Πριν απαντήσω στην ερώτησή σας, επιτρέψτε μου πρώτα να ξεκαθαρίσω ότι νομίζω ότι υπάρχει σύγχυση. Στα επίσημα μαθηματικά, το $infty$ δεν είναι αριθμός.Ο λόγος που οι μαθηματικοί δεν αντιμετωπίζουν το $infty$ ως αριθμό είναι γιατί αν το κάναμε, θα βγάλαμε κάποια συμπεράσματα που είναι σαφώς λανθασμένα.

Για παράδειγμα, ένας από τους αριθμούς ιδιοτήτων είναι ότι μπορείτε να αφαιρέσετε τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές μιας εξίσωσης και η εξίσωση θα εξακολουθεί να ισχύει. Για παράδειγμα, μπορώ να αφαιρέσω $1$ και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης $x+1=4$ για να πάρω $x=3$ . Από την άλλη, αν αντιμετωπίσω το $infty$ ως κανονικό αριθμό και αφαιρέσω το $infty$ και από τις δύο πλευρές της "εξίσωσης" $infty + 1 = \infty$ , θα λάβω $1=0$ , το οποίο είναι προφανώς λάθος.

Αντίθετα, οι μαθηματικοί σκέφτονται το $infty$ ως όριο. Σε γενικές γραμμές, αυτό σημαίνει ότι αν θέλετε να "συνδέσετε" το $infty$ σε μια συνάρτηση, συνδέετε όλο και περισσότερους αριθμούς και βλέπετε τι θα συμβεί μακροπρόθεσμα. Για παράδειγμα, γράφουμε $lim_(x\to\infty)\frac(1)(x)=0$ για να σημαίνει ότι "καθώς συνδέετε όλο και μεγαλύτερους αριθμούς στη συνάρτηση $f (x) = 1/x$ , η συνάρτηση γίνεται αυθαίρετα κοντά στο μηδέν." Θα πρέπει να πείσετε τον εαυτό σας ότι αυτό το συγκεκριμένο όριο είναι σωστό. Σε ορισμένες περιπτώσεις το όριο είναι άπειρο. Όλα αυτά σημαίνουν ότι, καθώς συνδέετε όλο και μεγαλύτερους αριθμούς στη συνάρτηση, η συνάρτηση γίνεται αυθαίρετα μεγάλη. Για παράδειγμα,

• $lim_(x έως infty)x = infty$ .
• $lim_(x έως infty)x^2 = infty$ .

Για να απαντήσω στην ερώτησή σας, σχεδόν οτιδήποτε μπορεί να συμβεί όταν εμπλέκεται $infty$. Ας δούμε τα δύο παραδείγματα που μόλις έδωσα. Παρόλο που και οι δύο συναρτήσεις $f (x) = x$ και $g (x) = x^2$ πηγαίνουν στο άπειρο όπως το $x$ πηγαίνει στο άπειρο, η δεύτερη μεγαλώνει πολύγρηγορότερα. Περίπτωση: $f (100) = 100 $ και $g (100) = 10.000 $. Στην πραγματικότητα, το $g (x)$ αυξάνεται τόσο πιο γρήγορα που η διαφορά $g (x) - f (x)$ (θυμηθείτε ότι αυτό είναι μόνο $x^2-x$) πηγαίνει επίσης στο άπειρο καθώς πηγαίνει το $x$ στο άπειρο. Μπορείτε να πείσετε τον εαυτό σας για αυτό συνδέοντας τιμές. Στα σύμβολα, $lim_(x\to\infty)(x^2 - x) = \infty.$ Έτσι, ανεπίσημα μιλώντας, είναι πιθανό $infty- infty = infty$ !

Αν αυτό το αποτέλεσμα σας φαίνεται αντι-διαισθητικό, είναι επειδή σκέφτεστε τα δύο άπειρα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης $infty-infty = infty$ ως τα ίδια $infty$: ​​στην πραγματικότητα, είναι διαφορετικά. Το πρώτο $infty$ προέρχεται από τη συνάρτηση $g (x) = x^2$ , και κατά κάποιο τρόπο είναι μεγαλύτεροςαπό το $infty$ από τη συνάρτηση $f (x) = x$ αφού το $x^2$ γίνεται μεγαλύτερο πολύ πιο γρήγορα από το $x$.

Σε κάθε περίπτωση, μπορείτε να βρείτε άλλες συναρτήσεις (δηλαδή, μπορείτε να προσεγγίσετε τα $infty$ με διαφορετικές ταχύτητες) που να κάνουν τις ακόλουθες δηλώσεις αληθείς:

• Το $infty-infty$ μπορεί να ισούται με οτιδήποτε μεταξύ $-infty$ και $+ infty$ .
• Το $infty/ infty$ μπορεί να ισούται με οτιδήποτε μεταξύ $-infty$ και $+ infty$ .
• Το $infty^0$ μπορεί να ισούται με οτιδήποτε μεταξύ $0$ και $+ infty$ .

Τέλος, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις όπου η σύνδεση $infty$ δεν σας δίνει καμία απάντηση. Εάν ακολουθήσατε τριγωνομετρία, πιθανότατα είστε εξοικειωμένοι με τη συνάρτηση ημιτονοειδούς, της οποίας το γράφημα ταλαντώνεται εμπρός και πίσω, σαν κύμα, μεταξύ $- 1$ και $+ 1$ . (Προσπάθησα να βάλω μια εικόνα του ημιτονοειδούς γραφήματος εδώ, αλλά δεν μπόρεσα να το βάλω σε λειτουργία γιατί είμαι νέος σε αυτόν τον ιστότοπο. Απλώς αναζητήστε "graph of sine" στις εικόνες Google και θα δείτε τι εννοώ .) Εάν συνδέσετε όλο και μεγαλύτερους αριθμούς στο $sin (x)$ , δεν θα προσεγγίσετε κανένα σταθερό αριθμό. Άρα $sin infty$ δεν υπάρχει.

