πολλαπλασιασμού από πάνω προς τα κάτω και παίρνουμε τον οκταδικό αριθμό 0,0323 8 .

Παράδειγμα 2.6. Μετατρέψτε τον αριθμό 76.05 10 στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών με ακρίβεια 4ου ψηφίου.

Μεταφράζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού:

76: 16 \u003d 4, το υπόλοιπο είναι 12 - "C;
4: 16 = 0, το υπόλοιπο είναι 4.

Ο δεκαδικός αριθμός έχει γίνει μηδέν, η διαίρεση έχει τελειώσει. Ξαναγράφουμε όλα τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω και παίρνουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό 4C 16.

Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού:

0,05 16 = 0,80, ακέραιο μέρος 0;
0,80 16 \u003d 12,80, ακέραιο μέρος 12 -> C;
0,80 16 \u003d 12,80, ακέραιο μέρος 12 -> C;
0,80 -16= 12,80, ακέραιος μέρος 12 -> Γ.

Παράδειγμα 2.7. Μετατρέψτε τον αριθμό 6610 σε ένα αυθαίρετο σύστημα αριθμών, για παράδειγμα, με βάση c = 5.

Μεταφράζουμε το ακέραιο μέρος του αριθμού:

66: 5 = 13, υπόλοιπο 1;
13:5 = 2, υπόλοιπο 3;
2:5 = 0, το υπόλοιπο είναι 2.

Ο δεκαδικός αριθμός έχει γίνει μηδέν, η διαίρεση έχει τελειώσει. Ξαναγράφουμε όλα τα υπόλοιπα από κάτω προς τα πάνω και παίρνουμε τον πενταπλό αριθμό 231 5 .

Μετατροπή από δυαδικό σε οκταδικό και δεκαεξαδικό. Υπάρχει ένας απλοποιημένος αλγόριθμος για αυτόν τον τύπο λειτουργίας.

Μετάφραση όλου του μέρους.Ο αριθμός 2 αυξάνεται στην ισχύ που είναι απαραίτητη για να αποκτήσετε τη βάση του συστήματος στο οποίο θέλετε να μεταφράσετε. Για οκταδικό σύστημα(8 = 23) παίρνουμε τον αριθμό 3 (τριάδα), για το δεκαεξαδικό σύστημα (16 = 24) παίρνουμε τον αριθμό 4 (τετράδα).

Διαιρούμε τον μεταφρασμένο αριθμό στον αριθμό των ψηφίων, ίσο με 3 για το οκταδικό σύστημα και ίσο με 4 για το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Ας μετατρέψουμε τις τριάδες σύμφωνα με τον πίνακα των τριάδων του οκταδικού συστήματος και τις τετράδες σύμφωνα με τον πίνακα των τετραδίων για το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών (Πίνακας 2.3).

Παράδειγμα 2.8. Μετατροπή δυαδικού αριθμού 101110 2 σε οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών:

οκταδικό - 101 110 -> 56 8 ;
εξάγωνο - 0010 1110 -> 2 Ε] σε.

Κλασματική μετάφραση.Ο αλγόριθμος για τη μετατροπή του κλασματικού μέρους από το δυαδικό σύστημα αριθμών στο οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών είναι παρόμοιος με τον αλγόριθμο για ακέραια μέρη ενός αριθμού,

Πίνακας τριάδων και τετραδίων

αλλά η κατανομή σε τριάδες και τετράδες πηγαίνει στα δεξιά της υποδιαστολής, τα ψηφία που λείπουν συμπληρώνονται με μηδενικά προς τα δεξιά.

Παράδειγμα 2.9. Μετατροπή 11101.01011 2 σε οκταδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών:

οκταδικό - 011 101.010 110 -> 35.26 8 ;
εξάγωνο - 0001 1101,0101 1000 -> 1Z),58, 6 .

Μετατροπή από οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα σε δυαδικό.

Για αυτόν τον τύπο λειτουργίας, υπάρχει ένας απλοποιημένος αλγόριθμος αναστροφής. Για το οκταδικό σύστημα, μετατρέπουμε σύμφωνα με τον πίνακα σε τρίδυμα: 0->000 4 -> 100;

1 -> 001 5 -> 101;
2 -> 010 6 -> 110;
3 -> 011 7 -> 111.

Για δεκαεξαδικό - μετατρέψτε σύμφωνα με τον πίνακα σε κουαρτέτα:



		ΑΛΛΑ -> 1010
		ΣΤΟ-> 1011

Παράδειγμα 2.10. Μετατρέψτε τον οκταδικό αριθμό 2438 και τον δεκαεξαδικό αριθμό 7С 16 σε δυαδικό σύστημα αριθμών:

243 8 -> SW 100011 2 ;
7С 16 -> 1111 1100 2 .

Δυαδική αριθμητική

Πρόσθεση. Πίνακας προσθήκης δυαδικούς αριθμούςείναι απλό:

0 + 0 = 0;
0+1 = 1;
1+0=1;
1 + 1 = 10;
1 + 1 + 1 = 11.

Όταν προστίθενται δύο μονάδες, το ψηφίο υπερχειλίζει και γίνεται μεταφορά στο υψηλότερο ψηφίο. Μια υπερχείλιση συμβαίνει όταν η τιμή του αριθμού σε αυτό γίνεται ίση ή μεγαλύτερη από τη βάση.

Παράδειγμα 2.11. Εκτελέστε δυαδική προσθήκη.

1 1 1 Μεταφορά σε υψηλή παραγγελία

1 1 0 0 0 1 = 49 - πρώτος όρος

1 1 0 1 1 = 27 - δεύτερος όρος
1 0 0 1 1 0 0 = 76 - άθροισμα

Δυαδική αφαίρεση. Εξετάστε τους κανόνες για την αφαίρεση ενός μικρότερου αριθμού από έναν μεγαλύτερο. Στην απλούστερη περίπτωση, για κάθε bit, οι κανόνες δυαδικής αφαίρεσης είναι

2 2 11
0 10 1

Όταν γίνεται αφαίρεση (0 - 1), γίνεται δάνειο από την υψηλότερη τάξη. Το ερωτηματικό σημαίνει ότι το ψηφίο του minuend αλλάζει ως αποτέλεσμα ενός δανείου σύμφωνα με τον κανόνα: κατά την αφαίρεση (0-1), προκύπτει μια μονάδα στο ψηφίο της διαφοράς, τα ψηφία του μειωμένου, ξεκινώντας από το στη συνέχεια, αντιστρέφονται (αντιστρέφονται) μέχρι την πρώτη μονάδα μετρητή (συμπεριλαμβανομένου). Μετά από αυτό, γίνεται αφαίρεση από τα αλλαγμένα bits του μειωμένου.

Εξετάστε ένα παράδειγμα αφαίρεσης πολυψήφιων αριθμών (ένας μικρότερος αριθμός αφαιρείται από έναν μεγαλύτερο αριθμό).

Παράδειγμα 2.12. Αφαίρεση σε δυαδικό σύστημα αριθμών:

0 111 Αλλαγή στη μείωση του δανείου
1 1 0 0 0 1 = 49 - μειώνεται
11011 - 21 - αφαιρετέος
10 1 1 0 = 22 - διαφορά

Πολλαπλασιασμός. Η λειτουργία πολλαπλασιασμού εκτελείται χρησιμοποιώντας τον πίνακα πολλαπλασιασμού σύμφωνα με το συνηθισμένο σχήμα (που χρησιμοποιείται στο δεκαδικό σύστημα αριθμών) με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του πολλαπλασιαστή με το επόμενο ψηφίο του πολλαπλασιαστή.

Παράδειγμα 2.13. Πολλαπλασιασμός σε δυαδικό σύστημα αριθμών:

*1011
1011
110111

Διαίρεση. Κατά τη διαίρεση με μια στήλη, πρέπει να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση ως ενδιάμεσα αποτελέσματα.

Γράψιμο δεκαδικών αριθμών (δυαδική κωδικοποίηση δεκαδικών)

Μερικές φορές είναι βολικό να αποθηκεύονται αριθμοί στη μνήμη του επεξεργαστή σε δεκαδική μορφή (για παράδειγμα, για λόγους προβολής). Για την εγγραφή τέτοιων αριθμών, χρησιμοποιούνται δυαδικοί-δεκαδικοί κωδικοί. Τέσσερα δυαδικά bit (τετράδια) χρησιμοποιούνται για την εγγραφή ενός δεκαδικού ψηφίου. Με τέσσερα bit, μπορούν να κωδικοποιηθούν 16 ψηφία (2 4 = 16). Οι επιπλέον συνδυασμοί στο BCD απαγορεύονται. Η αντιστοιχία του δυαδικού-δεκαδικού κωδικού και των δεκαδικών ψηφίων δίνεται στον πίνακα. 2.4.

Πίνακας 2.4

Αντιστοιχία δυαδικού κωδικοποιημένου δεκαδικού κωδικού και δεκαδικών ψηφίων

Δυαδικός δεκαδικός κώδικας				Δεκαδικός κωδικός

Οι υπόλοιποι συνδυασμοί του δυαδικού κώδικα στην τετραάδα απαγορεύονται.

Παράδειγμα 2.14. Γράψτε τον κωδικό BCD του αριθμού 1258 10 -

1258 sh = 0001 0010 0101 1000 2 .

Το πρώτο σημειωματάριο περιέχει τον αριθμό 1, το δεύτερο - 2, το τρίτο - 5, και το τελευταίο σημειωματάριο περιέχει τον αριθμό 8. Σε αυτό το παράδειγμα, χρειάστηκαν τέσσερα σημειωματάρια για να γράψουν τον αριθμό 1258. Ο αριθμός των κυψελών μνήμης του μικροεπεξεργαστή εξαρτάται από την χωρητικότητά του. Με έναν επεξεργαστή 16-bit, ο ακέραιος αριθμός θα χωρέσει σε ένα κελί μνήμης.

Παράδειγμα 2.15. Γράψτε τον δυαδικό κωδικό του αριθμού 589 10:

589 10 = 0000 0101 1000 1001 2 .

Σε αυτό το παράδειγμα, τρία τετράδια είναι αρκετά για να γράψετε έναν αριθμό, αλλά το κελί μνήμης είναι 16-bit. Επομένως, το υψηλότερο τετράδιο είναι γεμάτο με μηδενικά. Δεν αλλάζουν την τιμή του ψηφίου.

