Μάθημα διαλέξεων τεχνική μηχανική. Μάθημα διαλέξεων για την τεχνική μηχανική Βασικές σημειώσεις για τη θεωρητική μηχανική

1 διαφάνεια

Μάθημα διαλέξεων για τη θεωρητική μηχανική Δυναμική (Ι μέρος) Bondarenko A.N. Μόσχα - 2007 Το ηλεκτρονικό μάθημα κατάρτισης γράφτηκε με βάση διαλέξεις του συγγραφέα για φοιτητές που σπουδάζουν στις ειδικότητες των SZhD, PGS και SDM στο NIIZhT και το MIIT (1974-2006). Το εκπαιδευτικό υλικό αντιστοιχεί στα ημερολογιακά σχέδια σε ποσό τριών εξαμήνων. Για την πλήρη εφαρμογή των εφέ κινούμενων εικόνων κατά τη διάρκεια της παρουσίασης, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα πρόγραμμα προβολής Power Point όχι χαμηλότερο από αυτό που είναι ενσωματωμένο στο Microsoft Office του λειτουργικού συστήματος Windows XP Professional. Σχόλια και προτάσεις μπορούν να σταλούν μέσω e-mail: [email προστατευμένο]. Κρατικό Πανεπιστήμιο Μηχανικής Σιδηροδρόμων της Μόσχας (MIIT) Τμήμα Θεωρητικής Μηχανικής Επιστημονικό και Τεχνικό Κέντρο Τεχνολογιών Μεταφορών

2 διαφάνεια

Περιεχόμενα Διάλεξη 1. Εισαγωγή στη δυναμική. Νόμοι και αξιώματα δυναμικής υλικού σημείου. Βασική εξίσωση δυναμικής. Διαφορικές και φυσικές εξισώσεις κίνησης. Δύο βασικά καθήκοντα της δυναμικής. Παραδείγματα επίλυσης του άμεσου προβλήματος της δυναμικής Διάλεξη 2. Επίλυση του αντίστροφου προβλήματος της δυναμικής. Γενικές οδηγίες για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος της δυναμικής. Παραδείγματα επίλυσης του αντίστροφου προβλήματος της δυναμικής. Η κίνηση ενός σώματος που εκτοξεύεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση του αέρα. Διάλεξη 3. Ευθύγραμμες ταλαντώσεις υλικού σημείου. Η προϋπόθεση για την εμφάνιση ταλαντώσεων. Ταξινόμηση κραδασμών. Ελεύθερες δονήσεις χωρίς να λαμβάνονται υπόψη οι δυνάμεις της αντίστασης. απόσβεση κραδασμών. Μείωση ταλάντωσης. Διάλεξη 4. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις υλικού σημείου. Απήχηση. Επίδραση αντίστασης στην κίνηση κατά τη διάρκεια εξαναγκασμένων κραδασμών. Διάλεξη 5. Σχετική κίνηση υλικού σημείου. Δυνάμεις αδράνειας. Ιδιαίτερες θήκες κίνησης για διάφορα είδη φορητών κινήσεων. Επίδραση της περιστροφής της Γης στην ισορροπία και την κίνηση των σωμάτων. Διάλεξη 6. Δυναμική ενός μηχανικού συστήματος. μηχανικό σύστημα. Εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις. Κέντρο μάζας του συστήματος. Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας. νόμοι διατήρησης. Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της χρήσης του θεωρήματος για την κίνηση του κέντρου μάζας. Διάλεξη 7. Παρόρμηση δύναμης. Το μέγεθος της κίνησης. Θεώρημα για την αλλαγή της ορμής. νόμοι διατήρησης. Θεώρημα Euler. Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος σχετικά με τη χρήση του θεωρήματος για την αλλαγή της ορμής. στιγμή της ορμής. Το θεώρημα για την αλλαγή της γωνιακής ορμής Διάλεξη 8. Νόμοι διατήρησης. Στοιχεία της θεωρίας των ροπών αδράνειας. Κινητική ροπή άκαμπτου σώματος. Διαφορική εξίσωση περιστροφής άκαμπτου σώματος. Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της χρήσης του θεωρήματος για την αλλαγή της γωνιακής ορμής του συστήματος. Στοιχειώδης θεωρία του γυροσκοπίου. Προτεινόμενη βιβλιογραφία 1. Yablonsky A.A. Μάθημα θεωρητικής μηχανικής. Μέρος 2ο. Μ.: Ανώτατο σχολείο. 1977. 368 σελ. 2. Meshchersky I.V. Συλλογή προβλημάτων στη θεωρητική μηχανική. Μ.: Επιστήμη. 1986 416 σελ. 3. Συλλογή εργασιών για εργασίες τριμήνου /Επιμ. Α.Α. Γιαμπλόνσκι. Μ.: Ανώτατο σχολείο. 1985. 366 σελ. 4. Bondarenko A.N. «Θεωρητική μηχανική σε παραδείγματα και εργασίες. Dynamics» (ηλεκτρονικό εγχειρίδιο www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 διαφάνεια