Η θεωρία της σχετικότητας θεωρεί τον χώρο και τον χρόνο ως μια ενιαία οντότητα, τον λεγόμενο «χωροχρόνο», στον οποίο η χρονική συντεταγμένη παίζει τον ίδιο σημαντικό ρόλο με τις χωρικές. Επομένως, στη γενικότερη περίπτωση, από τη σκοπιά της θεωρίας της σχετικότητας, μπορούμε μόνο να μιλήσουμε για το πεπερασμένο ή το άπειρο αυτού του συγκεκριμένου ενιαίου «χώρου-χρόνου». Στη συνέχεια όμως μπαίνουμε στον λεγόμενο τετραδιάστατο κόσμο, ο οποίος έχει εντελώς ειδικές γεωμετρικές ιδιότητες που διαφέρουν πιο σημαντικά από τις γεωμετρικές ιδιότητες του τρισδιάστατου κόσμου στον οποίο ζούμε.

Και το άπειρο ή το πεπερασμένο του τετραδιάστατου «χωροχρόνου» εξακολουθεί να μην λέει τίποτα ή σχεδόν τίποτα για το χωρικό άπειρο του Σύμπαντος που μας ενδιαφέρει.

Από την άλλη πλευρά, η τετραδιάστατη θεωρία της σχετικότητας του «χωροχρόνου» δεν είναι απλώς μια βολική μαθηματική συσκευή. Αντανακλά πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες, εξαρτήσεις και μοτίβα του πραγματικού Σύμπαντος. Και επομένως, όταν λύνουμε το πρόβλημα του απείρου του χώρου από την άποψη της θεωρίας της σχετικότητας, αναγκαζόμαστε να λάβουμε υπόψη τις ιδιότητες του «χωροχρόνου». Πίσω στη δεκαετία του 20 του τρέχοντος αιώνα, ο A. Friedman έδειξε ότι στο πλαίσιο της θεωρίας της σχετικότητας, μια ξεχωριστή διατύπωση του ζητήματος του χωρικού και χρονικού απείρου του Σύμπαντος δεν είναι πάντα δυνατή, αλλά μόνο υπό ορισμένες προϋποθέσεις. Οι συνθήκες αυτές είναι: η ομοιογένεια, δηλαδή η ομοιόμορφη κατανομή της ύλης στο Σύμπαν και η ισοτροπία, δηλαδή οι ίδιες ιδιότητες προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Μόνο στην περίπτωση της ομοιογένειας και της ισοτροπίας, ένας ενιαίος «χωροχρόνος» χωρίζεται σε «ομογενή χώρο» και σε παγκόσμιο «παγκόσμιο χρόνο».

Αλλά, όπως έχουμε ήδη σημειώσει, το πραγματικό Σύμπαν είναι πολύ πιο περίπλοκο από τα ομοιογενή και ισότροπα μοντέλα. Αυτό σημαίνει ότι η τετραδιάστατη σφαίρα της θεωρίας της σχετικότητας, που αντιστοιχεί στον πραγματικό κόσμο στον οποίο ζούμε, στη γενική περίπτωση δεν χωρίζεται σε «χώρο» και «χρόνο». Επομένως, ακόμα κι αν με αύξηση της ακρίβειας των παρατηρήσεων μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση πυκνότητα (και επομένως την τοπική καμπυλότητα) για τον Γαλαξία μας, για ένα σμήνος γαλαξιών, για την παρατηρήσιμη περιοχή του Σύμπαντος, αυτό δεν θα είναι ακόμη λύση στο ζήτημα της χωρικής έκτασης του Σύμπαντος συνολικά.

Είναι ενδιαφέρον, παρεμπιπτόντως, να σημειωθεί ότι ορισμένες περιοχές του χώρου μπορεί πράγματι να αποδειχθούν πεπερασμένες με την έννοια του κλεισίματος. Και όχι μόνο ο χώρος του Μεταγαλαξία, αλλά και οποιαδήποτε περιοχή στην οποία υπάρχουν αρκετά ισχυρές μάζες που προκαλούν ισχυρή καμπυλότητα, για παράδειγμα, ο χώρος των κβάζαρ. Αλλά, επαναλαμβάνουμε, αυτό ακόμα δεν λέει τίποτα για το πεπερασμένο ή το άπειρο του Σύμπαντος στο σύνολό του. Επιπλέον, το πεπερασμένο ή άπειρο του χώρου εξαρτάται όχι μόνο από την καμπυλότητά του, αλλά και από κάποιες άλλες ιδιότητες.

Έτσι, με την τρέχουσα κατάσταση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας και των αστρονομικών παρατηρήσεων, δεν μπορούμε να λάβουμε μια αρκετά πλήρη απάντηση στο ερώτημα του χωρικού απείρου του Σύμπαντος.

Λένε ότι ο διάσημος συνθέτης και πιανίστας F. Liszt έδωσε ένα από τα έργα του για πιάνο με τις ακόλουθες οδηγίες στον ερμηνευτή: «γρήγορα», «ακόμα πιο γρήγορα», «γρήγορα όσο γίνεται», «ακόμα πιο γρήγορα»...

Αυτή η ιστορία έρχεται ακούσια στο μυαλό σε σχέση με τη μελέτη του ζητήματος του απείρου του Σύμπαντος. Ήδη από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, είναι προφανές ότι αυτό το πρόβλημα είναι εξαιρετικά περίπλοκο.

Κι όμως είναι ακόμα αμέτρητα πιο περίπλοκο...

Το να εξηγείς σημαίνει να ανάγεις σε αυτό που είναι γνωστό. Μια παρόμοια τεχνική χρησιμοποιείται σχεδόν σε κάθε επιστημονική μελέτη. Και όταν προσπαθούμε να λύσουμε το ζήτημα των γεωμετρικών ιδιοτήτων του Σύμπαντος, προσπαθούμε επίσης να αναγάγουμε αυτές τις ιδιότητες σε γνώριμες έννοιες.

Οι ιδιότητες του Σύμπαντος είναι, όπως ήταν, «ταιριάζουν» στις υπάρχουσες αφηρημένες μαθηματικές έννοιες του άπειρου. Είναι όμως αυτές οι ιδέες επαρκείς για να περιγράψουν το Σύμπαν στο σύνολό του; Το πρόβλημα είναι ότι αναπτύχθηκαν σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα, και μερικές φορές εντελώς ανεξάρτητα από τα προβλήματα της μελέτης του Σύμπαντος, και σε κάθε περίπτωση με βάση τη μελέτη μιας περιορισμένης περιοχής του χώρου.

Έτσι, η λύση στο ζήτημα του πραγματικού απείρου του Σύμπαντος μετατρέπεται σε ένα είδος λαχειοφόρου αγοράς, στο οποίο η πιθανότητα να κερδίσει κανείς, δηλαδή, μια τυχαία σύμπτωση τουλάχιστον ενός αρκετά μεγάλου αριθμού ιδιοτήτων του πραγματικού Σύμπαντος με ένα από τα Επίσημα προερχόμενα πρότυπα του άπειρου, είναι πολύ ασήμαντο.