Όταν γράφετε δεκαδικούς αριθμούς, είναι συχνά απαραίτητο να γράψετε το πρόσημο του αριθμού και την υποδιαστολή (στις αγγλόφωνες χώρες, μια τελεία). Το BCD χρησιμοποιείται συχνά για την κλήση ενός αριθμού τηλεφώνου ή την κλήση κωδικών τηλεφωνικής υπηρεσίας. Σε αυτή την περίπτωση, εκτός από τα δεκαδικά ψηφία, χρησιμοποιούνται συχνά τα σύμβολα "*" ή "#". Για την εγγραφή αυτών των χαρακτήρων σε δυαδικό-δεκαδικό κώδικα, χρησιμοποιούνται απαγορευμένοι συνδυασμοί (Πίνακας 2.5).

Πίνακας 2.5

Δυαδική αντιστοίχιση δεκαδικών και συμπληρωματικών χαρακτήρων

Αρκετά συχνά, ένα κελί μνήμης (8-, 16- ή 32-bit) εκχωρείται στη μνήμη του επεξεργαστή για την αποθήκευση ενός δεκαδικού ψηφίου. Αυτό γίνεται για να αυξηθεί η ταχύτητα του προγράμματος. Προκειμένου να διακριθεί αυτός ο τρόπος γραφής ενός δυαδικού κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού από τον τυπικό τρόπο γραφής ενός δεκαδικού αριθμού, όπως φαίνεται στο παράδειγμα, ονομάζεται συσκευασμένη μορφή δυαδικού κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού.

Παράδειγμα 2.16. Γράψτε τον αποσυσκευασμένο κωδικό BCD του αριθμού 1258 10 για έναν επεξεργαστή 8 bit:

1258 00000001
00000010 00000101 00001000

Η πρώτη γραμμή περιέχει τον αριθμό 1, η δεύτερη - 2, η τρίτη - 5 και η τελευταία γραμμή περιέχει τον αριθμό 8. Σε αυτό το παράδειγμα, απαιτήθηκαν τέσσερις γραμμές (κελιά μνήμης) για να γραφτεί ο αριθμός 1258.

Άθροισμα δυαδικών δεκαδικών αριθμών. Η άθροιση των δυαδικών δεκαδικών αριθμών μπορεί να γίνει σύμφωνα με τους κανόνες της συνηθισμένης δυαδικής αριθμητικής και στη συνέχεια να εκτελέσετε μια δυαδική δεκαδική διόρθωση. Η διόρθωση BCD συνίσταται στον έλεγχο κάθε τετραδίου για έγκυρους κωδικούς. Εάν βρεθεί ένας απαγορευμένος συνδυασμός σε οποιαδήποτε τετραάδα, τότε αυτό υποδηλώνει υπερχείλιση. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε διόρθωση BCD. Η διόρθωση BCD συνίσταται στην πρόσθετη άθροιση του αριθμού έξι (ο αριθμός των απαγορευμένων συνδυασμών) με την τετραάδα στην οποία συνέβη μια υπερχείλιση ή μια μεταφορά στην υψηλότερη τετραάδα. Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 10 10 11

Στο δεύτερο τετράδιο βρέθηκε ένας απαγορευμένος συνδυασμός. Πραγματοποιούμε διόρθωση δυαδικού δεκαδικού: αθροίζουμε τον αριθμό έξι με το δεύτερο τετράδιο:

0 0 10 10 11
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1

Μορφές αναπαράστασης σε υπολογιστή αριθμητικών δεδομένων

Στα μαθηματικά χρησιμοποιούνται δύο μορφές γραφής αριθμών: φυσικός (ο αριθμός γράφεται σε φυσική φυσική μορφή) και κανονικός (ο αριθμός μπορεί να γραφτεί διαφορετικά ανάλογα με τους περιορισμούς που επιβάλλονται στη φόρμα).

Παραδείγματα φυσική μορφήκαταχωρήσεις αριθμών:

Το 15300 είναι ακέραιος αριθμός. 0,000564 - σωστό κλάσμα.
Το 6,4540 είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα.

Παράδειγμα κανονική μορφήεγγραφές με τον ίδιο αριθμό 25 340 ανάλογα με τους περιορισμούς που επιβάλλονται στην κανονική μορφή:

25 340 = 2.534 - 10 4 = 0.2534 - 10 5 = 2534000 - 10" 2 κ.λπ.

Στον υπολογισμό, με τη φυσική αναπαράσταση των αριθμών, καθορίζεται το μήκος του πλέγματος bit, καθώς και μια σταθερή κατανομή των κλασματικών και ακέραιων μερών. Επομένως, αυτός ο τρόπος αναπαράστασης αριθμών καλείται με σταθερό σημείο.

Η αναπαράσταση ενός αριθμού σε κανονική μορφή ονομάζεται αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής(η θέση του κόμματος αλλάζει).

Οι αριθμοί κινητής υποδιαστολής χρησιμοποιούνται κυρίως από υπολογιστές mainframe και υπολογιστές σταθερού σημείου, αλλά ορισμένα μηχανήματα λειτουργούν με αριθμούς σε αυτές τις δύο μορφές.

Η φύση του προγραμματισμού εξαρτάται από τον τρόπο που αναπαρίστανται οι αριθμοί.

Έτσι, όταν γράφετε προγράμματα για υπολογιστές που λειτουργούν σε ένα σύστημα με σταθερό σημείο,πρέπει να παρακολουθείτε τη θέση του κόμματος και να εκτελέσετε λειτουργίες με κινητής υποδιαστολήςαπαιτούνται περισσότερες μικρολειτουργίες, γεγονός που μειώνει την ταχύτητα του υπολογιστή.

Διορθώθηκε κόμμα (περίοδος)

Στους σύγχρονους υπολογιστές, ο τρόπος αναπαράστασης αριθμών με σταθερό σημείο στους υπολογιστές χρησιμοποιείται κυρίως για την αναπαράσταση ακεραίων.

Εφόσον οι αριθμοί είναι θετικοί και αρνητικοί, τότε στο πλέγμα bit, όταν αντιπροσωπεύονται από μηχανή, ένα ή δύο bit (για τροποποιημένους κωδικούς) εκχωρούνται κάτω από το σύμβολο του αριθμού και τα υπόλοιπα bit σχηματίζονται πεδίο αριθμού.Τα bits πρόσημου, τα οποία μπορούν να βρίσκονται τόσο στην αρχή όσο και στο τέλος του αριθμού, περιέχουν πληροφορίες για το πρόσημο του αριθμού. Το σύμβολο "+" κωδικοποιείται ως μηδέν, το σύμβολο "-" κωδικοποιείται ως ένα. Για τροποποιημένους κωδικούς, το σύμβολο «+» κωδικοποιείται με δύο μηδενικά, το σύμβολο «-» κωδικοποιείται με δύο ένα. Εισάγονται τροποποιημένοι κωδικοί για τον εντοπισμό εσφαλμένου αποτελέσματος υπολογισμού, π.χ. όταν το αποτέλεσμα υπερβαίνει μέγιστο μέγεθοςπλέγμα bit και απαιτείται μεταφορά από ένα σημαντικό bit.

Για παράδειγμα, ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης λειτουργιών σε ένα bit πρόσημου, ο αριθμός 01 υποδηλώνει μια θετική υπερχείλιση του πλέγματος bit και ο αριθμός 10 υποδεικνύει μια αρνητική υπερχείλιση του πλέγματος bit.

Το πεδίο αριθμών έχει σταθερό αριθμό ψηφίων - Π.Το εύρος αναπαράστασης των ακεραίων περιορίζεται σε τιμές -(2 σελ- 1) και +(2" - 1).

Για παράδειγμα, σε δυαδικό, χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα 6-bit, ο αριθμός 7 σε μορφή σταθερού σημείου μπορεί να αναπαρασταθεί ως

όπου το ψηφίο στα αριστερά της κουκκίδας είναι το σύμβολο του αριθμού και τα ψηφία στα δεξιά της κουκκίδας είναι η μάντισσα του αριθμού στον άμεσο κωδικό. Υποτίθεται εδώ ότι το κόμμα είναι σταθερό στα δεξιά του λιγότερο σημαντικού ψηφίου και η τελεία στην εικόνα του αριθμού σε αυτήν την περίπτωση απλώς διαχωρίζει το bit πρόσημου από το mantissa του αριθμού.

Στο μέλλον, αυτός ο τύπος αναπαράστασης ενός αριθμού σε μορφή μηχανής θα χρησιμοποιείται συχνά σε παραδείγματα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μορφή αναπαράστασης ενός αριθμού σε μορφή μηχανής:

όπου το bit πρόσημο περικλείεται σε αγκύλες.

Ο αριθμός των ψηφίων στο πλέγμα bit, που έχει δεσμευτεί για την εικόνα της μάντισσας ενός αριθμού, καθορίζει το εύρος και την ακρίβεια της αναπαράστασης ενός αριθμού σταθερού σημείου. Ο μέγιστος δυαδικός αριθμός σε απόλυτη τιμή αντιπροσωπεύεται από μονάδες σε όλα τα ψηφία, εξαιρουμένου του πρόσημου ένα, δηλ. για ακέραιο

|/1|μέγιστο = (2 (Π - 1) - 1),

που Π -όλο το μήκος του πλέγματος bit.

Στην περίπτωση πλέγματος 16 bit

|L|max = (2(16- 1)- 1) = 3276710,

εκείνοι. το εύρος αναπαράστασης των ακεραίων σε αυτήν την περίπτωση θα είναι από +3 276710 έως -3276710.

Για την περίπτωση που το κόμμα τοποθετείται στα δεξιά του λιγότερο σημαντικού ψηφίου της μάντισσας, δηλ. για ακέραιους αριθμούς, αριθμοί των οποίων ο συντελεστής είναι μεγαλύτερος από (2 (Π- 1) - 1) και λιγότερα από ένα, δεν παρουσιάζονται σε μορφή σταθερού σημείου. Αριθμοί, σε απόλυτη τιμή μικρότερες από τις μονάδες του λιγότερο σημαντικού ψηφίου του πλέγματος bit, καλούνται σε αυτήν την περίπτωση μηχανή μηδέν.Το αρνητικό μηδέν απαγορεύεται.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν είναι δυνατός ο χειρισμός μόνο με μονάδες αριθμών, ολόκληρο το πλέγμα bit, συμπεριλαμβανομένου του πιο σημαντικού bit, εκχωρείται για να αντιπροσωπεύει τον αριθμό, γεγονός που καθιστά δυνατή την επέκταση του εύρους των αριθμών εμφάνισης.