Διάλεξη 1 Η Δυναμική είναι ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής που μελετά τη μηχανική κίνηση από την πιο γενική σκοπιά. Η κίνηση θεωρείται σε σχέση με τις δυνάμεις που δρουν στο αντικείμενο. Η ενότητα αποτελείται από τρεις ενότητες: Δυναμική ενός υλικού σημείου Δυναμική Δυναμική ενός μηχανικού συστήματος Αναλυτική μηχανική ■ Δυναμική ενός σημείου - μελετά την κίνηση ενός υλικού σημείου, λαμβάνοντας υπόψη τις δυνάμεις που προκαλούν αυτή την κίνηση. Το κύριο αντικείμενο είναι ένα υλικό σημείο - ένα υλικό σώμα με μάζα, οι διαστάσεις του οποίου μπορούν να παραμεληθούν. Βασικές παραδοχές: - υπάρχει ένας απόλυτος χώρος (έχει καθαρά γεωμετρικές ιδιότητες που δεν εξαρτώνται από την ύλη και την κίνησή της. - υπάρχει ένας απόλυτος χρόνος (δεν εξαρτάται από την ύλη και την κίνησή της). Από αυτό προκύπτει: - υπάρχει ένα απολύτως ακίνητο πλαίσιο αναφοράς - ο χρόνος δεν εξαρτάται από την κίνηση του πλαισίου αναφοράς - οι μάζες των κινούμενων σημείων δεν εξαρτώνται από την κίνηση του συστήματος αναφοράς Αυτές οι υποθέσεις χρησιμοποιούνται στην κλασική μηχανική που δημιουργήθηκε από τον Γαλιλαίο και τον Νεύτωνα Εξακολουθεί να έχει ένα αρκετά ευρύ πεδίο εφαρμογής, καθώς τα μηχανικά συστήματα που εξετάζονται στις εφαρμοσμένες επιστήμες δεν έχουν τόσο μεγάλες μάζες και ταχύτητες κίνησης, για τις οποίες είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η επιρροή τους στη γεωμετρία του χώρου, του χρόνου, της κίνησης, όπως γίνεται στη σχετικιστική μηχανική (θεωρία της σχετικότητας) ■ Οι βασικοί νόμοι της δυναμικής - που ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά από τον Γαλιλαίο και διατυπώθηκαν από τον Νεύτωνα αποτελούν τη βάση όλων των μεθόδων για την περιγραφή και την ανάλυση της κίνησης των μηχανικών συστημάτων και της δυναμικής τους αλληλεπίδρασης δράση υπό την επίδραση διαφόρων δυνάμεων. ■ Νόμος της αδράνειας (νόμος Γαλιλαίου-Νεύτωνα) - Ένα απομονωμένο υλικό σημείο ενός σώματος διατηρεί την κατάσταση ηρεμίας ή την ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνησή του έως ότου οι ασκούμενες δυνάμεις το αναγκάσουν να αλλάξει αυτή την κατάσταση. Αυτό συνεπάγεται την ισοδυναμία της κατάστασης ηρεμίας και της κίνησης με αδράνεια (ο νόμος της σχετικότητας του Γαλιλαίου). Το πλαίσιο αναφοράς, σε σχέση με το οποίο πληρούται ο νόμος της αδράνειας, ονομάζεται αδρανειακό. Η ιδιότητα ενός υλικού σημείου να προσπαθεί να διατηρήσει την ταχύτητα της κίνησής του (την κινηματική του κατάσταση) αμετάβλητη ονομάζεται αδράνεια. ■ Ο νόμος της αναλογικότητας της δύναμης και της επιτάχυνσης (Βασική εξίσωση της δυναμικής - Νόμος ΙΙ του Νεύτωνα) - Η επιτάχυνση που προσδίδεται σε ένα υλικό σημείο με τη δύναμη είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη και αντιστρόφως ανάλογη με τη μάζα αυτού του σημείου: ή Εδώ m είναι το μάζα του σημείου (μέτρο αδράνειας), μετρημένο σε kg, αριθμητικά ίσο με το βάρος διαιρούμενο με τη βαρυτική επιτάχυνση: F είναι η ενεργούσα δύναμη, μετρημένη σε N (1 N προσδίδει επιτάχυνση 1 m / s2 σε ένα σημείο με μάζα 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Δυναμική ενός μηχανικού συστήματος - μελετά την κίνηση ενός συνόλου υλικών σημείων και στερεών σωμάτων, που ενώνονται με τους γενικούς νόμους της αλληλεπίδρασης, λαμβάνοντας υπόψη τις δυνάμεις που προκαλούν αυτή την κίνηση. ■ Αναλυτική μηχανική - μελετά την κίνηση μη ελεύθερων μηχανικών συστημάτων χρησιμοποιώντας γενικές αναλυτικές μεθόδους. ένας

4 διαφάνεια

Διάλεξη 1 (συνέχεια - 1.2) Διαφορικές εξισώσεις κίνησης υλικού σημείου: - διαφορική εξίσωση κίνησης σημείου σε διανυσματική μορφή. - διαφορικές εξισώσεις σημειακής κίνησης σε μορφή συντεταγμένων. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να ληφθεί με επίσημη προβολή της διανυσματικής διαφορικής εξίσωσης (1). Μετά την ομαδοποίηση, η διανυσματική σχέση αποσυντίθεται σε τρεις βαθμωτές εξισώσεις: Σε μορφή συντεταγμένων: Χρησιμοποιούμε τη σχέση ακτίνας-διανύσματος με συντεταγμένες και του διανύσματος δύναμης με προβολές: διαφορική εξίσωση κίνησης σε φυσικούς (κινούμενους) άξονες συντεταγμένων: ή: - φυσικές εξισώσεις κίνησης ενός σημείου. ■ Βασική εξίσωση δυναμικής: - αντιστοιχεί στον διανυσματικό τρόπο προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου. ■ Ο νόμος της ανεξαρτησίας της δράσης των δυνάμεων - Η επιτάχυνση ενός υλικού σημείου υπό τη δράση πολλών δυνάμεων είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα των επιταχύνσεων ενός σημείου από τη δράση καθεμιάς από τις δυνάμεις χωριστά: ή Ο νόμος ισχύει για οποιαδήποτε κινηματική κατάσταση των σωμάτων. Οι δυνάμεις της αλληλεπίδρασης, που εφαρμόζονται σε διαφορετικά σημεία (σώματα) δεν είναι ισορροπημένες. ■ Ο νόμος της ισότητας δράσης και αντίδρασης (νόμος III του Νεύτωνα) - Κάθε δράση αντιστοιχεί σε μια ίση και αντίθετα κατευθυνόμενη αντίδραση: 2

5 διαφάνεια

Δύο βασικά προβλήματα δυναμικής: 1. Άμεσο πρόβλημα: Δίνεται κίνηση (εξισώσεις κίνησης, τροχιά). Απαιτείται ο προσδιορισμός των δυνάμεων υπό τη δράση των οποίων συμβαίνει μια δεδομένη κίνηση. 2. Αντίστροφο πρόβλημα: Δίνονται οι δυνάμεις υπό τη δράση των οποίων συμβαίνει η κίνηση. Απαιτείται η εύρεση παραμέτρων κίνησης (εξισώσεις κίνησης, τροχιά κίνησης). Και τα δύο προβλήματα επιλύονται χρησιμοποιώντας τη βασική εξίσωση της δυναμικής και την προβολή της στους άξονες συντεταγμένων. Εάν ληφθεί υπόψη η κίνηση ενός μη ελεύθερου σημείου, τότε, όπως και στη στατική, χρησιμοποιείται η αρχή της απελευθέρωσης από τους δεσμούς. Ως αποτέλεσμα της αντίδρασης, οι δεσμοί περιλαμβάνονται στη σύνθεση των δυνάμεων που δρουν στο υλικό σημείο. Η λύση του πρώτου προβλήματος συνδέεται με πράξεις διαφοροποίησης. Η λύση του αντιστρόφου προβλήματος απαιτεί την ολοκλήρωση των αντίστοιχων διαφορικών εξισώσεων, και αυτό είναι πολύ πιο δύσκολο από τη διαφοροποίηση. Το αντίστροφο πρόβλημα είναι πιο δύσκολο από το άμεσο πρόβλημα. Η λύση του άμεσου προβλήματος της δυναμικής - ας δούμε παραδείγματα: Παράδειγμα 1. Μια καμπίνα με βάρος G ενός ανελκυστήρα ανυψώνεται από ένα καλώδιο με επιτάχυνση a . Προσδιορίστε την τάση του καλωδίου. 1. Επιλέξτε ένα αντικείμενο (το θάλαμο του ανελκυστήρα κινείται προς τα εμπρός και μπορεί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο). 2. Απορρίπτουμε τη σύνδεση (καλώδιο) και την αντικαθιστούμε με την αντίδραση R. 3. Συγκεντρώστε τη βασική εξίσωση δυναμικής: Προσδιορίστε την αντίδραση του καλωδίου: Προσδιορίστε την τάση του καλωδίου: Με ομοιόμορφη κίνηση της καμπίνας ay = 0 και το Η τάση του καλωδίου είναι ίση με το βάρος: T = G. Όταν το καλώδιο σπάσει T = 0 και η επιτάχυνση της καμπίνας είναι ίση με την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης: ay = -g. 3 4. Προβάλλουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής στον άξονα y: y Παράδειγμα 2. Ένα σημείο μάζας m κινείται κατά μήκος μιας οριζόντιας επιφάνειας (το επίπεδο Oxy) σύμφωνα με τις εξισώσεις: x = a coskt, y = b coskt. Προσδιορίστε τη δύναμη που ασκείται στο σημείο. 1. Επιλέξτε ένα αντικείμενο (σημείο υλικού). 2. Απορρίπτουμε τη σύνδεση (επίπεδο) και την αντικαθιστούμε με την αντίδραση Ν. 3. Προσθέτουμε άγνωστη δύναμη F στο σύστημα δυνάμεων 4. Συνθέτουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής: 5. Προβάλουμε τη βασική εξίσωση δυναμικής στο x , άξονες y: Προσδιορίστε τις προβολές δύναμης: Συντελεστής δύναμης: Συνημίτονα διεύθυνσης: Έτσι, το μέγεθος της δύναμης είναι ανάλογο με την απόσταση του σημείου από το κέντρο των συντεταγμένων και κατευθύνεται προς το κέντρο κατά μήκος της γραμμής που συνδέει το σημείο με το κέντρο . Η τροχιά της κίνησης του σημείου είναι μια έλλειψη με κέντρο την αρχή: O r Διάλεξη 1 (συνέχεια - 1.3)