Η βάση των σύγχρονων φυσικών ιδεών για το Σύμπαν είναι η λεγόμενη ειδική θεωρία της σχετικότητας. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία, οι χωρικές και χρονικές σχέσεις μεταξύ των διαφόρων πραγματικών αντικειμένων γύρω μας δεν είναι απόλυτες. Ο χαρακτήρας τους εξαρτάται εξ ολοκλήρου από την κατάσταση κίνησης ενός δεδομένου συστήματος. Έτσι, σε ένα κινούμενο σύστημα, ο ρυθμός του χρόνου επιβραδύνεται, και όλες οι κλίμακες μήκους, δηλ. τα μεγέθη των εκτεταμένων αντικειμένων μειώνονται. Και αυτή η μείωση είναι ισχυρότερη, όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα κίνησης. Καθώς πλησιάζουμε την ταχύτητα του φωτός, που είναι η μέγιστη δυνατή ταχύτητα στη φύση, όλες οι γραμμικές κλίμακες μειώνονται χωρίς όριο.

Αλλά αν τουλάχιστον ορισμένες γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου εξαρτώνται από τη φύση της κίνησης του συστήματος αναφοράς, δηλαδή είναι σχετικές, έχουμε το δικαίωμα να θέσουμε το ερώτημα: δεν είναι και οι έννοιες του πεπερασμένου και του άπειρου σχετικές; Άλλωστε, συνδέονται στενότερα με τη γεωμετρία.

Τα τελευταία χρόνια, ο διάσημος Σοβιετικός κοσμολόγος A.L. Zelmapov μελετά αυτό το περίεργο πρόβλημα. Κατάφερε να ανακαλύψει ένα γεγονός που, με την πρώτη ματιά, ήταν απολύτως εκπληκτικό. Αποδείχθηκε ότι ο χώρος, ο οποίος είναι πεπερασμένος σε ένα σταθερό πλαίσιο αναφοράς, μπορεί ταυτόχρονα να είναι άπειρος σε σχέση με ένα κινούμενο σύστημα συντεταγμένων.

Ίσως αυτό το συμπέρασμα να μην φαίνεται τόσο περίεργο αν θυμηθούμε τη μείωση της κλίμακας στα κινούμενα συστήματα.

Η δημοφιλής παρουσίαση πολύπλοκων θεμάτων της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής περιπλέκεται πολύ από το γεγονός ότι στις περισσότερες περιπτώσεις δεν επιτρέπουν οπτικές εξηγήσεις και αναλογίες. Ωστόσο, τώρα θα προσπαθήσουμε να δώσουμε μια αναλογία, αλλά όταν τη χρησιμοποιούμε, θα προσπαθήσουμε να μην ξεχνάμε ότι είναι πολύ προσεγγιστική.

Φανταστείτε ότι ένα διαστημόπλοιο περνά ορμητικά από τη Γη με ταχύτητα ίση, ας πούμε, με τα δύο τρίτα της ταχύτητας του φωτός - 200.000 km/sec. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τους τύπους της θεωρίας της σχετικότητας, θα πρέπει να παρατηρηθεί μείωση σε όλες τις κλίμακες κατά το ήμισυ. Αυτό σημαίνει ότι από τη σκοπιά των αστροναυτών στο πλοίο, όλα τα τμήματα στη Γη θα γίνουν το μισό μήκος.

Τώρα φανταστείτε ότι έχουμε, αν και μια πολύ μεγάλη, αλλά ακόμα πεπερασμένη ευθεία, και τη μετράμε χρησιμοποιώντας κάποια κλίμακα μήκους, για παράδειγμα, ένα μέτρο. Για έναν παρατηρητή σε ένα διαστημόπλοιο που ταξιδεύει με ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα του φωτός, ο μετρητής μας θα συρρικνωθεί σε ένα σημείο. Και αφού υπάρχουν αμέτρητα σημεία ακόμη και σε μια πεπερασμένη ευθεία, τότε για έναν παρατηρητή σε ένα πλοίο η ευθεία μας θα γίνει απείρως μεγάλη. Περίπου το ίδιο θα συμβεί ως προς την κλίμακα των επιφανειών και των όγκων. Κατά συνέπεια, οι πεπερασμένες περιοχές του χώρου μπορούν να γίνουν άπειρες σε ένα κινούμενο πλαίσιο αναφοράς.

Επαναλαμβάνουμε για άλλη μια φορά - αυτό δεν είναι σε καμία περίπτωση μια απόδειξη, αλλά μόνο μια μάλλον πρόχειρη και μακριά από την πλήρη αναλογία. Αλλά δίνει κάποια ιδέα για τη φυσική ουσία του φαινομένου που μας ενδιαφέρει.

Ας θυμηθούμε τώρα ότι στα κινούμενα συστήματα όχι μόνο μειώνονται οι κλίμακες, αλλά επιβραδύνεται και η ροή του χρόνου. Από αυτό προκύπτει ότι η διάρκεια ύπαρξης κάποιου αντικειμένου, πεπερασμένου σε σχέση με ένα σταθερό (στατικό) σύστημα συντεταγμένων, μπορεί να αποδειχθεί απείρως μεγάλη σε ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς.

Έτσι, από τα έργα του Ζελμάνοφ προκύπτει ότι οι ιδιότητες του «πεπερασμένου» και του «άπειρου» του χώρου και του χρόνου είναι σχετικές.

Φυσικά, όλα αυτά με την πρώτη ματιά μάλλον «εξωφρενικά» αποτελέσματα δεν μπορούν να θεωρηθούν ως καθιέρωση κάποιων καθολικών γεωμετρικών ιδιοτήτων του πραγματικού Σύμπαντος.

Αλλά χάρη σε αυτούς, μπορεί να εξαχθεί ένα εξαιρετικά σημαντικό συμπέρασμα. Ακόμη και από τη σκοπιά της θεωρίας της σχετικότητας, η έννοια του απείρου του Σύμπαντος είναι πολύ πιο περίπλοκη από ό,τι φανταζόταν προηγουμένως.