Αναπαράσταση αρνητικών αριθμών σε μορφή σταθερού σημείου

Προκειμένου να απλοποιηθεί η απόδοση των αριθμητικών πράξεων, οι υπολογιστές χρησιμοποιούν ειδικούς δυαδικούς κώδικες για να αναπαραστήσουν αρνητικούς αριθμούς: αντίστροφους και πρόσθετους. Με τη βοήθεια αυτών των κωδικών απλοποιείται ο προσδιορισμός του πρόσημου του αποτελέσματος μιας πράξης στην αλγεβρική πρόσθεση. Η λειτουργία της αφαίρεσης (ή της αλγεβρικής πρόσθεσης) ανάγεται στην αριθμητική πρόσθεση τελεστών, διευκολύνεται η ανάπτυξη σημείων υπερχείλισης του πλέγματος bit. Ως αποτέλεσμα, οι συσκευές υπολογιστών που εκτελούν αριθμητικές πράξεις απλοποιούνται.

Είναι γνωστό ότι ένας από τους τρόπους για να εκτελέσετε μια λειτουργία αφαίρεσης είναι να αλλάξετε το πρόσημο του subtrahend στο αντίθετο και να το προσθέσετε στο minuend:

A-B \u003d A + (-B).

Αυτό αντικαθιστά την αριθμητική πράξη αφαίρεσης με την πράξη αλγεβρικής πρόσθεσης, η οποία μπορεί να εκτελεστεί χρησιμοποιώντας δυαδικούς αθροιστές.

Για μηχανική αναπαράσταση αρνητικών αριθμών, χρησιμοποιούνται κωδικοί: άμεσος, πρόσθετος, αντίστροφος. Ένας απλοποιημένος ορισμός αυτών των κωδικών μπορεί να δοθεί ως εξής. Εάν αριθμός ΑΛΛΑσε κανονικό δυαδικό (απευθείαςδυαδικός κώδικας) για αναπαράσταση ως

τότε αριθμός -ΑΛΛΑστον ίδιο κωδικό μοιάζει

[-D] P r - 1-? 7 / g th / 7 _| Υ Λ _2.... Υ Γ | ένα 0,

και στο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ(αντίστροφος) κωδικός, αυτός ο αριθμός θα μοιάζει

[-D] 0 b - 1*^77 *2/7-1 *2 /g _ ένα 0,

ένα, - 1 αν Α'1- 0, i, - = 0 αν i, = 1,

Το i, είναι το ψηφίο του / "-ου ψηφίου του δυαδικού αριθμού. Επομένως, κατά τη μετάβαση από τον άμεσο κωδικό στον αντίστροφο, όλα τα ψηφία των ψηφίων του αριθμού Matisse αντιστρέφονται.

Μετά ο αριθμός -ΑΛΛΑσε πρόσθετοςο κωδικός εμφανίζεται ως

Έτσι, για να αποκτήσετε έναν πρόσθετο κωδικό αρνητικών αριθμών, πρέπει πρώτα να αντιστρέψετε το ψηφιακό μέρος του αρχικού αριθμού, με αποτέλεσμα τον αντίστροφο κωδικό του και, στη συνέχεια, να προσθέσετε ένα στο λιγότερο σημαντικό bit του ψηφιακού μέρους του αριθμού.

Το συμπλήρωμα των δύο ενός αριθμού προκύπτει αντικαθιστώντας τον με έναν νέο αριθμό που τον συμπληρώνει με έναν αριθμό ίσο με το βάρος του ψηφίου που ακολουθεί το πιο σημαντικό bit του πλέγματος bit που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση της μάντισσας ενός αριθμού σε μορφή σταθερού σημείου . Επομένως, ένας τέτοιος αριθμητικός κωδικός ονομάζεται πρόσθετος.

Φανταστείτε ότι έχουμε μόνο δύο ψηφία για να αναπαραστήσουμε τους αριθμούς σε δεκαδικό. Τότε ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να εμφανιστεί θα είναι 99 και το βάρος της τρίτης, ανύπαρκτης υψηλής τάξης θα είναι 10 2, δηλ. 100. Σε αυτήν την περίπτωση, για τον αριθμό 20, ο επιπλέον αριθμός θα είναι 80, ο οποίος συμπληρώνει το 20 έως το 100 (100 - 20 = 80). Επομένως, εξ ορισμού, αφαίρεση

μπορεί να αντικατασταθεί με προσθήκη:

Εδώ, η υψηλότερη μονάδα υπερβαίνει το εκχωρημένο πλέγμα bit, στο οποίο παραμένει μόνο ο αριθμός 30, δηλ. το αποτέλεσμα της αφαίρεσης του 20 από το 50.

Τώρα εξετάστε ένα παρόμοιο παράδειγμα για αριθμούς που αντιπροσωπεύονται από δυαδικό κώδικα 4 bit. Ας βρούμε έναν επιπλέον αριθμό για 0010 2 = 2 10 . Είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το 0010 από το 0000, παίρνουμε 1110, που είναι ένας επιπλέον κωδικός 2. Η εκφόρτιση που απεικονίζεται στο αγκύλες, δεν υπάρχει στην πραγματικότητα. Αλλά επειδή έχουμε ένα πλέγμα 4 σειρών, είναι βασικά αδύνατο να πραγματοποιήσουμε μια τέτοια αφαίρεση, και ακόμη περισσότερο, προσπαθούμε να απαλλαγούμε από την αφαίρεση. Επομένως, ο κωδικός πρόσθετου αριθμού λαμβάνεται με τον τρόπο που περιγράφηκε προηγουμένως, δηλ. πρώτα, λαμβάνεται ο αντίστροφος κωδικός του αριθμού και, στη συνέχεια, προστίθεται ένας σε αυτόν. Έχοντας κάνει όλα αυτά με τον αριθμό μας (2), είναι εύκολο να δούμε ότι παίρνουμε μια παρόμοια απάντηση.

Τονίζουμε ότι οι κωδικοί του συμπληρώματος δύο και οι αντίστροφοι κωδικοί χρησιμοποιούνται μόνο για την αναπαράσταση αρνητικών δυαδικών αριθμών σε μορφή σταθερού σημείου. Οι θετικοί αριθμοί σε αυτούς τους κωδικούς δεν αλλάζουν την εικόνα τους και παρουσιάζονται όπως σε άμεσο κωδικό.

Έτσι, τα ψηφιακά ψηφία ενός αρνητικού αριθμού στον άμεσο κωδικό παραμένουν αμετάβλητα, και ένα γράφεται στο τμήμα πρόσημο.

Ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα.

Το επτά στον άμεσο κώδικα αντιπροσωπεύεται ως εξής:

Pr = 0,00011 1 2 .

Αριθμός -7 σε άμεσο κωδικό

[-7] pr = 1.000111 2,

και στον αντίστροφο κωδικό θα μοιάζει

[-7] στροφές = 1,111000 2,

εκείνοι. τα ένα αντικαθίστανται με μηδενικά και τα μηδενικά με ένα. Ο ίδιος αριθμός στο συμπλήρωμα δύο θα είναι

[-7] επιπλέον = 1,111001 2 .

Ας εξετάσουμε για άλλη μια φορά πώς η διαδικασία αφαίρεσης που χρησιμοποιεί την αναπαράσταση του συμπληρώματος των δύο ανάγεται στη διαδικασία πρόσθεσης. Αφαιρέστε τον αριθμό 7 από το 10: 10-7 = 3. Εάν και οι δύο τελεστές παρουσιάζονται σε άμεσο κώδικα, τότε η διαδικασία αφαίρεσης εκτελείται ως εξής:

0.001010 -1.000111 0.000011 =310.

Και αν αφαιρεθεί, δηλ. -7, αναπαριστάτε τον κώδικα του συμπληρώματος δύο και, στη συνέχεια, η διαδικασία αφαίρεσης ανάγεται στη διαδικασία πρόσθεσης:

0.001010 + 1,111001 1 0.000011 =310.

Επί του παρόντος, οι υπολογιστές χρησιμοποιούν συνήθως το συμπλήρωμα δύο για να αναπαραστήσουν αρνητικούς αριθμούς σε μορφή σταθερού σημείου.

Πραγματικοί αριθμοί

Τα αριθμητικά μεγέθη που μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή (ακέραια και κλασματική) ονομάζονται πραγματικούς αριθμούς.

Οι πραγματικοί αριθμοί στη μνήμη του υπολογιστή αντιπροσωπεύονται σε μορφή κινητής υποδιαστολής. Η φόρμα κινητής υποδιαστολής χρησιμοποιεί αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Εγώως προϊόν της μάντισσας tμε βάση το αριθμητικό σύστημα Rσε κάποιο βαθμό Π, η οποία ονομάζεται για να:

Εγώ= w r σελ.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 25.324 μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εδώ t= 0,25324 - mantissa; Π= 2 - παραγγελία. Η σειρά υποδεικνύει πόσες θέσεις και προς ποια κατεύθυνση πρέπει να «κολυμπήσει πάνω», δηλ. μετατόπιση, υποδιαστολή σε μάντισσα. Εξ ου και το όνομα «floating point».

Ωστόσο, ισχύουν και οι ακόλουθες ισότητες:

25,324 \u003d 2,5324-10 1 \u003d 0,0025324 10 4 \u003d 2532,4 - 10 "2, κ.λπ.