6 διαφάνεια

Διάλεξη 1 (συνέχεια 1.4) Παράδειγμα 3: Ένα φορτίο βάρους G αιωρείται σε ένα καλώδιο μήκους l και κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής διαδρομής σε οριζόντιο επίπεδο με μια ορισμένη ταχύτητα. Η γωνία απόκλισης του καλωδίου από την κατακόρυφο είναι ίση με. Προσδιορίστε την τάση του καλωδίου και την ταχύτητα του φορτίου. 1. Επιλέξτε ένα αντικείμενο (φορτίο). 2. Απορρίψτε τη σύνδεση (σχοινί) και αντικαταστήστε την με την αντίδραση R. 3. Συνθέστε την κύρια εξίσωση δυναμικής: Από την τρίτη εξίσωση, προσδιορίστε την αντίδραση του καλωδίου: Προσδιορίστε την τάση του καλωδίου: Αντικαταστήστε την τιμή της αντίδρασης του καλωδίου, κανονική επιτάχυνση στη δεύτερη εξίσωση και προσδιορίστε την ταχύτητα του φορτίου: 4. Προβάλετε την κύρια εξίσωση δυναμική άξονα,n,b: Παράδειγμα 4: Ένα αυτοκίνητο βάρους G κινείται σε μια κυρτή γέφυρα (η ακτίνα καμπυλότητας είναι R ) με ταχύτητα V. Προσδιορίστε την πίεση του αυτοκινήτου στη γέφυρα. 1. Επιλέγουμε ένα αντικείμενο (ένα αυτοκίνητο, παραμελούμε τις διαστάσεις και το θεωρούμε ως σημείο). 2. Απορρίπτουμε τη σύνδεση (τραχιά επιφάνεια) και την αντικαθιστούμε με τις αντιδράσεις Ν και τη δύναμη τριβής Ffr. 3. Συνθέτουμε τη βασική εξίσωση δυναμικής: 4. Προβάλλουμε τη βασική εξίσωση δυναμικής στον άξονα n: Από εδώ προσδιορίζουμε την κανονική αντίδραση: Καθορίζουμε την πίεση του αυτοκινήτου στη γέφυρα: Από εδώ μπορούμε να προσδιορίσουμε την ταχύτητα που αντιστοιχεί σε μηδενική πίεση στη γέφυρα (Q = 0): 4

7 διαφάνεια

Διάλεξη 2 Αφού αντικαταστήσουμε τις ευρεθείσες τιμές των σταθερών, λαμβάνουμε: Έτσι, κάτω από τη δράση του ίδιου συστήματος δυνάμεων, ένα υλικό σημείο μπορεί να εκτελέσει μια ολόκληρη κατηγορία κινήσεων που καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Οι αρχικές συντεταγμένες λαμβάνουν υπόψη την αρχική θέση του σημείου. Η αρχική ταχύτητα, που δίνεται από τις προβολές, λαμβάνει υπόψη την επίδραση στην κίνησή του κατά μήκος του εξεταζόμενου τμήματος της τροχιάς των δυνάμεων που επηρέασαν στο σημείο πριν φτάσουν σε αυτό το τμήμα, δηλ. αρχική κινηματική κατάσταση. Λύση του αντίστροφου προβλήματος της δυναμικής - Στη γενική περίπτωση της κίνησης ενός σημείου, οι δυνάμεις που δρουν στο σημείο είναι μεταβλητές που εξαρτώνται από το χρόνο, τις συντεταγμένες και την ταχύτητα. Η κίνηση ενός σημείου περιγράφεται από ένα σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης: Μετά την ολοκλήρωση καθεμιάς από αυτές, θα υπάρχουν έξι σταθερές C1, C2,…., C6: Οι τιμές των σταθερών C1, C2,… ., C6 βρίσκονται από έξι αρχικές συνθήκες στο t = 0: Παράδειγμα 1 της λύσης αντίστροφου προβλήματος: Ένα ελεύθερο υλικό σημείο μάζας m κινείται υπό την επίδραση μιας δύναμης F, η οποία είναι σταθερή σε μέγεθος και μέγεθος. . Την αρχική στιγμή, η ταχύτητα του σημείου ήταν v0 και συνέπιπτε στην κατεύθυνση με τη δύναμη. Να προσδιορίσετε την εξίσωση κίνησης ενός σημείου. 1. Συνθέτουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής: 3. Χαμηλώνουμε τη σειρά της παραγώγου: 2. Επιλέγουμε το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς, κατευθύνοντας τον άξονα x κατά την κατεύθυνση της δύναμης και προβάλλουμε την κύρια εξίσωση της δυναμικής σε αυτόν τον άξονα: ή xyz 4. Διαχωρίστε τις μεταβλητές: 5. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα και από τα δύο μέρη της εξίσωσης : 6. Ας παραστήσουμε την προβολή της ταχύτητας ως παράγωγο της συντεταγμένης ως προς το χρόνο: 8. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα και των δύο μερών της εξίσωσης: 7. Διαχωρίστε τις μεταβλητές: 9. Για να προσδιορίσουμε τις τιμές των σταθερών C1 και C2, χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες t = 0, vx = v0 , x = x0: Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε την εξίσωση της ομοιόμορφης μεταβλητής κίνησης (κατά μήκος του άξονα x): 5