Τώρα υπάρχει κάθε λόγος να περιμένουμε ότι αν ποτέ δημιουργηθεί μια θεωρία γενικότερη από τη θεωρία της σχετικότητας, τότε στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας το ζήτημα του απείρου του Σύμπαντος θα αποδειχθεί ακόμη πιο περίπλοκο.

Μία από τις κύριες διατάξεις της σύγχρονης φυσικής, ο ακρογωνιαίος λίθος της είναι η απαίτηση της λεγόμενης αναλλοίωσης των φυσικών δηλώσεων σχετικά με τους μετασχηματισμούς του συστήματος αναφοράς.

Αμετάβλητο—σημαίνει «δεν αλλάζει». Για να φανταστούμε καλύτερα τι σημαίνει αυτό, ας δώσουμε μερικές γεωμετρικές αναλλοίωτες ως παράδειγμα. Έτσι, οι κύκλοι με κέντρα στην αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων είναι αμετάβλητοι περιστροφής. Για οποιαδήποτε περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων σε σχέση με την αρχή, τέτοιοι κύκλοι μετατρέπονται στον εαυτό τους. Οι ευθείες γραμμές που είναι κάθετες στον άξονα «OY» είναι αμετάβλητες μετατροπές της μεταφοράς του συστήματος συντεταγμένων κατά μήκος του άξονα «OX».

Αλλά στην περίπτωσή μας μιλάμε για αμετάβλητο με την ευρύτερη έννοια της λέξης: οποιαδήποτε δήλωση έχει φυσική σημασία μόνο όταν δεν εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος αναφοράς. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα αναφοράς θα πρέπει να γίνει κατανοητό όχι μόνο ως σύστημα συντεταγμένων, αλλά και ως μέθοδος περιγραφής. Ανεξάρτητα από το πώς αλλάζει η μέθοδος περιγραφής, το φυσικό περιεχόμενο των φαινομένων που μελετώνται πρέπει να παραμένει αμετάβλητο και αμετάβλητο.

Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η κατάσταση δεν έχει μόνο μια καθαρά φυσική, αλλά και μια θεμελιώδη, φιλοσοφική σημασία. Αντανακλά την επιθυμία της επιστήμης να αποσαφηνίσει την πραγματική, αληθινή πορεία των φαινομένων και να αποκλείσει όλες τις στρεβλώσεις που μπορούν να εισαχθούν σε αυτό το μάθημα από την ίδια τη διαδικασία της επιστημονικής έρευνας.

Όπως είδαμε, από τα έργα του A.L. Zelmanov προκύπτει ότι ούτε το άπειρο στον χώρο ούτε το άπειρο στο χρόνο ικανοποιούν την απαίτηση της αναλλοίωτης. Αυτό σημαίνει ότι οι έννοιες του χρονικού και χωρικού απείρου που χρησιμοποιούμε επί του παρόντος δεν αντικατοπτρίζουν πλήρως τις πραγματικές ιδιότητες του κόσμου γύρω μας. Επομένως, προφανώς, η ίδια η διατύπωση του ζητήματος του απείρου του Σύμπαντος στο σύνολό του (στο χώρο και στο χρόνο) με τη σύγχρονη κατανόηση του απείρου στερείται φυσικού νοήματος.

Λάβαμε ακόμη μια πειστική απόδειξη ότι οι «θεωρητικές» έννοιες του άπειρου, τις οποίες έχει χρησιμοποιήσει μέχρι τώρα η επιστήμη του Σύμπαντος, είναι πολύ, πολύ περιορισμένης φύσης. Σε γενικές γραμμές, αυτό θα μπορούσε να είχε μαντέψει πριν, αφού ο πραγματικός κόσμος είναι πάντα πολύ πιο περίπλοκος από οποιοδήποτε «μοντέλο» και μπορούμε να μιλήσουμε μόνο για μια λίγο πολύ ακριβή προσέγγιση στην πραγματικότητα. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, ήταν ιδιαίτερα δύσκολο να μετρηθεί, θα λέγαμε, με το μάτι, πόσο σημαντική ήταν η προσέγγιση που επιτεύχθηκε.

Τώρα τουλάχιστον αναδεικνύεται ο δρόμος που πρέπει να ακολουθήσουμε. Προφανώς, το καθήκον είναι, πρώτα απ 'όλα, να αναπτυχθεί η ίδια η έννοια του άπειρου (μαθηματική και φυσική) με βάση τη μελέτη των πραγματικών ιδιοτήτων του Σύμπαντος. Με άλλα λόγια: «να δοκιμάσουμε» όχι το Σύμπαν σε θεωρητικές ιδέες για το άπειρο, αλλά, αντίθετα, αυτές τις θεωρητικές ιδέες στον πραγματικό κόσμο. Μόνο αυτή η ερευνητική μέθοδος μπορεί να οδηγήσει την επιστήμη σε σημαντικές προόδους στον τομέα αυτό. Κανένας αφηρημένος λογικός συλλογισμός ή θεωρητικά συμπεράσματα δεν μπορεί να αντικαταστήσει τα γεγονότα που προέρχονται από παρατηρήσεις.

Είναι πιθανώς απαραίτητο, πρώτα απ' όλα, να αναπτυχθεί μια αμετάβλητη έννοια του άπειρου βασισμένη στη μελέτη των πραγματικών ιδιοτήτων του Σύμπαντος.

Και, γενικά, προφανώς, δεν υπάρχει τέτοιο καθολικό μαθηματικό ή φυσικό πρότυπο του άπειρου που θα μπορούσε να αντανακλά όλες τις ιδιότητες του πραγματικού Σύμπαντος. Καθώς η γνώση αναπτύσσεται, ο αριθμός των τύπων του άπειρου που είναι γνωστοί σε εμάς θα αυξάνεται απεριόριστα. Επομένως, πιθανότατα, στο ερώτημα εάν το Σύμπαν είναι άπειρο δεν θα δοθεί ποτέ μια απλή απάντηση «ναι» ή «όχι».

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι σε σχέση με αυτό, η μελέτη του προβλήματος του άπειρου του Σύμπαντος γενικά χάνει κάθε νόημα. Ωστόσο, πρώτον, αυτό το πρόβλημα με τη μία ή την άλλη μορφή αντιμετωπίζει την επιστήμη σε ορισμένα στάδια και πρέπει να λυθεί, και δεύτερον, οι προσπάθειες επίλυσής του οδηγούν σε μια σειρά από γόνιμες ανακαλύψεις στην πορεία.