Αποδεικνύεται ότι η αναπαράσταση ενός αριθμού σε μορφή κινητής υποδιαστολής είναι διφορούμενη; Για να αποφευχθεί η ασάφεια, οι υπολογιστές χρησιμοποιούν μια κανονικοποιημένη αναπαράσταση ενός αριθμού σε μορφή κινητής υποδιαστολής.Η μάντισσα στην κανονικοποιημένη αναπαράσταση πρέπει να ικανοποιεί την προϋπόθεση

Με άλλα λόγια, η μάντισσα είναι μικρότερη από ένα και το πρώτο σημαντικό ψηφίο δεν είναι μηδέν. Επομένως, για τον εξεταζόμενο αριθμό, η κανονικοποιημένη αναπαράσταση θα είναι 0,25324 10 2 . Διαφορετικοί τύποι υπολογιστών χρησιμοποιούν διαφορετικούς τρόπους αναπαράστασης αριθμών σε μορφή κινητής υποδιαστολής. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα από τα πιθανά. Ας αναπαρασταθεί ένας πραγματικός αριθμός στη μνήμη του υπολογιστή με τη μορφή κινητής υποδιαστολής στο δυαδικό σύστημα αριθμών (Ρ= 2) και καταλαμβάνει ένα κελί 4 byte. Το κελί πρέπει να περιέχει τις ακόλουθες πληροφορίες σχετικά με τον αριθμό: το πρόσημο του αριθμού, τον εκθέτη και τα σημαντικά ψηφία της μάντισσας. Εδώ είναι πώς αυτές οι πληροφορίες είναι διατεταγμένες σε ένα κελί:

Το πρόσημο του αριθμού αποθηκεύεται στο πιο σημαντικό bit του 1ου byte. Σε αυτό το bit, το μηδέν σημαίνει συν και το ένα σημαίνει μείον. Τα υπόλοιπα 7 bit του πρώτου byte περιέχουν τη σειρά του μηχανήματος. Τα επόμενα τρία byte αποθηκεύουν τα σημαντικά ψηφία της μάντισσας.

Οι δυαδικοί αριθμοί στην περιοχή από 0000000 έως 1111111 τοποθετούνται σε επτά δυαδικά ψηφία. Στο δεκαδικό σύστημα, αυτό αντιστοιχεί στο εύρος από 0 έως 127 - συνολικά 128 τιμές. Το σύμβολο παραγγελίας δεν αποθηκεύεται στο κελί. Αλλά η σειρά, προφανώς, μπορεί να είναι θετική και αρνητική. Είναι λογικό να διαιρέσουμε αυτές τις 128 τιμές εξίσου μεταξύ θετικών και αρνητικών τιμών τάξης.

Σε αυτήν την περίπτωση, δημιουργείται η ακόλουθη αντιστοιχία μεταξύ της σειράς μηχανής και της αληθινής (ας την ονομάσουμε μαθηματική) τάξη:

Παραγγελία μηχανήματος
Μαθηματική σειρά

Αν συμβολίσουμε την παραγγελία μηχανής κύριοςκαι μαθηματικά - R,τότε η μεταξύ τους σχέση εκφράζεται με τον τύπο

κύριος = p+ 64.

Έτσι, η σειρά της μηχανής μετατοπίζεται σε σχέση με τη μαθηματική σειρά κατά 64 μονάδες και έχει μόνο θετικές τιμές. Κατά την εκτέλεση υπολογισμών κινητής υποδιαστολής, ο επεξεργαστής λαμβάνει υπόψη αυτή τη μετατόπιση.

Ο τύπος που προκύπτει γράφεται στο δεκαδικό σύστημα. Αφού 64 | 0 = 40 16 (ελέγξτε!), τότε σε δεκαεξαδικό ο τύπος θα πάρει τη μορφή

Mr 1c \u003d Rb + 40 16.

Και τέλος, σε δυαδικό

Mr 2 \u003d p 2 + yo 0000 2 .

Τώρα μπορούμε να γράψουμε την εσωτερική αναπαράσταση του αριθμού 25.324 σε μορφή κινητής υποδιαστολής.

1. Ας το μεταφράσουμε σε ένα δυαδικό σύστημα αριθμών με 24 σημαντικά ψηφία:
25,324 10 = 11001,0101001011110001101 2 .
2. Ας γράψουμε με τη μορφή ενός κανονικοποιημένου δυαδικού αριθμού κινητής υποδιαστολής:
0,110010101001011110001101 Yu 101 .

Εδώ η μάντισσα, η βάση του συστήματος αριθμών (2 10 = 10 2) και η σειρά (5 10 = 101 2) γράφονται σε δυαδικό σύστημα.

3. Υπολογίστε την παραγγελία του μηχανήματος:

Mr 2 = 101 + 100 0000= 100 0101.

4. Γράψτε την αναπαράσταση του αριθμού στο κελί μνήμης:

Για να λάβετε την εσωτερική αναπαράσταση του αρνητικού αριθμού -25.324, αρκεί να αντικαταστήσετε το 0 στο bit πρόσημου με το 1 στον κωδικό που λήφθηκε παραπάνω.

Και σε δεκαεξαδική μορφή:

Δεν υπάρχει αντιστροφή, όπως για τους αρνητικούς αριθμούς σταθερού σημείου, εδώ.

Τέλος, εξετάστε το ερώτημα του εύρους των αριθμών που μπορούν να αναπαρασταθούν σε μορφή κινητής υποδιαστολής. Προφανώς, οι θετικοί και οι αρνητικοί αριθμοί βρίσκονται συμμετρικά περίπου στο μηδέν. Επομένως, ο μέγιστος και ο ελάχιστος αριθμός είναι ίσοι σε απόλυτη τιμή: I tah =|/? t; n |. Ο μικρότερος απόλυτος αριθμός είναι μηδέν. Με τι ισούμαι; Αυτός είναι ο αριθμός με τη μεγαλύτερη μάντισσα και τον μεγαλύτερο εκθέτη:

0,11111111111111111111111 u5 111Sh.

Εάν μετατραπεί στο δεκαδικό σύστημα, θα έχετε

L max \u003d (1 -2- 24) -2 64 \u003d 10 19.

Προφανώς, το εύρος των πραγματικών αριθμών είναι πολύ μεγαλύτερο από το εύρος των ακεραίων. Εάν, ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, προκύπτει ένας αριθμός, συντελεστής μεγαλύτερος από Είμαι ταχτότε ο επεξεργαστής διακόπτεται. Αυτή η κατάσταση ονομάζεται υπερχείλιση κινητής υποδιαστολής. Η μικρότερη μη μηδενική τιμή του modulo είναι

(1/2) 2 -64 = 2 -66 .

Οποιαδήποτε τιμή είναι μικρότερη από τη δεδομένη τιμή σε απόλυτη τιμή γίνεται αντιληπτή από τον επεξεργαστή ως μηδέν.

Όπως είναι γνωστό από τα μαθηματικά, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι άπειρο και συνεχές. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών που μπορούν να αναπαρασταθούν στη μνήμη του υπολογιστή με τη μορφή κινητής υποδιαστολής είναι περιορισμένο και διακριτό. Κάθε επόμενη τιμή λαμβάνεται προσθέτοντας την προηγούμενη στο mantissa στο τελευταίο (24ο) bit. Ο αριθμός των πραγματικών αριθμών που μπορούν να αναπαρασταθούν ακριβώς στη μνήμη του μηχανήματος υπολογίζεται από τον τύπο

Ν = 2"-(U-L+ 1)+ 1.

Εδώ t-ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων της μάντισσας. U-τη μέγιστη τιμή της μαθηματικής σειράς· μεγάλο- ελάχιστη αξία παραγγελίας. Για την παραλλαγή που εξετάσαμε (/ = 24, U= 63, μεγάλο= -64) αποδεικνύεται

Ν=2 146683548.

Όλοι οι άλλοι αριθμοί που δεν εμπίπτουν σε αυτό το σύνολο, αλλά βρίσκονται στο εύρος των αποδεκτών τιμών, αντιπροσωπεύονται στη μνήμη περίπου (η μάντισσα κόβεται στο 24ο bit). Και δεδομένου ότι οι αριθμοί έχουν σφάλματα, τότε τα αποτελέσματα των υπολογισμών με αυτούς τους αριθμούς θα περιέχουν επίσης σφάλματα. Από όσα ειπώθηκαν προκύπτει το συμπέρασμα: οι υπολογισμοί με πραγματικούς αριθμούς σε έναν υπολογιστή γίνονται κατά προσέγγιση.

Ενότητες πληροφοριών

Το bit (Αγγλικά, δυαδικό ψηφίο, επίσης ένα παιχνίδι με τις λέξεις: Αγγλικά, bit - a little) (ένα δυαδικό ψηφίο στο δυαδικό σύστημα αριθμών) είναι μια από τις πιο διάσημες μονάδες για τη μέτρηση της ποσότητας πληροφοριών.

Το Nibble (eng, nibble, nybble) ή nibble, είναι μια μονάδα πληροφοριών ίση με τέσσερα δυαδικά ψηφία (bits). βολικό στο ότι μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα μόνο δεκαεξαδικό ψηφίο, δηλ. είναι ένα δεκαεξαδικό ψηφίο.

Το byte (στα αγγλικά, byte, είναι συντομογραφία της φράσης BinarYTERm - «δυαδικός όρος») είναι μια μονάδα αποθήκευσης και επεξεργασίας ψηφιακών πληροφοριών. Στα σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα, ένα byte θεωρείται ίσο με οκτώ bit, οπότε μπορεί να πάρει ένα από τα 2 8 = 256 διαφορετικές έννοιες(κράτη, κωδικοί). Ωστόσο, στην ιστορία των υπολογιστών, είναι γνωστές λύσεις με διαφορετικό μέγεθος byte, για παράδειγμα 6 bit, 36 bit σε PDP- 10. Επομένως, μερικές φορές σε πρότυπα υπολογιστών και επίσημα έγγραφα, ο όρος "οκτάδα" (Λατινική οκτάδα) χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει με σαφήνεια μια λέξη 8-bit. Στις περισσότερες αρχιτεκτονικές υπολογιστών, ένα byte είναι το μικρότερο ανεξάρτητα διευθυνσιοδοτούμενο σύνολο δεδομένων.

Μια λέξη μηχανής είναι μια τιμή που εξαρτάται από τη μηχανή και την πλατφόρμα, μετρούμενη σε bit ή byte (trits ή χαρακτηριστικά), ίση με το πλάτος bit των καταχωρητών του επεξεργαστή ή/και το πλάτος bit του διαύλου δεδομένων (συνήθως κάποια ισχύ δύο ). Σε πρώιμους υπολογιστές, το μέγεθος της λέξης συνέπεσε επίσης με το ελάχιστο μέγεθος των διευθυνσιοδοτούμενων πληροφοριών (το βάθος bit των δεδομένων που βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση). στους σύγχρονους υπολογιστές, η ελάχιστη διευθυνσιοδοτούμενη μονάδα πληροφοριών είναι συνήθως ένα byte και μια λέξη αποτελείται από πολλά byte. Η λέξη μηχανής ορίζει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά της πλατφόρμας υλικού:

βάθος bit των δεδομένων που επεξεργάζεται ο επεξεργαστής.
βάθος bit των δεδομένων διεύθυνσης (πλάτος bit του διαύλου δεδομένων).
η μέγιστη τιμή ενός ανυπόγραφου ακέραιου τύπου που υποστηρίζεται άμεσα από τον επεξεργαστή: εάν το αποτέλεσμα μιας αριθμητικής πράξης υπερβαίνει αυτήν την τιμή, τότε εμφανίζεται υπερχείλιση.
μέγιστη ένταση μνήμη τυχαίας προσπέλασηςαπευθύνεται απευθείας από τον επεξεργαστή.