8 διαφάνεια

Γενικές οδηγίες για την επίλυση άμεσων και αντίστροφων προβλημάτων. Διαδικασία επίλυσης: 1. Σύνταξη της διαφορικής εξίσωσης κίνησης: 1.1. Επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων - ορθογώνιο (σταθερό) με άγνωστη τροχιά κίνησης, φυσικό (κινούμενο) με γνωστή τροχιά, για παράδειγμα, κύκλο ή ευθεία γραμμή. Στην τελευταία περίπτωση, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μία ευθύγραμμη συντεταγμένη. Το σημείο αναφοράς θα πρέπει να συνδυαστεί με την αρχική θέση του σημείου (στο t = 0) ή με τη θέση ισορροπίας του σημείου, εάν υπάρχει, για παράδειγμα, όταν το σημείο παρουσιάζει διακυμάνσεις. 6 1.2. Σχεδιάστε ένα σημείο σε μια θέση που αντιστοιχεί σε μια αυθαίρετη χρονική στιγμή (για t > 0) έτσι ώστε οι συντεταγμένες να είναι θετικές (s > 0, x > 0). Υποθέτουμε επίσης ότι η προβολή της ταχύτητας σε αυτή τη θέση είναι επίσης θετική. Στην περίπτωση των ταλαντώσεων, η προβολή ταχύτητας αλλάζει πρόσημο, για παράδειγμα, όταν επιστρέφει στη θέση ισορροπίας. Εδώ θα πρέπει να υποτεθεί ότι την εξεταζόμενη χρονική στιγμή το σημείο απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας. Η εφαρμογή αυτής της σύστασης είναι σημαντική στο μέλλον όταν εργάζεστε με δυνάμεις αντίστασης που εξαρτώνται από την ταχύτητα. 1.3. Απελευθερώστε το υλικό σημείο από τους δεσμούς, αντικαταστήστε τη δράση τους με αντιδράσεις, προσθέστε ενεργές δυνάμεις. 1.4. Καταγράψτε τον βασικό νόμο της δυναμικής σε διανυσματική μορφή, προβάλλετε σε επιλεγμένους άξονες, εκφράστε τις δεδομένες ή αντιδρώσες δυνάμεις ως προς το χρόνο, τις συντεταγμένες ή τις μεταβλητές ταχύτητας, εάν εξαρτώνται από αυτές. 2. Λύση διαφορικών εξισώσεων: 2.1. Μειώστε την παράγωγο εάν η εξίσωση δεν ανάγεται στην κανονική (τυπική) μορφή. για παράδειγμα: ή 2.2. Διαχωρίστε τις μεταβλητές, για παράδειγμα: ή 2.4. Υπολογίστε τα αόριστα ολοκληρώματα στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης, για παράδειγμα: 2.3. Εάν υπάρχουν τρεις μεταβλητές στην εξίσωση, τότε κάντε μια αλλαγή μεταβλητών, για παράδειγμα: και μετά διαχωρίστε τις μεταβλητές. Σχόλιο. Αντί να αξιολογούνται αόριστα ολοκληρώματα, μπορεί κανείς να αξιολογήσει οριστικά ολοκληρώματα με μεταβλητό ανώτατο όριο. Τα κατώτερα όρια αντιπροσωπεύουν τις αρχικές τιμές των μεταβλητών (αρχικές συνθήκες). Τότε δεν χρειάζεται να βρεθεί χωριστά η σταθερά, η οποία συμπεριλαμβάνεται αυτόματα στη λύση, για παράδειγμα: Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες, για παράδειγμα, t = 0 , vx = vx0, προσδιορίστε τη σταθερά ολοκλήρωσης: 2.5. Εκφράστε την ταχύτητα ως προς τη χρονική παράγωγο της συντεταγμένης, για παράδειγμα, και επαναλάβετε τα βήματα 2.2 -2.4 Σημείωση. Εάν η εξίσωση αναχθεί σε μια κανονική μορφή που έχει μια τυπική λύση, τότε χρησιμοποιείται αυτή η έτοιμη λύση. Οι σταθερές ολοκλήρωσης εξακολουθούν να βρίσκονται από τις αρχικές συνθήκες. Δείτε, για παράδειγμα, ταλαντώσεις (διάλεξη 4, σελ. 8). Διάλεξη 2 (συνέχεια 2.2)

9 διαφάνεια

Διάλεξη 2 (συνέχεια 2.3) Παράδειγμα 2 επίλυσης του αντίστροφου προβλήματος: Η δύναμη εξαρτάται από το χρόνο. Ένα φορτίο βάρους P αρχίζει να κινείται κατά μήκος μιας λείας οριζόντιας επιφάνειας υπό την επίδραση μιας δύναμης F, το μέγεθος της οποίας είναι ανάλογο του χρόνου (F = kt). Προσδιορίστε την απόσταση που έχει διανύσει το φορτίο σε χρόνο t. 3. Συνθέστε τη βασική εξίσωση της δυναμικής: 5. Μειώστε τη σειρά της παραγώγου: 4. Προβάλετε τη βασική εξίσωση της δυναμικής στον άξονα x: ή 7 6. Διαχωρίστε τις μεταβλητές: 7. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα και των δύο μερών του εξίσωση: 9. Να παραστήσετε την προβολή της ταχύτητας ως παράγωγο της συντεταγμένης ως προς το χρόνο: 10. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα και των δύο μερών της εξίσωσης: 9. Διαχωρίστε τις μεταβλητές: 8. Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς C1 από το αρχική συνθήκη t = 0, vx = v0=0: Ως αποτέλεσμα, προκύπτει η εξίσωση της κίνησης (κατά μήκος του άξονα x), η οποία δίνει την τιμή της απόστασης που διανύθηκε για το χρόνο t: 1. Επιλέγουμε το σύστημα αναφοράς (καρτεσιανό συντεταγμένες) ώστε το σώμα να έχει θετική συντεταγμένη: 2. Παίρνουμε το αντικείμενο της κίνησης ως υλικό σημείο (το σώμα κινείται προς τα εμπρός), το απελευθερώνουμε από τη σύνδεση (επίπεδο αναφοράς) και το αντικαθιστούμε με την αντίδραση (κανονική αντίδραση ενός λεία επιφάνεια) : 11. Να προσδιορίσετε την τιμή της σταθεράς C2 από την αρχική συνθήκη t = 0, x = x0=0: Παράδειγμα 3 επίλυσης του αντίστροφου προβλήματος: Η δύναμη εξαρτάται από τη συντεταγμένη. Ένα υλικό σημείο μάζας m εκτοξεύεται προς τα πάνω από την επιφάνεια της Γης με ταχύτητα v0. Η δύναμη βαρύτητας της Γης είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης από το σημείο στο κέντρο βάρους (το κέντρο της Γης). Προσδιορίστε την εξάρτηση της ταχύτητας από την απόσταση y από το κέντρο της Γης. 1. Επιλέγουμε το σύστημα αναφοράς (καρτεσιανές συντεταγμένες) ώστε το σώμα να έχει θετική συντεταγμένη: 2. Συνθέτουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής: 3. Προβάλλουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής στον άξονα y: ή Ο συντελεστής αναλογικότητας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το βάρος ενός σημείου στην επιφάνεια της Γης: R Επομένως το διαφορικό μοιάζει με την εξίσωση: ή 4. Μειώστε τη σειρά της παραγώγου: 5. Αλλάξτε τη μεταβλητή: 6. Διαχωρίστε τις μεταβλητές: 7. Υπολογίστε την ολοκληρώματα και των δύο πλευρών της εξίσωσης: 8. Αντικαταστήστε τα όρια: Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια έκφραση για την ταχύτητα σε συνάρτηση με τη συντεταγμένη y: Το μέγιστο ύψος πτήσης μπορεί να βρεθεί εξισώνοντας την ταχύτητα με το μηδέν: Το μέγιστο ύψος πτήσης όταν ο παρονομαστής γίνει μηδέν: Από εδώ, όταν ρυθμίζεται η ακτίνα της Γης και η επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης, προκύπτει η κοσμική ταχύτητα II:

10 διαφάνεια

Διάλεξη 2 (συνέχεια 2.4) Παράδειγμα 2 επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος: Η δύναμη εξαρτάται από την ταχύτητα. Ένα πλοίο μάζας m είχε ταχύτητα v0. Η αντίσταση του νερού στην κίνηση του πλοίου είναι ανάλογη της ταχύτητας. Προσδιορίστε το χρόνο που χρειάζεται η ταχύτητα του πλοίου για να πέσει στο μισό μετά το σβήσιμο του κινητήρα, καθώς και την απόσταση που διανύει το πλοίο μέχρι να σταματήσει τελείως. 8 1. Επιλέγουμε σύστημα αναφοράς (καρτεσιανές συντεταγμένες) ώστε το σώμα να έχει θετική συντεταγμένη: 2. Παίρνουμε το αντικείμενο κίνησης ως υλικό σημείο (το πλοίο προχωρά), το ελευθερώνουμε από δεσμούς (νερό) και το αντικαθιστούμε με μια αντίδραση (δύναμη άνωσης - δύναμη Αρχιμήδης), καθώς και τη δύναμη αντίστασης στην κίνηση. 3. Προσθέστε ενεργό δύναμη (βαρύτητα). 4. Συνθέτουμε την κύρια εξίσωση της δυναμικής: 5. Προβάλλουμε την κύρια εξίσωση της δυναμικής στον άξονα x: ή 6. Χαμηλώνουμε τη σειρά της παραγώγου: 7. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές: 8. Υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα και από τα δύο μέρη της εξίσωσης: 9. Αντικαθιστούμε τα όρια: Λαμβάνεται μια παράσταση που συσχετίζει την ταχύτητα και το χρόνο t, από την οποία μπορείτε να προσδιορίσετε το χρόνο κίνησης: Ο χρόνος κίνησης, κατά τον οποίο η ταχύτητα θα πέσει στο μισό: Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι όταν η ταχύτητα πλησιάζει το μηδέν, ο χρόνος κίνησης τείνει στο άπειρο, δηλ η τελική ταχύτητα δεν μπορεί να είναι μηδέν. Γιατί όχι «αέναη κίνηση»; Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση, η απόσταση που διανύθηκε μέχρι τη στάση είναι μια πεπερασμένη τιμή. Για να προσδιορίσουμε την απόσταση που διανύθηκε, στρέφουμε την έκφραση που προκύπτει αφού χαμηλώσουμε τη σειρά της παραγώγου και κάνουμε μια αλλαγή της μεταβλητής: Μετά την ολοκλήρωση και την αντικατάσταση των ορίων, παίρνουμε: Απόσταση που διανύθηκε μέχρι τη στάση: ■ Κίνηση ενός σημείου που ρίχνεται σε γωνία προς τον ορίζοντα σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση του αέρα Εξαιρώντας τον χρόνο από τις εξισώσεις κίνησης, λαμβάνουμε την εξίσωση τροχιάς: Ο χρόνος πτήσης προσδιορίζεται εξισώνοντας τη συντεταγμένη y με μηδέν: Το εύρος πτήσης προσδιορίζεται αντικαθιστώντας το ώρα πτήσης:

11 διαφάνεια

Διάλεξη 3 Ευθύγραμμες ταλαντώσεις υλικού σημείου - Η ταλαντωτική κίνηση ενός υλικού σημείου συμβαίνει υπό την προϋπόθεση: υπάρχει μια δύναμη επαναφοράς που τείνει να επαναφέρει το σημείο στη θέση ισορροπίας για οποιαδήποτε απόκλιση από αυτή τη θέση. 9 Υπάρχει δύναμη επαναφοράς, η θέση ισορροπίας είναι σταθερή Χωρίς δύναμη επαναφοράς, η θέση ισορροπίας είναι ασταθής Χωρίς δύναμη επαναφοράς, η θέση ισορροπίας είναι αδιάφορη Κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας, η τιμή είναι ευθέως ανάλογη με τη γραμμική επιμήκυνση (βράχυνση) του ελατηρίου, ίση με την απόκλιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας: c είναι ο συντελεστής ακαμψίας του ελατηρίου, αριθμητικά ίσος με τη δύναμη κάτω από το οποίο το ελατήριο αλλάζει το μήκος του κατά ένα, μετρημένο σε N / m στο σύστημα SI. x y O Είδη δονήσεων υλικού σημείου: 1. Ελεύθερες δονήσεις (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση του μέσου). 2. Ελεύθερες ταλαντώσεις λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση του μέσου (απόσβεση ταλαντώσεων). 3. Εξαναγκαστικοί κραδασμοί. 4. Αναγκαστικές ταλαντώσεις λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση του μέσου. ■ Ελεύθερες ταλαντώσεις - συμβαίνουν υπό τη δράση μόνο μιας δύναμης επαναφοράς. Ας γράψουμε τον βασικό νόμο της δυναμικής: Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων με κέντρο τη θέση ισορροπίας (σημείο Ο) και προβάλλουμε την εξίσωση στον άξονα x: Ας φέρουμε την εξίσωση που προκύπτει στην τυπική (κανονική) μορφή: Αυτή η εξίσωση είναι ομοιογενής γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, η μορφή της λύσης της οποίας προσδιορίζεται από τις ρίζες του χαρακτηριστικού της εξίσωσης που προκύπτει με την καθολική αντικατάσταση: Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι φανταστικές και ίσες: Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: Σημειακή ταχύτητα: Αρχικές συνθήκες: Ορίστε τις σταθερές: Άρα, η εξίσωση των ελεύθερων κραδασμών έχει τη μορφή: Η εξίσωση μπορεί να παρασταθεί με έκφραση μονού όρου: όπου a είναι το πλάτος, - αρχική φάση. Οι νέες σταθερές a και - σχετίζονται με τις σταθερές C1 και C2 από τις σχέσεις: Ας ορίσουμε το a και: Ο λόγος για την εμφάνιση ελεύθερων ταλαντώσεων είναι η αρχική μετατόπιση x0 ή/και η αρχική ταχύτητα v0.