Τέλος, πρέπει να τονιστεί ότι το πρόβλημα του απείρου του Σύμπαντος είναι πολύ ευρύτερο από απλώς το ζήτημα της χωρικής του έκτασης. Πρώτα απ 'όλα, μπορούμε να μιλήσουμε όχι μόνο για το άπειρο "σε πλάτος", αλλά, ας πούμε, και "σε βάθος". Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να λάβουμε μια απάντηση στο ερώτημα εάν ο χώρος είναι απείρως διαιρετός, συνεχής ή εάν υπάρχουν μερικά ελάχιστα στοιχεία σε αυτόν.

Επί του παρόντος, αυτό το πρόβλημα έχει ήδη αντιμετωπίσει οι φυσικοί. Το ζήτημα της δυνατότητας της λεγόμενης κβαντοποίησης του χώρου (όπως και του χρόνου), δηλαδή της επιλογής ορισμένων «στοιχειωδών» κυττάρων σε αυτόν που είναι εξαιρετικά μικρά, συζητείται σοβαρά.

Δεν πρέπει επίσης να ξεχνάμε την άπειρη ποικιλία ιδιοτήτων του Σύμπαντος. Άλλωστε, το Σύμπαν είναι πρώτα απ' όλα μια διαδικασία, τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της οποίας είναι η συνεχής κίνηση και οι αδιάκοπες μεταβάσεις της ύλης από τη μια κατάσταση στην άλλη. Επομένως, το άπειρο του Σύμπαντος σημαίνει επίσης μια άπειρη ποικιλία μορφών κίνησης, τύπων ύλης, φυσικές διεργασίες, σχέσεις και αλληλεπιδράσεις, ακόμη και ιδιότητες συγκεκριμένων αντικειμένων.

Υπάρχει το άπειρο;

Σε σχέση με το πρόβλημα του άπειρου του Σύμπαντος, τίθεται με την πρώτη ματιά ένα απροσδόκητο ερώτημα. Η ίδια η έννοια του άπειρου έχει κάποιο πραγματικό νόημα; Δεν είναι απλώς μια συμβατική μαθηματική κατασκευή, στην οποία τίποτα δεν αντιστοιχεί καθόλου στον πραγματικό κόσμο; Αυτή η άποψη είχαν ορισμένοι ερευνητές στο παρελθόν και έχει υποστηρικτές μέχρι σήμερα.

Αλλά τα επιστημονικά δεδομένα δείχνουν ότι όταν μελετάμε τις ιδιότητες του πραγματικού κόσμου, βρισκόμαστε σε κάθε περίπτωση αντιμέτωποι με αυτό που μπορεί να ονομαστεί φυσικό ή πρακτικό άπειρο. Για παράδειγμα, συναντάμε ποσότητες τόσο μεγάλες (ή τόσο μικρές) που, από μια συγκεκριμένη άποψη, δεν διαφέρουν από το άπειρο. Αυτές οι ποσότητες βρίσκονται πέρα ​​από το ποσοτικό όριο πέρα ​​από το οποίο τυχόν περαιτέρω αλλαγές δεν έχουν πλέον αξιοσημείωτη επίδραση στην ουσία της υπό εξέταση διαδικασίας.

Έτσι, το άπειρο υπάρχει αναμφίβολα αντικειμενικά. Επιπλέον, τόσο στη φυσική όσο και στα μαθηματικά βρισκόμαστε αντιμέτωποι με την έννοια του άπειρου σχεδόν σε κάθε βήμα. Αυτό δεν είναι ατύχημα. Και οι δύο αυτές επιστήμες, ειδικά η φυσική, παρά τη φαινομενική αφηρημένη φύση πολλών διατάξεων, τελικά πάντα ξεκινούν από την πραγματικότητα. Αυτό σημαίνει ότι η φύση, το Σύμπαν, έχει στην πραγματικότητα κάποιες ιδιότητες που αντανακλώνται στην έννοια του άπειρου.

Το σύνολο αυτών των ιδιοτήτων μπορεί να ονομαστεί το πραγματικό άπειρο του Σύμπαντος.

Στην καθημερινή ζωή, ένα άτομο τις περισσότερες φορές έχει να αντιμετωπίσει πεπερασμένα μεγέθη. Ως εκ τούτου, μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να φανταστεί κανείς ένα απεριόριστο άπειρο. Αυτή η ιδέα καλύπτεται από μια αύρα μυστηρίου και ασυνήθιστου χαρακτήρα, που αναμειγνύεται με σεβασμό για το Σύμπαν, τα όρια του οποίου είναι σχεδόν αδύνατο να προσδιοριστούν.

Το χωρικό άπειρο του κόσμου ανήκει στα πιο σύνθετα και αμφιλεγόμενα επιστημονικά προβλήματα. Οι αρχαίοι φιλόσοφοι και αστρονόμοι προσπάθησαν να επιλύσουν αυτό το ζήτημα μέσω των απλούστερων λογικών κατασκευών. Για να γίνει αυτό, αρκούσε να υποθέσουμε ότι ήταν δυνατό να φτάσουμε στην υποτιθέμενη άκρη του Σύμπαντος. Αλλά αν απλώσετε το χέρι σας αυτή τη στιγμή, τα σύνορα απομακρύνονται σε κάποια απόσταση. Αυτή η λειτουργία μπορεί να επαναληφθεί αμέτρητες φορές, γεγονός που αποδεικνύει το άπειρο του Σύμπαντος.

Το άπειρο του Σύμπαντος είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς, αλλά δεν είναι λιγότερο δύσκολο να φανταστεί πώς μπορεί να μοιάζει ένας περιορισμένος κόσμος. Ακόμη και για όσους δεν είναι πολύ προχωρημένοι στη μελέτη της κοσμολογίας, σε αυτή την περίπτωση τίθεται ένα φυσικό ερώτημα: τι είναι πέρα ​​από τα όρια του Σύμπαντος; Ωστόσο, ένας τέτοιος συλλογισμός, βασισμένος στην κοινή λογική και την καθημερινή εμπειρία, δεν μπορεί να χρησιμεύσει ως στέρεη βάση για αυστηρά επιστημονικά συμπεράσματα.