Δεκαδικά και δυαδικά πολλαπλάσια προθεμάτων

Δυαδικά προθέματα - προθέματα μπροστά από μονάδες μέτρησης, που δηλώνουν τον πολλαπλασιασμό τους με το 2 10 \u003d 1024. Λόγω της εγγύτητας των αριθμών 1024 και 1000, τα δυαδικά προθέματα δημιουργούνται κατ' αναλογία με τα τυπικά δεκαδικά προθέματα SI. Κάθε δυαδικό πρόθεμα λαμβάνεται αντικαθιστώντας την τελευταία συλλαβή του αντίστοιχου δεκαδικού προθέματος με bi (από το λατινικό binarius - binary). Τα δυαδικά προθέματα χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν μονάδες πληροφοριών που είναι πολλαπλάσια bit και byte. Τα προθέματα εισήχθησαν από τη Διεθνή Ηλεκτροτεχνική Επιτροπή (IEC) τον Μάρτιο του 1999. Μοιάζουν με αυτό (Πίνακας 2.6).

Αναπαράσταση κειμενικών πληροφοριών σε υπολογιστή.

Κωδικοποιήσεις ASCII και Unicode

Για την αναπαράσταση κειμενικών πληροφοριών σε έναν υπολογιστή, ένας συγκεκριμένος κώδικας συσχετίζεται με μια γραφική απεικόνιση κάθε χαρακτήρα. Σύνολο χαρακτήρων / κωδικοποίηση (Αγγλικά, σύνολο χαρακτήρων) - ένας πίνακας που καθορίζει την κωδικοποίηση ενός πεπερασμένου συνόλου αλφαβητικών χαρακτήρων (συνήθως στοιχεία κειμένου: γράμματα, αριθμοί, σημεία στίξης). Ένας τέτοιος πίνακας αντιστοιχίζει σε κάθε χαρακτήρα μια ακολουθία ενός ή περισσότερων χαρακτήρων ενός άλλου αλφαβήτου, όπως μηδενικά και μονά (bit).

ASCII(eng. American Standard Code for Information Interchange) - Αμερικανικός τυπικός πίνακας κωδικοποίησης για τυπωμένους χαρακτήρες και ορισμένους ειδικούς κωδικούς (κωδικοί 0x00 έως 0x1 F).

ASCIIείναι μια κωδικοποίηση για την αναπαράσταση δεκαδικών ψηφίων, του λατινικού και του εθνικού αλφάβητου, προεπι-

Δυαδικά προθέματα για το σχηματισμό μονάδων πληροφοριών

Δυάδικος πρόθεμα	Παρόμοιος δεκαδικός πρόθεμα	Συντομογραφίες IEC για bit, byte	Η τιμή με την οποία πολλαπλασιάζεται η αρχική τιμή
kibi/kibi (2 10)		Kibit, KiB/KV
έπιπλα/teY (2 20)		Mibit, MiB/MSh	2 20 = 1 048 576
gibi/§іbі (2 30)		Gibit, GiB/vSh	2 30 = 1 073741 824
tebiDehi (2 40)	tera (10 12)	Tibit, TiB/TSh	2 40 = 1 099511 627776
pebi/pebi (2 50)	πέτα (10 15)	Pibit, PiB/R1V	2 50 = 1 125 899906842624
xby/exy (2 60)	exa (10 18)	Eibit, EiB/ESH	2 60 = 1 152921504606846976
zebi/gebi (2 70)	zetta (10 21)	Zibit, ZiB/71V	2 70 = 1 180591620717411 303424
yobi/yobi (2 80)	yotta (10 24)	Yibit, YiB/U1V	2 80 = 1 208925819614629 174706 176

χαρακτήρες γνώσης και ελέγχου. Αναπτύχθηκε αρχικά (το 1963) ως 7-bit, μετά την ευρεία χρήση του 8-bit byte ASCIIάρχισε να γίνεται αντιληπτό ως το ήμισυ των 8-bit. Οι υπολογιστές συνήθως χρησιμοποιούν επεκτάσεις ASCII γπεριλάμβανε το 8ο bit και το δεύτερο μισό ενός άλλου πίνακα κωδικών (για παράδειγμα, KOI 8).

Το Unicode ή Unicode (αγγλικά Unicode) είναι ένα πρότυπο κωδικοποίησης χαρακτήρων που σας επιτρέπει να αντιπροσωπεύετε τα σημάδια σχεδόν όλων των γραπτών γλωσσών.

Το πρότυπο προτάθηκε το 1991. μη κερδοσκοπική οργάνωση«Unicode Consortium» (eng. Unicode Consortium, Unicode Inc.). Η χρήση αυτού του προτύπου καθιστά δυνατή την κωδικοποίηση ενός πολύ μεγάλου αριθμού χαρακτήρων από διαφορετικά σενάρια: σε έγγραφα Unicode, κινεζικοί χαρακτήρες, μαθηματικά σύμβολα, γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου, λατινικό και κυριλλικό αλφάβητο μπορούν να συνυπάρχουν. Έτσι η εναλλαγή των σελίδων κώδικα καθίσταται περιττή.

Το πρότυπο αποτελείται από δύο κύριες ενότητες: το καθολικό σύνολο χαρακτήρων (eng. UCS,καθολικό σύνολο χαρακτήρων) και οικογένειες κωδικοποίησης (eng. utf,Μορφή μετασχηματισμού Unicode). Σετ γενικής χρήσηςΟι χαρακτήρες καθορίζουν μια αντιστοιχία ενός προς ένα χαρακτήρων με κώδικες που αντιπροσωπεύουν μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Οικογένεια κωδικοποίησηςορίζει τη μηχανική αναπαράσταση των κωδικών UCS.

Για να προσδιορίσετε τη μορφή αναπαράστασης Unicode, γράφεται μια υπογραφή στην αρχή του αρχείου κειμένου - κώδικα FEFF(δεν υπάρχει σύμβολο με τέτοιο κωδικό στο Unicode), που ονομάζεται επίσης σήμα παραγγελίας byte (Αγγλικά, σήμα σειράς byte, BOM).Επίσης, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται μερικές φορές για να υποδείξει τη μορφή UTF 8, αν και η έννοια του endianness δεν ισχύει για αυτήν τη μορφή.

Βασικές κωδικοποιήσεις Unicode:

UTF-8 (EF BB BF);
UTF-16BE (FE FF);
UTF-16LE (FF FE);
UTF-32BE (0000FEFF);
UTF-32LE (FF FE0000).

+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
+ ^ m-2 Rm 2 + + + Γιάο
- ^]επιπλέον - 1-^1 στροφ

Στις συσκευές ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών χρησιμοποιείται ένα δυαδικό σύστημα αριθμών με βάση 2, στο οποίο χρησιμοποιούνται δύο στοιχεία χαρακτηρισμού: 0 και 1. Τα βάρη των ψηφίων από αριστερά προς τα δεξιά από τα κάτω ψηφία στα παλαιότερα αυξάνονται κατά 2 φορές. έχουν δηλαδή την εξής ακολουθία: 8421. Σε γενική εικόνααυτή η σειρά μοιάζει με:

…2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 ,2 -1 2 -2 2 -3 …

και χρησιμοποιείται για τη μετατροπή του δυαδικού σε δεκαδικό. Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός 101011 είναι ισοδύναμος με τον δεκαδικό αριθμό 43:

2 5 1+2 4 0+2 3 1+2 2 0+2 1 1+2 0 1=43

Στις ψηφιακές συσκευές, ειδικοί όροι χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν μονάδες πληροφοριών διαφόρων μεγεθών: bit, byte, kilobyte, megabyte κ.λπ.

Κομμάτιή Δυαδικό ψηφίοκαθορίζει την τιμή οποιουδήποτε χαρακτήρα σε έναν δυαδικό αριθμό. Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός 101 έχει τρία bit ή τρία ψηφία. Το ψηφίο στην άκρα δεξιά, με το μικρότερο βάρος, ονομάζεται κατώτεροςκαι η άκρα αριστερά, με το μεγαλύτερο βάρος, - αρχαιότερος.

Ένα byte ορίζει ένα 8-bitμονάδα πληροφοριών, 1 byte = 23 bit, για παράδειγμα, 10110011 ή 01010111, κ.λπ., 1 kbyte = 2 10 byte, 1 MB = 2 10 kbyte = 2 20 byte.

Για την αναπαράσταση πολυψήφιων αριθμών στο δυαδικό σύστημα, απαιτείται μεγάλος αριθμός δυαδικών ψηφίων. Η εγγραφή είναι ευκολότερη εάν χρησιμοποιείτε το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

θεμέλιο δεκαεξαδικό σύστημαλογισμός είναι ο αριθμός 16=2 4 , ο οποίος χρησιμοποιεί 16 στοιχεία χαρακτηρισμού: αριθμούς από το 0 έως το 9 και τα γράμματα A, B, C, D, E, F. Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαεξαδικό, αρκεί να διαιρέσετε το δυαδικό αριθμός σε ομάδες τεσσάρων bit: το ακέραιο μέρος από δεξιά προς τα αριστερά, κλασματικό - από αριστερά προς τα δεξιά της υποδιαστολής. Οι ακραίες ομάδες μπορεί να είναι ελλιπείς.

Κάθε δυαδική ομάδα αντιπροσωπεύεται από τον αντίστοιχο δεκαεξαδικό χαρακτήρα (Πίνακας 1). Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός 0101110000111001 σε δεκαεξαδικό εκφράζεται ως 5C39.