12 διαφάνεια

10 Διάλεξη 3 (συνέχεια 3.2) Απόσβεση ταλαντώσεων υλικού σημείου - Η ταλαντωτική κίνηση ενός υλικού σημείου συμβαίνει παρουσία μιας δύναμης επαναφοράς και μιας δύναμης αντίστασης στην κίνηση. Η εξάρτηση της δύναμης αντίστασης στην κίνηση από τη μετατόπιση ή την ταχύτητα καθορίζεται από τη φυσική φύση του μέσου ή της σύνδεσης που εμποδίζει την κίνηση. Η απλούστερη εξάρτηση είναι μια γραμμική εξάρτηση από την ταχύτητα (ιξώδης αντίσταση): - συντελεστής ιξώδους xy O Βασική εξίσωση δυναμικής: Προβολή της εξίσωσης δυναμικής στον άξονα: Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή: όπου Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ρίζες: Η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει διαφορετική μορφή ανάλογα με τις τιμές των ριζών: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - περίπτωση υψηλής ιξώδους αντίστασης: - πραγματικές ρίζες, διαφορετικές. ή - οι συναρτήσεις αυτές είναι απεριοδικές: 3. n = k: - οι ρίζες είναι πραγματικές, πολλαπλές. Αυτές οι συναρτήσεις είναι επίσης απεριοδικές:

13 διαφάνεια

Διάλεξη 3 (συνέχεια 3.3) Ταξινόμηση λύσεων ελεύθερων ταλαντώσεων. Συνδέσεις ελατηρίου. ισοδύναμη σκληρότητα. y y 11 Διαφ. Χαρακτήρας εξίσωσης. Equation Roots χαρ. εξίσωση Επίλυση διαφορικής εξίσωσης Γράφημα nk n=k

14 διαφάνεια

Διάλεξη 4 Εξαναγκασμένες δονήσεις ενός υλικού σημείου - Μαζί με τη δύναμη επαναφοράς, ενεργεί μια περιοδικά μεταβαλλόμενη δύναμη, που ονομάζεται δύναμη διαταραχής. Η διαταρακτική δύναμη μπορεί να έχει διαφορετική φύση. Για παράδειγμα, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, η αδρανειακή επίδραση μιας μη ισορροπημένης μάζας m1 ενός περιστρεφόμενου ρότορα προκαλεί αρμονικά μεταβαλλόμενες προβολές δύναμης: Η κύρια εξίσωση της δυναμικής: Η προβολή της εξίσωσης της δυναμικής στον άξονα: Ας φέρουμε την εξίσωση στο πρότυπο μορφή: 12 Η λύση αυτής της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης αποτελείται από δύο μέρη x = x1 + x2: x1 είναι η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και x2 είναι μια συγκεκριμένη λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης: Επιλέγουμε τη συγκεκριμένη λύση με τη μορφή η δεξιά πλευρά: Η ισότητα που προκύπτει πρέπει να ικανοποιείται για κάθε t . Τότε: ή Έτσι, με την ταυτόχρονη δράση των δυνάμεων επαναφοράς και διαταραχής, το υλικό σημείο εκτελεί μια σύνθετη ταλαντωτική κίνηση, η οποία είναι το αποτέλεσμα της προσθήκης (υπέρθεσης) ελεύθερων (x1) και εξαναγκασμένων (x2) δονήσεων. Αν σελ< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (αναγκασμένες ταλαντώσεις υψηλής συχνότητας), τότε η φάση των ταλαντώσεων είναι αντίθετη από τη φάση της διαταρακτικής δύναμης:

15 διαφάνεια

Διάλεξη 4 (συνέχεια 4.2) 13 Δυναμικός συντελεστής - ο λόγος του πλάτους των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων προς τη στατική απόκλιση ενός σημείου υπό τη δράση μιας σταθερής δύναμης H = const: Το πλάτος των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων: Η στατική απόκλιση μπορεί να βρεθεί από το εξίσωση ισορροπίας: Εδώ: Ως εκ τούτου: Έτσι, στο p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (υψηλή συχνότητα εξαναγκασμένων ταλαντώσεων) δυναμικός συντελεστής: Συντονισμός - εμφανίζεται όταν η συχνότητα των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων συμπίπτει με τη συχνότητα των φυσικών ταλαντώσεων (p = k). Αυτό συμβαίνει συχνότερα κατά την εκκίνηση και τη διακοπή της περιστροφής κακώς ισορροπημένων ρότορων που είναι τοποθετημένοι σε ελαστικές αναρτήσεις. Η διαφορική εξίσωση ταλαντώσεων με ίσες συχνότητες: Μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή της δεξιάς πλευράς δεν μπορεί να ληφθεί, επειδή θα προκύψει μια γραμμικά εξαρτημένη λύση (δείτε τη γενική λύση). Γενική λύση: Υποκατάστατο στη διαφορική εξίσωση: Ας πάρουμε μια συγκεκριμένη λύση στη μορφή και ας υπολογίσουμε τις παραγώγους: Έτσι, προκύπτει η λύση: ή Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις σε συντονισμό έχουν πλάτος που αυξάνεται απεριόριστα ανάλογα με το χρόνο. Επίδραση αντίστασης στην κίνηση κατά τη διάρκεια εξαναγκασμένων κραδασμών. Η διαφορική εξίσωση παρουσία ιξώδους αντίστασης έχει τη μορφή: Η γενική λύση επιλέγεται από τον πίνακα (Διάλεξη 3, σελ. 11) ανάλογα με την αναλογία n και k (βλ.). Παίρνουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή και υπολογίζουμε τις παραγώγους: Αντικαθιστούμε στη διαφορική εξίσωση: Εξισώνοντας τους συντελεστές για πανομοιότυπες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων: Ανεβάζοντας και τις δύο εξισώσεις σε ισχύ και προσθέτοντάς τις, παίρνουμε το πλάτος του εξαναγκασμένες ταλαντώσεις: Διαιρώντας τη δεύτερη εξίσωση με την πρώτη, λαμβάνουμε τη μετατόπιση φάσης των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων: Έτσι, η εξίσωση κίνησης για εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση στην κίνηση, για παράδειγμα, για n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 διαφάνεια

Διάλεξη 5 Σχετική κίνηση υλικού σημείου - Ας υποθέσουμε ότι το κινούμενο (μη αδρανειακό) σύστημα συντεταγμένων Oxyz κινείται σύμφωνα με κάποιο νόμο σε σχέση με το σταθερό (αδρανειακό) σύστημα συντεταγμένων O1x1y1z1. Η κίνηση ενός υλικού σημείου M (x, y, z) σε σχέση με το κινητό σύστημα Oxyz είναι σχετική, σε σχέση με το ακίνητο σύστημα O1x1y1z1 είναι απόλυτη. Η κίνηση του κινητού συστήματος Oxyz σε σχέση με το σταθερό σύστημα O1x1y1z1 είναι μια φορητή κίνηση. 14 z x1 y1 z1 O1 xy M xyz O Βασική εξίσωση δυναμικής: Απόλυτη επιτάχυνση σημείου: Αντικαταστήστε την απόλυτη επιτάχυνση ενός σημείου στην κύρια εξίσωση δυναμικής: Ας μεταφέρουμε τους όρους με μεταφορική και επιτάχυνση Coriolis στη δεξιά πλευρά: Οι μεταφερόμενοι όροι έχουν διάσταση δυνάμεων και θεωρούνται ως οι αντίστοιχες δυνάμεις αδράνειας, ίσες: Τότε η σχετική κίνηση του σημείου μπορεί να θεωρηθεί απόλυτη αν προσθέσουμε τις δυνάμεις αδράνειας μετατόπισης και Coriolis στις δρώντες δυνάμεις: Σε προβολές στους άξονες του κινούμενου συστήματος συντεταγμένων, έχουμε: η περιστροφή είναι ομοιόμορφη, τότε εe = 0: 2. Μεταφραστική καμπυλόγραμμη κίνηση: Αν η κίνηση είναι ευθύγραμμη, τότε = : Αν η κίνηση είναι ευθύγραμμη και ομοιόμορφη, τότε το κινούμενο σύστημα είναι αδρανειακό και η σχετική Η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί απόλυτη: Κανένα μηχανικό φαινόμενο δεν μπορεί να ανιχνεύσει μια ευθύγραμμη στολή κίνηση (αρχή της σχετικότητας της κλασικής μηχανικής). Επίδραση της περιστροφής της Γης στην ισορροπία των σωμάτων - Ας υποθέσουμε ότι το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία στην επιφάνεια της Γης σε αυθαίρετο γεωγραφικό πλάτος φ (παράλληλες). Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της από τα δυτικά προς τα ανατολικά με γωνιακή ταχύτητα: Η ακτίνα της Γης είναι περίπου 6370 km. S R είναι η συνολική αντίδραση μιας μη λείας επιφάνειας. G - δύναμη έλξης της Γης στο κέντρο. Ф - φυγόκεντρη δύναμη αδράνειας. Συνθήκη σχετικής ισορροπίας: Το αποτέλεσμα των δυνάμεων έλξης και αδράνειας είναι η δύναμη της βαρύτητας (βάρος): Το μέγεθος της δύναμης της βαρύτητας (βάρος) στην επιφάνεια της Γης είναι P = mg. Η φυγόκεντρος δύναμη αδράνειας είναι ένα μικρό κλάσμα της δύναμης της βαρύτητας: Η απόκλιση της δύναμης της βαρύτητας από την κατεύθυνση της δύναμης έλξης είναι επίσης μικρή: Έτσι, η επίδραση της περιστροφής της Γης στην ισορροπία των σωμάτων είναι εξαιρετικά μικρή και δεν λαμβάνεται υπόψη στους πρακτικούς υπολογισμούς. Η μέγιστη τιμή της αδρανειακής δύναμης (στο φ = 0 - στον ισημερινό) είναι μόνο 0,00343 της τιμής της βαρύτητας