Σύγχρονες ιδέες για το άπειρο του Σύμπαντος

Οι σύγχρονοι επιστήμονες, εξερευνώντας πολλαπλά κοσμολογικά παράδοξα, έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η ύπαρξη ενός πεπερασμένου Σύμπαντος, κατ' αρχήν, έρχεται σε αντίθεση με τους νόμους της φυσικής. Ο κόσμος πέρα ​​από τον πλανήτη Γη προφανώς δεν έχει όρια ούτε στον χώρο ούτε στο χρόνο. Με αυτή την έννοια, το άπειρο υποδηλώνει ότι ούτε η ποσότητα της ύλης που περιέχεται στο Σύμπαν ούτε οι γεωμετρικές του διαστάσεις μπορούν να εκφραστούν ακόμη και με τον μεγαλύτερο αριθμό (“Evolution of the Universe”, I.D. Novikov, 1983).

Ακόμα κι αν λάβουμε υπόψη την υπόθεση ότι το Σύμπαν σχηματίστηκε πριν από περίπου 14 δισεκατομμύρια χρόνια ως αποτέλεσμα της λεγόμενης Μεγάλης Έκρηξης, αυτό μπορεί κάλλιστα να σημαίνει ότι σε αυτούς τους εξαιρετικά μακρινούς χρόνους ο κόσμος πέρασε από ένα άλλο στάδιο φυσικού μετασχηματισμού. Γενικά, το άπειρο Σύμπαν δεν εμφανίστηκε ποτέ ως αποτέλεσμα μιας αρχικής ώθησης ή της ανεξήγητης ανάπτυξης κάποιου άυλου αντικειμένου. Η υπόθεση ενός άπειρου Σύμπαντος βάζει τέλος στην υπόθεση της Θεϊκής δημιουργίας του κόσμου.

Το 2014, Αμερικανοί αστρονόμοι δημοσίευσαν τα αποτελέσματα της τελευταίας έρευνας που επιβεβαιώνει την υπόθεση της ύπαρξης ενός άπειρου και επίπεδου Σύμπαντος. Οι επιστήμονες έχουν μετρήσει με μεγάλη ακρίβεια την απόσταση μεταξύ των γαλαξιών που βρίσκονται σε απόσταση πολλών δισεκατομμυρίων ετών φωτός. Αποδείχθηκε ότι αυτά τα κολοσσιαία αστρικά σμήνη βρίσκονται σε κύκλους με σταθερή ακτίνα. Το κοσμολογικό μοντέλο που κατασκεύασαν οι ερευνητές αποδεικνύει έμμεσα ότι το Σύμπαν είναι άπειρο τόσο στον χώρο όσο και στον χρόνο.

Το άπειρο είναι μια αφηρημένη έννοια που χρησιμοποιείται για να περιγράψει ή να δηλώσει κάτι που είναι άπειρο ή απεριόριστο. Αυτή η έννοια είναι σημαντική για τα μαθηματικά, την αστροφυσική, τη φυσική, τη φιλοσοφία, τη λογική και την τέχνη.

Εδώ είναι μερικά εκπληκτικά γεγονότα σχετικά με αυτήν την περίπλοκη έννοια που μπορεί να συναρπάσει όποιον δεν είναι πολύ εξοικειωμένος με τα μαθηματικά.

Σύμβολο απείρου

Το άπειρο έχει το δικό του ειδικό σύμβολο: ∞. Το σύμβολο, ή lemniscate, εισήχθη από τον κληρικό και μαθηματικό John Wallis το 1655. Η λέξη "lemniscate" προέρχεται από τη λατινική λέξη lemniscus, που σημαίνει "κορδέλα".

Ο Wallis μπορεί να βασίζει το σύμβολο του απείρου στον ρωμαϊκό αριθμό 1000, δίπλα στον οποίο οι Ρωμαίοι έγραφαν «αμέτρητα», εκτός από τον αριθμό. Είναι επίσης πιθανό το σύμβολο να βασίζεται στο ωμέγα (Ω ή ω), το τελευταίο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου.

Ένα ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι η έννοια του άπειρου ήταν γύρω και σε χρήση πολύ πριν ο Wallis της δώσει το σύμβολο που χρησιμοποιούμε ακόμα σήμερα.

Τον τέταρτο αιώνα π.Χ., ένα τζαϊνικό μαθηματικό κείμενο που ονομαζόταν Surya Prajnapti Sutra χώριζε όλους τους αριθμούς σε τρεις κατηγορίες, καθένας από τους οποίους με τη σειρά του χωρίστηκε σε τρεις υποκατηγορίες. Αυτές οι κατηγορίες περιελάμβαναν αριθμητικούς, μη απαριθμήσιμους και άπειρους αριθμούς.

Απορία του Ζήνωνα

Ο Ζήνων ο Ελέας, γεννημένος γύρω στον πέμπτο αιώνα π.Χ. ε., ήταν γνωστός για τα παράδοξα ή απορία, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας του άπειρου.

Από όλα τα παράδοξα του Ζήνωνα, το πιο διάσημο είναι ο Αχιλλέας και η Χελώνα. Στην Απορία, η χελώνα προκαλεί τον Έλληνα ήρωα Αχιλλέα σε έναν αγώνα. Η χελώνα ισχυρίζεται ότι θα κερδίσει τον αγώνα αν ο Αχιλλέας του δώσει ένα προβάδισμα χιλίων βημάτων. Σύμφωνα με το παράδοξο, όσο ο Αχιλλέας θα διανύσει όλη την απόσταση, η χελώνα θα κάνει άλλα εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Ενώ ο Αχιλλέας τρέχει άλλα εκατό βήματα, η χελώνα θα έχει χρόνο να κάνει άλλα δέκα και ούτω καθεξής με φθίνουσα σειρά.

Με απλούστερο τρόπο, το παράδοξο αντιμετωπίζεται ως εξής: προσπαθήστε να διασχίσετε ένα δωμάτιο εάν κάθε επόμενο βήμα είναι το μισό του μεγέθους του προηγούμενου. Αν και κάθε βήμα σας φέρνει πιο κοντά στην άκρη του δωματίου, δεν θα το φτάσετε ποτέ ή θα το φτάσετε, αλλά θα χρειαστεί άπειρα βήματα.

Σύμφωνα με μια από τις σύγχρονες ερμηνείες, αυτό το παράδοξο βασίζεται στην ψευδή ιδέα της άπειρης διαιρετότητας του χρόνου και του χώρου.