Ο χρήστης είναι πιο άνετος με το σύστημα δεκαδικών αριθμών. Επομένως, πολλές ψηφιακές συσκευές, που λειτουργούν με δυαδικούς αριθμούς, λαμβάνουν και εκδίδουν δεκαδικούς αριθμούς στο χρήστη. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται δυαδική κωδικοποίηση δεκαδικού.

Δυαδικός δεκαδικός κώδικαςσχηματίζεται αντικαθιστώντας κάθε δεκαδικό ψηφίο ενός αριθμού με μια τετραψήφια δυαδική αναπαράσταση αυτού του ψηφίου σε δυαδικό κώδικα (Βλ. Πίνακα 1). Για παράδειγμα, ο αριθμός 15 αντιπροσωπεύεται ως 00010101 BCD (Binary Coded Decimal). Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε byte περιέχει δύο δεκαδικά ψηφία. Σημειώστε ότι ο κωδικός BCD σε αυτήν τη μετατροπή δεν είναι δυαδικός αριθμός ισοδύναμος με δεκαδικό αριθμό.

1.2 Λογικές βάσεις των υπολογιστών

Ο κλάδος της μαθηματικής λογικής που μελετά τις σχέσεις μεταξύ λογικών μεταβλητών που έχουν μόνο δύο τιμές ονομάζεται άλγεβρα της λογικής.Η άλγεβρα της λογικής αναπτύχθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό J. Boole και συχνά ονομάζεται άλγεβρα Boole. Η άλγεβρα της λογικής είναι η θεωρητική βάση για την κατασκευή συστημάτων ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών. Πρώτον, με βάση τους νόμους της άλγεβρας της λογικής, αναπτύσσεται μια λογική εξίσωση της συσκευής, η οποία σας επιτρέπει να συνδέσετε λογικά στοιχεία με τέτοιο τρόπο ώστε το κύκλωμα να εκτελεί μια δεδομένη λογική λειτουργία.

Πίνακας 1 - Κωδικοί αριθμών από 0 έως 15

Δεκαδικός αριθμός	Κωδικοί
Δεκαδικός αριθμός	Δυάδικος	δεκαεξαδικό	δυαδικό δεκαδικό
0	0000	0	000
1	0001	1	0001
2	0010	2	0010
3	0011	3	0011
4	0100	4	0100
5	0101	5	0101
6	0110	6	0110
7	0111	7	0111
8	1000	8	1000
9	1001	9	1001
10	1010	ΕΝΑ	00010000
11	1011	σι	00010001
12	1100	ντο	00010010
13	1101	ρε	00010011
14	1110	μι	00010100
15	1111	φά	00010101

1.2.1 Βασικές αρχές της άλγεβρας της λογικής

Διάφορες μεταβλητές boolean μπορούν να συνδεθούν με συναρτησιακές εξαρτήσεις. Οι λειτουργικές εξαρτήσεις μεταξύ λογικών μεταβλητών μπορούν να περιγραφούν με λογικούς τύπους ή πίνακες αλήθειας.

Γενικά, λογικό τύποςσυναρτήσεις δύο μεταβλητών γράφεται ως: y=φά(Χ 1 , Χ 2), όπου Χ 1 , Χ 2 - μεταβλητές εισόδου.

ΣΤΟ πίνακας αλήθειαςεμφανίζει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς (συνδυασμούς) μεταβλητών εισόδου και τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης y, που προκύπτουν από την εκτέλεση οποιασδήποτε λογικής πράξης. Με μία μεταβλητή, το πλήρες σύνολο αποτελείται από τέσσερις συναρτήσεις, οι οποίες φαίνονται στον Πίνακα 2.

Πίνακας 2 - Πλήρες σύνολο συναρτήσεων μιας μεταβλητής

Χ	Υ1	Υ2	Υ3	Υ4
0	1	0	1	0
1	0	1	1	0

Υ1 - Αντιστροφή, Υ2 - Συνάρτηση ταυτότητας, Υ3 - Συνάρτηση Απόλυτα αληθής και Υ4 - Απόλυτα ψευδής συνάρτηση.

Αναστροφή(άρνηση) είναι μια από τις κύριες λογικές λειτουργίες που χρησιμοποιούνται σε συσκευές ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών.

Με δύο μεταβλητές, το πλήρες σετ αποτελείται από 16 λειτουργίες, αλλά δεν χρησιμοποιούνται όλες σε ψηφιακές συσκευές.

Οι κύριες λογικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών που χρησιμοποιούνται σε συσκευές ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών είναι: η διάζευξη (λογική πρόσθεση), η σύνδεση (λογικός πολλαπλασιασμός), το modulo αθροίσματος 2 (διαφορά), το βέλος του Pierce και το stroke του Schaeffer. συμβάσειςΟι λογικές πράξεις που υλοποιούν τις παραπάνω λογικές συναρτήσεις μιας και δύο μεταβλητών φαίνονται στον Πίνακα 3.

Πίνακας 3 Ονόματα και σύμβολα λογικών πράξεων

Η πράξη αντιστροφής μπορεί να εκτελεστεί καθαρά αριθμητικά: και αλγεβρικά: Από τις εκφράσεις αυτές προκύπτει ότι η αντιστροφή Χ, δηλ. συμπληρώνει Χέως 1. Ως εκ τούτου, προέκυψε ένα άλλο όνομα για αυτήν τη λειτουργία - πρόσθεση. Από αυτό μπορούμε επίσης να συμπεράνουμε ότι η διπλή αντιστροφή οδηγεί στο αρχικό όρισμα, δηλ. και λέγεται ο νόμος της διπλής άρνησης.

Πίνακας 4 - Πίνακες αλήθειας των κύριων συναρτήσεων δύο μεταβλητών

Διαχώριση			Σύνδεση			XOR			Pierce Arrow			Εγκεφαλικό του Σάφερ
Χ1	X2	Υ	Χ1	X2	Υ	Χ1	X2	Υ	Χ1	X2	Υ	Χ1	X2	Υ
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	1	1	0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	1	0	1	1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0

Διαχώριση.Σε αντίθεση με τη συνηθισμένη αριθμητική ή αλγεβρική άθροιση, εδώ η παρουσία δύο μονάδων έχει ως αποτέλεσμα μια μονάδα. Επομένως, όταν δηλώνεται η λογική άθροιση, θα πρέπει να προτιμάται το πρόσημο (∨) αντί για το πρόσημο (+) .

Οι δύο πρώτες γραμμές του πίνακα αλήθειας της πράξης διαχωρισμού ( Χ 1 =0) προσδιορίζει νόμος μηδενικής πρόσθεσης: x ∨ 0 = Χ, και οι δύο δεύτερες γραμμές (x 1 = 1) - νόμος προσθήκης ενότητας: Χ ∨ 1 = 1.

Σύνδεση.Ο Πίνακας 4 δείχνει πειστικά την ταυτότητα των πράξεων των συνηθισμένων και λογικών πολλαπλασιασμών. Επομένως, ως σημάδι λογικού πολλαπλασιασμού, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το συνηθισμένο πρόσημο του συνηθισμένου πολλαπλασιασμού με τη μορφή κουκκίδας.

Οι δύο πρώτες σειρές του πίνακα αλήθειας της πράξης σύνδεσης ορίζουν νόμος του πολλαπλασιασμού με το μηδέν: Χ 0 = 0, και το δεύτερο δύο - νόμος πολλαπλασιασμού επί ένα: x 1 = Χ.

Αποκλειστικό Ή.Η συνάρτηση XOR γίνεται κατανοητή ως εξής: μια μονάδα στην έξοδο εμφανίζεται όταν υπάρχει μόνο μία σε μία είσοδο. Εάν υπάρχουν δύο ή περισσότερες στις εισόδους, ή εάν όλες οι είσοδοι είναι μηδενικές, τότε η έξοδος θα είναι μηδέν.

Η επιγραφή στον χαρακτηρισμό του στοιχείου EXCLUSIVE OR "=1" (Εικόνα 1, δ) σημαίνει απλώς ότι η κατάσταση επισημαίνεται όταν υπάρχει μία και μόνο μονάδα στις εισόδους.

Αυτή η πράξη είναι παρόμοια με την πράξη αριθμητικής άθροισης, αλλά, όπως και άλλες λογικές πράξεις, χωρίς σχηματισμό μεταφοράς. Γι' αυτό έχει διαφορετικό όνομα. άθροισμα modulo 2και ο συμβολισμός ⊕, ο οποίος είναι παρόμοιος με τον συμβολισμό για την αριθμητική άθροιση.

Pierce Arrowκαι Εγκεφαλικό του Σάφερ.Αυτές οι πράξεις είναι αντίστροφες των πράξεων του διαχωρισμού και του συνδέσμου και δεν έχουν ειδική σημείωση.

Οι θεωρούμενες λογικές συναρτήσεις είναι απλές ή στοιχειώδεις, αφού η τιμή της αλήθειας τους δεν εξαρτάται από την αλήθεια οποιωνδήποτε άλλων συναρτήσεων, αλλά εξαρτάται μόνο από ανεξάρτητες μεταβλητές που ονομάζονται επιχειρήματα.

Οι ψηφιακές υπολογιστικές συσκευές χρησιμοποιούν πολύπλοκες λογικές συναρτήσεις που αναπτύσσονται από στοιχειώδεις συναρτήσεις.

συγκρότημαείναι μια λογική συνάρτηση της οποίας η τιμή αλήθειας εξαρτάται από την τιμή αλήθειας άλλων συναρτήσεων. Αυτές οι συναρτήσεις είναι ορίσματα αυτής της πολύπλοκης συνάρτησης.

Για παράδειγμα, σε μια σύνθετη λογική συνάρτηση τα ορίσματα είναι X 1 ∨X 2 και .

1.2.2 Λογικά στοιχεία

Τα λογικά στοιχεία χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση λογικών λειτουργιών σε συσκευές ψηφιακής επεξεργασίας πληροφοριών. Τα γραφικά σύμβολα υπό όρους (UGO) λογικών στοιχείων που υλοποιούν τις λειτουργίες που συζητήθηκαν παραπάνω φαίνονται στο Σχήμα 1.

Σχήμα 1 - Λογικά στοιχεία UGO: α) Μετατροπέας, β) Ή, γ) ΚΑΙ, δ) Αποκλειστικό Ή, ε) Ή-ΟΧΙ, στ) ΚΑΙ-ΟΧΙ.