17 διαφάνεια

Διάλεξη 5 (συνέχεια 5.2) 15 Επίδραση της περιστροφής της Γης στην κίνηση των σωμάτων στο βαρυτικό πεδίο της Γης - Ας υποθέσουμε ότι ένα σώμα πέφτει στη Γη από ένα ορισμένο ύψος H πάνω από την επιφάνεια της Γης σε γεωγραφικό πλάτος φ . Ας επιλέξουμε ένα κινούμενο πλαίσιο αναφοράς, άκαμπτα συνδεδεμένο με τη Γη, κατευθύνοντας τους άξονες x, y εφαπτομενικά στην παράλληλη και στον μεσημβρινό: Εξίσωση σχετικής κίνησης: Εδώ, η μικρότητα της φυγόκεντρης δύναμης αδράνειας σε σύγκριση με τη δύναμη της βαρύτητας είναι λαμβάνονται υπόψη. Έτσι, η δύναμη της βαρύτητας ταυτίζεται με τη δύναμη της βαρύτητας. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι η βαρύτητα κατευθύνεται κάθετα στην επιφάνεια της Γης λόγω της μικρής απόκλισης της, όπως συζητήθηκε παραπάνω. Η επιτάχυνση Coriolis είναι ίση και κατευθύνεται παράλληλα προς τον άξονα y προς τα δυτικά. Η δύναμη αδράνειας Coriolis κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Προβάλλουμε την εξίσωση σχετικής κίνησης στον άξονα: Η λύση της πρώτης εξίσωσης δίνει: Αρχικές συνθήκες: Η λύση της τρίτης εξίσωσης δίνει: Αρχικές συνθήκες: Η τρίτη εξίσωση παίρνει τη μορφή: Αρχικές συνθήκες: Η λύση της δίνει: Η λύση που προκύπτει δείχνει ότι το σώμα αποκλίνει προς τα ανατολικά όταν πέφτει. Ας υπολογίσουμε την τιμή αυτής της απόκλισης, για παράδειγμα, όταν πέφτουμε από ύψος 100 μ. Βρίσκουμε τον χρόνο πτώσης από τη λύση της δεύτερης εξίσωσης: Έτσι, η επίδραση της περιστροφής της Γης στην κίνηση των σωμάτων είναι εξαιρετικά μικρή για πρακτικά ύψη και ταχύτητες και δεν λαμβάνεται υπόψη στους τεχνικούς υπολογισμούς. Η λύση της δεύτερης εξίσωσης συνεπάγεται επίσης την ύπαρξη ταχύτητας κατά μήκος του άξονα y, η οποία θα πρέπει επίσης να προκαλεί και να προκαλεί την αντίστοιχη επιτάχυνση και τη δύναμη αδράνειας Coriolis. Η επίδραση αυτής της ταχύτητας και της δύναμης αδράνειας που σχετίζεται με αυτήν στην αλλαγή στην κίνηση θα είναι ακόμη μικρότερη από τη θεωρούμενη δύναμη αδράνειας Coriolis που σχετίζεται με την κατακόρυφη ταχύτητα.

18 διαφάνεια

Διάλεξη 6 Δυναμική ενός μηχανικού συστήματος. Ένα σύστημα υλικών σημείων ή ένα μηχανικό σύστημα - Ένα σύνολο υλικών σημείων ή εκείνων των υλικών σημείων που ενώνονται με γενικούς νόμους αλληλεπίδρασης (η θέση ή η κίνηση καθενός από τα σημεία ή ενός σώματος εξαρτάται από τη θέση και την κίνηση όλων των άλλων). σύστημα ελεύθερων σημείων - η κίνηση του οποίου δεν περιορίζεται από καμία σύνδεση (για παράδειγμα, ένα πλανητικό σύστημα, στο οποίο οι πλανήτες θεωρούνται ως υλικά σημεία). Ένα σύστημα μη ελεύθερων σημείων ή ένα μη ελεύθερο μηχανικό σύστημα - η κίνηση των υλικών σημείων ή σωμάτων περιορίζεται από τους περιορισμούς που επιβάλλονται στο σύστημα (για παράδειγμα, ένας μηχανισμός, μια μηχανή κ.λπ.). 16 Δυνάμεις που δρουν στο σύστημα. Εκτός από την προηγουμένως υπάρχουσα ταξινόμηση δυνάμεων (ενεργών και αντιδραστικών δυνάμεων), εισάγεται μια νέα ταξινόμηση δυνάμεων: 1. Εξωτερικές δυνάμεις (ε) - που δρουν σε σημεία και σώματα του συστήματος από σημεία ή σώματα που δεν αποτελούν μέρος αυτού Σύστημα. 2. Εσωτερικές δυνάμεις (i) - δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ υλικών σημείων ή σωμάτων που περιλαμβάνονται στο δεδομένο σύστημα. Η ίδια δύναμη μπορεί να είναι τόσο εξωτερική όσο και εσωτερική δύναμη. Όλα εξαρτώνται από το μηχανικό σύστημα που εξετάζεται. Για παράδειγμα: Στο σύστημα του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης, όλες οι βαρυτικές δυνάμεις μεταξύ τους είναι εσωτερικές. Όταν εξετάζουμε το σύστημα της Γης και της Σελήνης, οι βαρυτικές δυνάμεις που εφαρμόζονται από την πλευρά του Ήλιου είναι εξωτερικές: CZL Με βάση το νόμο της δράσης και της αντίδρασης, κάθε εσωτερική δύναμη Fk αντιστοιχεί σε μια άλλη εσωτερική δύναμη Fk', ίση σε απόλυτη τιμή και αντίθετη σε κατεύθυνση. Από αυτό προκύπτουν δύο αξιοσημείωτες ιδιότητες των εσωτερικών δυνάμεων: Το κύριο διάνυσμα όλων των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν: Η κύρια ροπή όλων των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος σε σχέση με οποιοδήποτε κέντρο είναι ίση με μηδέν: Ή σε προβολές στη συντεταγμένη άξονες: Σημ. Αν και αυτές οι εξισώσεις είναι παρόμοιες με τις εξισώσεις ισορροπίας, δεν είναι, αφού εσωτερικές δυνάμεις εφαρμόζονται σε διάφορα σημεία ή σώματα του συστήματος και μπορούν να προκαλέσουν τη μετακίνηση αυτών των σημείων (σωμάτων) μεταξύ τους. Από αυτές τις εξισώσεις προκύπτει ότι οι εσωτερικές δυνάμεις δεν επηρεάζουν την κίνηση ενός συστήματος που θεωρείται ως σύνολο. Το κέντρο μάζας του συστήματος των υλικών σημείων. Για να περιγραφεί η κίνηση του συστήματος στο σύνολό του, εισάγεται ένα γεωμετρικό σημείο, που ονομάζεται κέντρο μάζας, το διάνυσμα της ακτίνας του οποίου καθορίζεται από την έκφραση, όπου M είναι η μάζα ολόκληρου του συστήματος: Ή σε προβολές πάνω στη συντεταγμένη άξονες: Οι τύποι για το κέντρο μάζας είναι παρόμοιοι με εκείνους για το κέντρο βάρους. Ωστόσο, η έννοια του κέντρου μάζας είναι γενικότερη, αφού δεν σχετίζεται με τις δυνάμεις βαρύτητας ή τις δυνάμεις βαρύτητας.