Το Pi είναι ένα παράδειγμα του άπειρου

Ένα εξαιρετικό παράδειγμα του άπειρου είναι ο αριθμός pi. Οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν ένα σύμβολο για το pi επειδή είναι αδύνατο να γράψουν ολόκληρο τον αριθμό. Το Pi αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό αριθμών. Συχνά στρογγυλοποιείται στο 3,14 ή ακόμα και στο 3,14159, αλλά δεν έχει σημασία πόσα ψηφία γράφονται μετά την υποδιαστολή, γιατί είναι αδύνατο να φτάσουμε στο τέλος του αριθμού.

Θεώρημα άπειρου πιθήκου

Ένας άλλος τρόπος να σκεφτούμε το άπειρο είναι να εξετάσουμε το θεώρημα του άπειρου πιθήκου. Σύμφωνα με το θεώρημα, αν δώσετε σε έναν πίθηκο μια γραφομηχανή και άπειρο χρόνο, ο πίθηκος θα μπορέσει τελικά να πληκτρολογήσει Άμλετ ή οποιοδήποτε άλλο έργο.

Ενώ πολλοί άνθρωποι λαμβάνουν ένα θεώρημα ως απόδειξη της πεποίθησης ότι τίποτα δεν είναι αδύνατο, οι μαθηματικοί το θεωρούν ως απόδειξη ότι ένα συγκεκριμένο γεγονός είναι αδύνατο.

Φράκταλ και άπειρο

Το φράκταλ είναι ένα αφηρημένο μαθηματικό αντικείμενο που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και την τέχνη, τις περισσότερες φορές μοντελοποιεί φυσικά φαινόμενα. Ένα φράκταλ γράφεται ως μαθηματική εξίσωση. Κοιτάζοντας ένα φράκταλ, μπορείτε να παρατηρήσετε τη σύνθετη δομή του σε οποιαδήποτε κλίμακα. Με άλλα λόγια, το φράκταλ είναι απείρως επεκτάσιμο.

Η νιφάδα χιονιού Koch είναι ένα ενδιαφέρον παράδειγμα φράκταλ. Μια νιφάδα χιονιού μοιάζει με ισόπλευρο τρίγωνο, σχηματίζοντας μια κλειστή καμπύλη άπειρου μήκους. Αυξάνοντας την καμπύλη, μπορείτε να δείτε όλο και περισσότερες λεπτομέρειες σε αυτήν. Η διαδικασία αύξησης της καμπύλης μπορεί να συνεχιστεί άπειρες φορές. Αν και η νιφάδα χιονιού Koch έχει περιορισμένη έκταση, περιορίζεται από μια απείρως μεγάλη ουρά.

Άπειρα διαφορετικών μεγεθών

Το άπειρο είναι απεριόριστο, αλλά μπορεί να μετρηθεί, αν και συγκριτικά. Οι θετικοί αριθμοί (μεγαλύτεροι από 0) και οι αρνητικοί αριθμοί (λιγότερο από 0) διαθέτουν άπειρα σύνολα αριθμών ίσων μεγεθών. Τι θα συμβεί αν συνδυάσετε και τα δύο σετ; Κάνει ένα σετ διπλάσιο. Ή ένα άλλο παράδειγμα - όλοι οι ζυγοί αριθμοί (υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από αυτούς). Και όμως είναι μόνο το ήμισυ ενός άπειρου αριθμού όλων των ακεραίων. Ένα άλλο παράδειγμα, απλώς προσθέστε ένα στο άπειρο. Μάθετε τον αριθμό 1 μεγαλύτερο από το άπειρο.

Κοσμολογία και άπειρο

Οι κοσμολόγοι μελετούν το Σύμπαν και δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η έννοια του άπειρου παίζει σημαντικό ρόλο για αυτούς. Το Σύμπαν έχει όρια ή είναι άπειρο;

Αυτό το ερώτημα παραμένει ακόμα αναπάντητο. Το Σύμπαν μας διαστέλλεται, αλλά πού; Και πού είναι το όριο αυτής της επέκτασης; Ακόμα κι αν υπάρχουν όρια στο φυσικό σύμπαν, εξακολουθούμε να έχουμε τη θεωρία του πολυσύμπαντος, η οποία θεωρεί την ύπαρξη ενός άπειρου αριθμού συμπάντων, τα οποία μπορεί να έχουν διαφορετικούς νόμους της φυσικής από τους δικούς μας.

Διαίρεση με το μηδέν

Δεν υπάρχει διαίρεση με το μηδέν. Είναι αδύνατο, τουλάχιστον στα συνηθισμένα μαθηματικά. Στα μαθηματικά που έχουμε συνηθίσει, δεν μπορεί να οριστεί ένα διαιρούμενο με το μηδέν. Αυτό είναι λάθος. Ωστόσο, αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Στην εκτεταμένη θεωρία μιγαδικών αριθμών, η διαίρεση ενός με το μηδέν δεν προκαλεί επικείμενη κατάρρευση και καθορίζεται από κάποια μορφή απείρου. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά είναι διαφορετικά, και δεν περιορίζονται όλα από κανόνες από τα σχολικά βιβλία.

Σε επαφή με

Υπάρχει το άπειρο;

Είναι το Σύμπαν άπειρο, και αν ναι, τότε «αυτό δεν μπορεί να είναι». Κι αν όχι, τι είναι από την άλλη πλευρά; Και ποιος λατρεύει τα παραμύθια για περιορισμέναπολλαπλές χωρίς ακμή, όπως μια σφαίρα, αφήστε τη σκέψη να σταλεί κάθετα στην άκρη.Τι είναι εκεί? Ή ποιος. Το φανταστικό άπειρο δεν είναι τόσο διαπεραστικό, αλλά επίσηςακατανόητο, κατά τόπους. Γκέοργκ Κάντορ. Σύγκριση απείρων. Συνέχεια. ΕπίΥπάρχουν τόσα σημεία σε ένα τετράγωνο όσα και σε ένα τμήμα.

Το αίσθημα καύσου του μαρασμού της χωρικής αιωνιότητας είναι συγκλονιστικό όσο τα προβλήματα της Ουράνιας Αυτοκρατορίας γίνονται αντιληπτά από το έντερο και όχι από το μυαλό. Τότε ένα διαπεραστικό κάλεσμα " ανεξάντλητο«Σιγά σιγά σταματάει και, αφού καίγεται από την πραγματικότητα, το άτομο κρύβεται σε έναν φανταστικό κόσμο. Δεν είναι ακόμα δυνατό να κρυφτείς καλά.