Οι σύνθετες λογικές συναρτήσεις υλοποιούνται με βάση απλά λογικά στοιχεία, με την κατάλληλη σύνδεσή τους για την υλοποίηση μιας συγκεκριμένης αναλυτικής συνάρτησης. Λειτουργικό διάγραμμα μιας λογικής συσκευής που υλοποιεί μια σύνθετη συνάρτηση, που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο φαίνεται στο σχήμα 2.

Εικόνα 2 - Ένα παράδειγμα υλοποίησης μιας σύνθετης λογικής συνάρτησης

Όπως φαίνεται από το Σχήμα 2, η λογική εξίσωση δείχνει ποια LE και ποιες συνδέσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία μιας δεδομένης λογικής συσκευής.

Δεδομένου ότι η λογική εξίσωση και το λειτουργικό κύκλωμα έχουν αντιστοιχία ένα προς ένα, είναι σκόπιμο να απλοποιηθεί η λογική συνάρτηση χρησιμοποιώντας τους νόμους της άλγεβρας της λογικής και, επομένως, να μειωθεί ο αριθμός ή να αλλάξει η ονοματολογία του LE κατά την εφαρμογή του .

1.2.3 Νόμοι και ταυτότητες της άλγεβρας της λογικής

Η μαθηματική συσκευή της άλγεβρας της λογικής σάς επιτρέπει να μεταμορφώσετε μια λογική έκφραση, αντικαθιστώντας την με μια ισοδύναμη προκειμένου να απλοποιήσετε, να μειώσετε τον αριθμό των στοιχείων ή να αντικαταστήσετε τη βάση στοιχείων.

1 Με δυνατότητα επανατοποθέτησης: X ∨ Y = Y ∨ X; X Y = Y X.

2 Συνδυαστικά: X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z); X Y Z = (X Y) Z = X (Y Z).

3 Ανικανότητες: X ∨ X = X; X X = X.

4 Κατανεμητικό: (X ∨ Y) Z = X Z ∨ Y Z.

5 Διπλή άρνηση: .

6 Ο νόμος της δυαδικότητας (Κανόνας του De Morgan):

Ένας αριθμός ταυτοτήτων χρησιμοποιούνται για τον μετασχηματισμό δομικών τύπων:

X ∨ X Y = X; X(X ∨ Y) = X - Κανόνες απορρόφησης.

X· Y ∨ X· = X, (X ∨ Y)·(X ∨ ) = X – Κανόνες κόλλησης.

Κανόνες προτεραιότητας λογικών πράξεων.

1 Η άρνηση είναι η λογική δράση του πρώτου σταδίου.

2 Ο σύνδεσμος είναι μια λογική ενέργεια του δεύτερου σταδίου.

3 Η διάσπαση είναι μια λογική ενέργεια του τρίτου σταδίου.

Εάν σε μια λογική έκφραση συμβαίνουν ενέργειες διαφορετικών σταδίων, τότε εκτελείται πρώτα το πρώτο στάδιο, μετά το δεύτερο και μόνο μετά το τρίτο στάδιο. Οποιαδήποτε απόκλιση από αυτή τη σειρά πρέπει να επισημαίνεται με παρένθεση.

Όλοι οι σύγχρονοι υπολογιστές έχουν ένα αρκετά ανεπτυγμένο σύστημα εντολών, που περιλαμβάνει δεκάδες και εκατοντάδες λειτουργίες μηχανών. Ωστόσο, η εκτέλεση οποιασδήποτε λειτουργίας βασίζεται στη χρήση των απλούστερων μικροπράξεων όπως η προσθήκη και η μετατόπιση. Αυτό σας επιτρέπει να έχετε μια ενιαία αριθμητική-λογική μονάδα για την εκτέλεση οποιωνδήποτε πράξεων που σχετίζονται με την επεξεργασία πληροφοριών. Οι κανόνες για την πρόσθεση δυαδικών ψηφίων δύο αριθμών Α και Β παρουσιάζονται στον Πίνακα. 2.2.

Πίνακας 2.2 Κανόνες για την προσθήκη δυαδικών ψηφίων

Ακολουθούν οι κανόνες για την προσθήκη δυαδικών ψηφίων a i , b i , των ίδιων bit, λαμβάνοντας υπόψη πιθανές μεταφορές από το προηγούμενο bit p i -1 .

Παρόμοιοι πίνακες θα μπορούσαν να δημιουργηθούν για οποιαδήποτε άλλη αριθμητική ή λογική πράξη (αφαίρεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ.), αλλά είναι τα δεδομένα αυτού του πίνακα που αποτελούν τη βάση για την εκτέλεση οποιασδήποτε λειτουργίας υπολογιστή. Κάτω από το σύμβολο των αριθμών, εκχωρείται ένα ειδικό ψηφίο πρόσημου. Το σύμβολο "+" κωδικοποιείται ως δυαδικό μηδέν και το σύμβολο "-" κωδικοποιείται ως ένα. Οι ενέργειες σε άμεσους κωδικούς δυαδικών αριθμών κατά την εκτέλεση πράξεων δημιουργούν μεγάλες δυσκολίες που σχετίζονται με την ανάγκη να ληφθούν υπόψη οι τιμές των bit πρόσημου:

Πρώτον, τα σημαντικά bits αριθμών και τα bit πρόσημου θα πρέπει να αντιμετωπίζονται χωριστά.

Δεύτερον, η τιμή του bit προσήμου επηρεάζει τον αλγόριθμο για την εκτέλεση της πράξης (η πρόσθεση μπορεί να αντικατασταθεί από την αφαίρεση και αντίστροφα). Σε όλους τους υπολογιστές χωρίς εξαίρεση, όλες οι λειτουργίες εκτελούνται σε αριθμούς που αντιπροσωπεύονται από ειδικούς κωδικούς μηχανής. Η χρήση τους σάς επιτρέπει να αντιμετωπίζετε τα ψηφία των αριθμών με τον ίδιο τρόπο όπως τα σημαντικά ψηφία, καθώς και να αντικαθιστάτε τη λειτουργία της αφαίρεσης με τη λειτουργία της πρόσθεσης.

Υπάρχουν άμεσος κωδικός (P), αντίστροφος κωδικός (OK) και πρόσθετος κωδικός (DC) δυαδικών αριθμών.

Κωδικοί μηχανών

Απευθείας κωδικόςενός δυαδικού αριθμού σχηματίζεται από την απόλυτη τιμή αυτού του αριθμού και τον κωδικό πρόσημου (μηδέν ή ένα) πριν από το υψηλότερο αριθμητικό ψηφίο του.

Παράδειγμα 2.5.

Η διακεκομμένη κάθετη γραμμή εδώ σηματοδοτεί το όριο υπό όρους που χωρίζει το bit πρόσημου από τα σημαντικά.

Αντίστροφος κωδικόςΟ δυαδικός αριθμός σχηματίζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα. Ο αντίστροφος κωδικός των θετικών αριθμών είναι ίδιος με τον άμεσο κωδικό τους. Ο αντίστροφος κωδικός ενός αρνητικού αριθμού περιέχει μια μονάδα στο ψηφίο πρόσημου του αριθμού και τα σημαντικά ψηφία του αριθμού αντικαθίστανται από αντίστροφα, δηλ. τα μηδενικά αντικαθίστανται από ένα και τα ένα με μηδενικά.

Παράδειγμα 2.6.

Ο αντίστροφος κωδικός αριθμών πήρε το όνομά του επειδή οι κωδικοί των ψηφίων ενός αρνητικού αριθμού αντικαθίστανται από αντίστροφους. Υποδεικνύουμε τις πιο σημαντικές ιδιότητες του αντίστροφου κωδικού αριθμών:

Η προσθήκη ενός θετικού αριθμού C με την αρνητική του τιμή στον αντίστροφο κωδικό δίνει τη λεγόμενη μονάδα μηχανής MEoc = 1¦ 11 ... 111, που αποτελείται από μονάδες στο πρόσημο και σημαντικά ψηφία του αριθμού.

Το μηδέν στον αντίστροφο κωδικό έχει διπλή σημασία. Μπορεί να είναι είτε θετικός αριθμός - 0¦ 00...0, είτε αρνητικός αριθμός - 1 ¦ 11...11. Η τιμή του αρνητικού μηδέν είναι ίδια με το MEok. Η διπλή αναπαράσταση του μηδενός ήταν ο λόγος που στους σύγχρονους υπολογιστές όλοι οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται όχι από έναν αντίστροφο, αλλά από έναν πρόσθετο κωδικό.

Πρόσθετος κωδικόςΟι θετικοί αριθμοί είναι ίδιοι με τον άμεσο κωδικό τους. Ο πρόσθετος κωδικός ενός αρνητικού αριθμού είναι το αποτέλεσμα της άθροισης του αντίστροφου κωδικού του αριθμού με τη μονάδα του λιγότερο σημαντικού ψηφίου (2 0 - για ακέραιους αριθμούς, 2-k-για κλάσματα).

Παράδειγμα 2.7.

Ας υποδείξουμε τις κύριες ιδιότητες του πρόσθετου κώδικα:

Η προσθήκη των συμπληρωματικών κωδικών ενός θετικού αριθμού C με την αρνητική του τιμή δίνει τη λεγόμενη μονάδα μηχανής του συμπληρωματικού κώδικα:

MEDK=MEok+2 0 =10¦ 00...00,

εκείνοι. τον αριθμό 10 (δύο) στα ψηφία του αριθμού.

Ο κωδικός συμπληρώματος των δύο πήρε το όνομά του επειδή η αναπαράσταση των αρνητικών αριθμών είναι η προσθήκη του άμεσου κωδικού των αριθμών στη μονάδα μηχανής MEdk.

τροποποιημένη αντίστροφη και πρόσθετους κωδικούς Οι δυαδικοί αριθμοί διαφέρουν, αντίστοιχα, από τον αντίστροφο και τους πρόσθετους κωδικούς διπλασιάζοντας τις τιμές των bit πρόσημου. Το πρόσημο "+" σε αυτούς τους κωδικούς κωδικοποιείται με δύο μηδενικά ψηφία και το πρόσημο "-" κωδικοποιείται από δύο μονοψήφια.

Παράδειγμα 2.8.