Στον κόσμο των ιδεών, το άπειρο εμφανίζεται με διαφορετική μορφή. Με ποια έννοια υπάρχει η φυσική σειρά; Ως εκτυλισσόμενη διαδικασία ή ως ολοκληρωμένη; Είναι οι φυσικοί αριθμοί δυνητικά κατασκευάσιμοι ή είναι ήδη διαθέσιμοι; Πρόβλημα στην αρχή

μυρωδιές σχολαστικισμού. Έχει πραγματικά σημασία, φαίνεται. Δεν υπάρχουν συνέπειες.

Οι συνέπειες είναι ωστόσο τεράστιες. Η εναλλακτική είναι δύο διαφορετικά μαθηματικά. Ο ένας είναι εποικοδομητικός, δεν επιτρέπει τη συνειδητοποίηση του απείρου σε όλη του την απεραντοσύνη. Το άλλο είναι ένα συνηθισμένο, παμφάγο.

Μικρά προβλήματα από την παρουσία του άπειρου προκύπτουν ήδη στο δημοτικό

καταστάσεις όπως όταν η παρουσία μιας αντιστοιχίας ένα προς ένα n ↔ n^2 ενθαρρύνει την ιδέα ότι υπάρχουν τόσοι ακέραιοι όσοι και τα τετράγωνά τους. Το παράδειγμα έχει θέσει τα δόντια στα άκρα, αλλά αντικατοπτρίζει το πρόβλημα στην απλούστερη μορφή του. Αποδεικνύεται ότι αν κάποιος παίρνει 10 ρούβλια από μένα κάθε μέρα και μου δίνει ένα, τότε όταν τελειώσει η διαδικασία, θα είμαστε ίσοι. Διότι, αν η σειρά είχε ήδη πραγματοποιηθεί, το nο ρούβλι μου δόθηκε την nη μέρα. Το παράδοξο, βέβαια, δεν αξίζει καθόλου, γιατί η διαδικασία δεν θα τελειώσει ποτέ, σκέφτεται η πέμπτη δημοτικού.

Τι γίνεται με τα κλάσματα p/q; Είναι όλοι "ήδη εκεί" στο τμήμα. Είναι εδώ, δεν χρειάζεται να τα προσθέτετε ένα προς ένα. Ετσι - " παγίδα πεπερασμένου μεγέθους για το άπειρο" Μικρό

ένα πορτοφόλι όπου τοποθετούνται όλα τα κλάσματα. Και η ρίζα των δύο είναι σαν ένα ολοκληρωμένο άπειρο, λόγω του άπειρου του δεκαδικού κλάσματος. Επομένως, η θεωρία συνόλων έχει κάθε λόγο να θεωρεί το άπειρο ως " δεδομένος" Ένα άλλο πράγμα είναι ότι επιβάλλονται ορισμένες απαιτήσεις σε αυτό το δεδομένο ώστε να μην προκύψουν αντιφάσεις.

Ωστόσο, μόλις παραδεχτείς κάτι, αρχίζουν τα δεινά. Ένα σμήνος από άπειρα, και με

πρέπει να διαχειρίζονται με κάποιο τρόπο. Το έκανα αυτό Γκέοργκ Κάντορ, που δημιούργησε τη θεωρία συνόλων. Η επανάσταση που έγινε επιβεβαιώνει τη γνωστή θέση « Η αλήθεια γεννιέται ως αίρεση και πεθαίνει ως κοινοτοπία" Οι κύριες ιδέες είναι προσβάσιμες σε όλους σήμερα. ΕΝΑ " Επειτα" αδύνατο

δεν υπήρχε κανείς να εξηγήσει. Η διαίσθηση ήταν αντίθετη. Τώρα η ασθένεια έχει ριζώσει, η σύγχυση έχει υποχωρήσει.

Ο Cantor χρησιμοποίησε το εργαλείο της αλληλογραφίας ένα προς ένα ως βάση για τη μελέτη των συνόλων. Τα σύνολα X, Y είναι ισοδύναμα εάν μπορεί να καθοριστεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων τους.

Σχέση ισοδυναμίας αντανακλαστικάΚαι μεταβατικά, που σου επιτρέπει να σπάσεις τα πάντα

θέτει σε τάξεις ισοδυναμίας. Η κλάση ισοδυναμίας ενός συνόλου X ονομάζεται καρδιαλότητά του και συμβολίζεται ως |X|. Τα σετ ταξινομούνται κατά καρδινάλιο χρησιμοποιώντας ένα φυσικό κόλπο.

Τα σύνολα που ισοδυναμούν με μια φυσική σειρά ονομάζονται μετρήσιμα. Οποιαδήποτε ακολουθία είναι μετρήσιμη. Η θεώρηση των δεκαδικών κλασμάτων συναντά ένα νέο φαινόμενο. Το σύνολο τέτοιων αριθμών (συνέχεια) αποδεικνύεται αμέτρητο.

Η ιστορική προσπάθεια να αποδειχθεί ότι ένα τμήμα και ένα τετράγωνο x έχουν διαφορετικές καρδινάλιες ήταν πολύ οδυνηρή. Αποδείχθηκε ότι ήταν το ίδιο. Ο κόσμος δεν έχει δεχτεί τέτοια αναταραχή από την εποχή του Γαλιλαίου, όταν ανακαλύφθηκε ότι όλα τα σώματα πέφτουν με το ίδιο

επιτάχυνση.

Όπως και να έχει, το άπειρο έχει κερδίσει μια θέση στον ήλιο. Χωρίς αυτό, τα πάντα στα μαθηματικά θα «έμεναν ακίνητα». Ναι, συμβαίνει - στα εποικοδομητικά μαθηματικά, όπου τα συνηθισμένα μαθηματικά δεν ταιριάζουν. Οι ισότητες και οι ανισότητες των κατασκευαστικών αριθμών τις περισσότερες φορές δεν ελέγχονται, οι ακολουθίες δεν έχουν πού να συγκλίνουν, τα όρια δεν υπάρχουν, η συνέχεια είναι μόνο ένα όνειρο και γενικά όλα καταρρέουν. Τρομερή εικόνα. Η έκταση της καταστροφής είναι ακόμη και δύσκολο να εκτιμηθεί. Επομένως, το άπειρο είναι σχεδόν εξίσου χρήσιμο με το «ένα». Η άλλη όψη του νομίσματος, λες. Ένα είδος δοχείου για «ό,τι δεν συμβαίνει».