Ο σκοπός της εισαγωγής τροποποιημένων κωδικών είναι να διορθωθούν και να εντοπιστούν περιπτώσεις λήψης εσφαλμένου αποτελέσματος όταν η τιμή του αποτελέσματος υπερβαίνει το μέγιστο δυνατό αποτέλεσμα στο εκχωρημένο πλέγμα bit του μηχανήματος. Σε αυτήν την περίπτωση, μια μεταφορά από το σημαντικό bit μπορεί να παραμορφώσει την τιμή του λιγότερο σημαντικού bit. Η τιμή των bit πρόσημου "01" υποδηλώνει μια θετική υπερχείλιση του πλέγματος bit και το "10" - μια αρνητική υπερχείλιση. Προς το παρόν, σε όλα σχεδόν τα μοντέλα υπολογιστών, ο ρόλος των διπλών δυαδικών ψηφίων για τη διόρθωση της υπερχείλισης του πλέγματος μπιτ παίζεται από μεταφορείς που πηγαίνουν προς και από το bit πρόσημου.

Όλες οι φανταστικές δυνατότητες της τεχνολογίας υπολογιστών (CT) πραγματοποιούνται δημιουργώντας διάφορους συνδυασμούς σημάτων υψηλού και χαμηλού επιπέδου, που συμφωνήσαμε να ονομάσουμε «ένα» και «μηδενικά». Επομένως, εμείς, σε αντίθεση με τον ποιητή Β. Μαγιακόφσκι, δεν έχουμε την τάση να υποτιμούμε τον ρόλο του ενός, όπως και του μηδενός. Ειδικά όταν πρόκειται για το δυαδικό σύστημα αριθμών.

Κάτω από αριθμητικό σύστημαΤο (SS) αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο κάθε αριθμός αντιπροσωπεύεται από ένα αλφάβητο χαρακτήρων που ονομάζεται ψηφία.

SS καλείται θέσεως, εάν το ίδιο ψηφίο έχει διαφορετική τιμή, η οποία καθορίζεται από τη θέση του στον αριθμό.

Το δεκαδικό SS είναι θέσιο. Στο σχήμα στα αριστερά, η σημασία του αριθμού 9 αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό. Το πρώτο εννέα από τα αριστερά συνεισφέρει στη συνολική αξία του δεκαδικού αριθμού 900 μονάδες, το δεύτερο - 90 και το τρίτο - 9 μονάδες.

Τα Ρωμαϊκά SS είναι μη θέσεις. Η τιμή του αριθμού X στον αριθμό XXI παραμένει αμετάβλητη με τη μεταβολή της θέσης του στον αριθμό.

Ο αριθμός των διαφορετικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται στο SS θέσης ονομάζεται βάση SS. Το δεκαδικό SS χρησιμοποιεί δέκα ψηφία: 0, 1, 2, ..., 9; σε δυαδικό SS - δύο: 0 και 1. σε οκταδικό SS - οκτώ: 0, 1, 2, ..., 7. Σε SS με βάση Qαριθμοί από το 0 έως Q- 1.

Στη γενική περίπτωση, σε θέση SS με βάση Qοποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ Χμπορεί να παρουσιαστεί στη φόρμα πολυώνυμος:

x = α n Q n + α n-1 Q n-1 + … + α 1 Q 1 + α 0 Q 0 + α -1 Q -1 + α -2 Q -2 + …+ α -Μ Q -Μ

όπου ως συντελεστές ένα Εγώμπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί που χρησιμοποιούνται σε αυτό το SS.

Είναι σύνηθες να αντιπροσωπεύονται οι αριθμοί ως μια ακολουθία αντίστοιχων αριθμών (συντελεστών) που περιλαμβάνονται στο πολυώνυμο:

x = α n ένα n-1 …ένα 1 ένα 0 , ένα -1 ένα -2 …ένα -Μ

Ένα κόμμα διαχωρίζει το ακέραιο μέρος του αριθμού από το κλασματικό μέρος. Στο VT, τις περισσότερες φορές, για να διαχωρίσουν το ακέραιο μέρος ενός αριθμού από το κλασματικό μέρος, χρησιμοποιούν σημείο. Οι θέσεις των ψηφίων που μετρώνται από την τελεία καλούνται απορρίψεις. Στο θέσιο SS, το βάρος κάθε ψηφίου διαφέρει από το βάρος (συνεισφορά) του διπλανού ψηφίου κατά έναν παράγοντα ίσο με τη βάση του SS. Στο δεκαδικό SS, τα ψηφία του 1ου ψηφίου είναι μονάδες, το 2ο - δεκάδες, το 3ο - εκατοντάδες κ.λπ.

Στο VT, χρησιμοποιούνται θέσεις SS με μη δεκαδική βάση: δυαδικά, οκταδικά, δεκαεξαδικά συστήματα κ.λπ. Για τον προσδιορισμό του χρησιμοποιούμενου SS, οι αριθμοί περικλείονται σε αγκύλες και η βάση του SS υποδεικνύεται από τον δείκτη:

(15) 10 ; (1011) 2; (735) 8 ; (1EA9F) 16 .

Μερικές φορές οι αγκύλες παραλείπονται και μένει μόνο το ευρετήριο:

15 10 ; 1011 2 ; 7358; 1EA9F 16 .

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να ορίσετε SS: χρησιμοποιώντας λατινικά γράμματα που προστίθενται μετά τον αριθμό. Για παράδειγμα,

15D; 1011B; 735Q; 1EA9FH.

Έχει διαπιστωθεί ότι όσο μεγαλύτερη είναι η βάση του SS, τόσο πιο συμπαγής είναι ο συμβολισμός του αριθμού. Άρα η δυαδική αναπαράσταση ενός αριθμού απαιτεί περίπου 3,3 φορές περισσότερα ψηφία από την δεκαδική αναπαράστασή του. Θεωρήστε δύο αριθμούς: 97D = 1100001B. Η δυαδική αναπαράσταση ενός αριθμού έχει αισθητά μεγαλύτερο αριθμό ψηφίων.

Παρά το γεγονός ότι το δεκαδικό SS είναι ευρέως διαδεδομένο, οι ψηφιακοί υπολογιστές είναι χτισμένοι σε δυαδικά (ψηφιακά) στοιχεία, καθώς είναι δύσκολο να υλοποιηθούν στοιχεία με δέκα σαφώς διακριτές καταστάσεις. Σε ένα διαφορετικό σύστημα αριθμών, οι συσκευές δεκάτρον και τροχότρων μπορούν να λειτουργήσουν. Dekatron - μια λυχνία μέτρησης εκκένωσης αερίου - μια συσκευή εκκένωσης αερίου πολλαπλών ηλεκτροδίων με εκκένωση λάμψης για την ένδειξη του αριθμού των παλμών σε ένα δεκαδικό SS.

Αυτές οι συσκευές δεν έχουν βρει εφαρμογή για την κατασκευή εγκαταστάσεων VT. Η ιστορική εξέλιξη της τεχνολογίας των υπολογιστών έχει εξελιχθεί με τέτοιο τρόπο ώστε οι ψηφιακοί υπολογιστές να κατασκευάζονται με βάση δυαδικές ψηφιακές συσκευές (flip-flops, καταχωρητές, μετρητές, λογικά στοιχεία κ.λπ.).

Σημειώστε ότι ο οικιακός υπολογιστής "Setun" (συγγραφέας - N.P. Brusentsov) λειτούργησε χρησιμοποιώντας το τριαδικό σύστημα αριθμών.

Τα δεκαεξαδικά και οκταδικά SS χρησιμοποιούνται κατά τη σύνταξη προγραμμάτων στη γλώσσα των κωδικών μηχανής για μια συντομότερη και πιο βολική σημειογραφία δυαδικών κωδίκων - εντολών, δεδομένων, διευθύνσεων και τελεστών. Η μετατροπή από δυαδικό SS σε δεκαεξαδικό και οκταδικό SS (και αντίστροφα) είναι αρκετά απλή.

Το έργο της μετάφρασης από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο συναντάται συχνά στον προγραμματισμό και είναι ιδιαίτερα συνηθισμένο κατά τον προγραμματισμό σε γλώσσα assembly. Για παράδειγμα, κατά τον προσδιορισμό της διεύθυνσης μιας θέσης μνήμης, για να ληφθεί το δυαδικό ή δεκαεξαδικό ισοδύναμο ενός δεκαδικού αριθμού. Ορισμένες τυπικές διαδικασίες των γλωσσών προγραμματισμού Pascal, BASIC, HTML και C απαιτούν τον καθορισμό των παραμέτρων με δεκαεξαδικό συμβολισμό. Για να επεξεργαστείτε απευθείας δεδομένα που είναι γραμμένα στον σκληρό δίσκο, χρειάζεστε επίσης τη δυνατότητα εργασίας με δεκαεξαδικούς αριθμούς. Είναι σχεδόν αδύνατο να βρείτε μια δυσλειτουργία σε έναν υπολογιστή χωρίς να κατανοήσετε το δυαδικό σύστημα αριθμών. Χωρίς γνώση του δυαδικού SS, είναι αδύνατο να κατανοηθούν οι αρχές της αρχειοθέτησης, της κρυπτογραφίας και της στεγανογραφίας. Χωρίς γνώση του δυαδικού SS και της άλγεβρας Boole, είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς πώς συγχωνεύονται αντικείμενα σε διανυσματικά προγράμματα επεξεργασίας γραφικών που χρησιμοποιούν λογικές πράξεις OR, AND, AND-NOT.

Στον πίνακα. Το 1 δείχνει μερικούς από τους αριθμούς που παρουσιάζονται σε διάφορα CC.

Τραπέζι 1

Αριθμητικά συστήματα
Δεκαδικός	Δυάδικος	οκτάεδρος	Δεκαεξαδικό

Σκεφτείτε κανόναςμετάβαση από οκταδικό SS σε δυαδικό SS.

Ένας άλλος κανόνας για τη μετάφραση αριθμών:

Παράδειγμα 1. Μετατρέψτε τον αριθμό 305.4Q από οκταδικό SS σε δυαδικό SS.

Απόφαση.

Τα σημειωμένα ακραία μηδενικά πρέπει να απορριφθούν.

Εξετάστε έναν άλλο κανόνα:

Παράδειγμα 3Μετατρέψτε τον αριθμό 111001100.001B από δυαδικό ss σε οκταδικό ss.

Απόφαση.

Παράδειγμα 5Μετατρέψτε το 11011.11B από Binary SS σε Decimal SS.