19 διαφάνεια

Διάλεξη 6 (συνέχεια 6.2) 17 Θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος - Θεωρούμε ένα σύστημα n υλικών σημείων. Διαχωρίζουμε τις δυνάμεις που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο σε εξωτερικές και εσωτερικές και τις αντικαθιστούμε με τις αντίστοιχες προκύπτουσες Fke και Fki. Ας γράψουμε για κάθε σημείο τη βασική εξίσωση της δυναμικής: ή Ας αθροίσουμε αυτές τις εξισώσεις σε όλα τα σημεία: Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, θα εισαγάγουμε τις μάζες κάτω από το πρόσημο της παραγώγου και θα αντικαταστήσουμε το άθροισμα των παραγώγων με την παράγωγο του αθροίσματος: Από τον ορισμό του κέντρου μάζας: Αντικαθιστούμε στην εξίσωση που προκύπτει: λαμβάνουμε ή: Το γινόμενο της μάζας του συστήματος και της επιτάχυνσης της κεντρικής μάζας του είναι ίσο με το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων. Σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων: Το κέντρο μάζας του συστήματος κινείται ως υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα ολόκληρου του συστήματος, στο οποίο εφαρμόζονται όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα. Συνέπειες από το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος (νόμοι διατήρησης): 1. Αν στο χρονικό διάστημα το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος είναι μηδέν, Re = 0, τότε η ταχύτητα του κέντρου της μάζας είναι σταθερή, vC = const (το κέντρο μάζας κινείται ομοιόμορφα ευθύγραμμα - ο νόμος της διατήρησης του κέντρου μάζας κίνησης). 2. Αν στο χρονικό διάστημα η προβολή του κύριου διανύσματος των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος στον άξονα x είναι ίση με μηδέν, Rxe = 0, τότε η ταχύτητα του κέντρου μάζας κατά μήκος του άξονα x είναι σταθερή, vCx = const (το κέντρο μάζας κινείται ομοιόμορφα κατά μήκος του άξονα). Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν για τους άξονες y και z. Παράδειγμα: Δύο άτομα μάζας m1 και m2 βρίσκονται σε μια βάρκα μάζας m3. Την αρχική στιγμή, το σκάφος με κόσμο ήταν σε ηρεμία. Προσδιορίστε τη μετατόπιση του σκάφους εάν ένα άτομο μάζας m2 μετακινήθηκε στην πλώρη του σκάφους σε απόσταση α. 3. Αν στο χρονικό διάστημα το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν, Re = 0, και την αρχική στιγμή η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι ίση με μηδέν, vC = 0, τότε το διάνυσμα ακτίνας του κέντρου μάζας παραμένει σταθερό, rC = const (το κέντρο μάζας είναι σε ηρεμία είναι ο νόμος διατήρησης της θέσης του κέντρου μάζας). 4. Εάν στο χρονικό διάστημα η προβολή του κύριου διανύσματος των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος στον άξονα x είναι ίση με μηδέν, Rxe = 0, και την αρχική στιγμή η ταχύτητα του κέντρου μάζας κατά μήκος αυτού του άξονα είναι μηδέν , vCx = 0, τότε η συντεταγμένη του κέντρου μάζας κατά μήκος του άξονα x παραμένει σταθερή, xC = const (το κέντρο μάζας δεν κινείται κατά μήκος αυτού του άξονα). Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν για τους άξονες y και z. 1. Αντικείμενο κίνησης (βάρκα με ανθρώπους): 2. Απορρίψτε τις συνδέσεις (νερό): 3. Αντικαταστήστε τη σύνδεση με αντίδραση: 4. Προσθέστε ενεργές δυνάμεις: 5. Καταγράψτε το θεώρημα για το κέντρο μάζας: Προβολή στον άξονα x : O Προσδιορίστε πόσο μακριά πρέπει να μεταφέρετε σε άτομο μάζας m1, ώστε το σκάφος να παραμείνει στη θέση του: Το σκάφος θα κινηθεί σε απόσταση l προς την αντίθετη κατεύθυνση.

20 διαφάνεια

Διάλεξη 7 Η ώθηση της δύναμης είναι ένα μέτρο μηχανικής αλληλεπίδρασης που χαρακτηρίζει τη μεταφορά της μηχανικής κίνησης από τις δυνάμεις που δρουν σε ένα σημείο για μια δεδομένη χρονική περίοδο: 18 Σε προβολές σε άξονες συντεταγμένων: Στην περίπτωση σταθερής δύναμης: Σε προβολές σε άξονες συντεταγμένων: στο σημείο δύναμης στο ίδιο χρονικό διάστημα: Πολλαπλασιασμός με dt: Ολοκληρώστε σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα: Η ορμή ενός σημείου είναι ένα μέτρο της μηχανικής κίνησης, που προσδιορίζεται από ένα διάνυσμα ίσο με το γινόμενο της μάζας του το σημείο και το διάνυσμα της ταχύτητάς του: Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος - Θεωρούμε το σύστημα n υλικά σημεία. Διαχωρίζουμε τις δυνάμεις που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο σε εξωτερικές και εσωτερικές και τις αντικαθιστούμε με τις αντίστοιχες προκύπτουσες Fke και Fki. Ας γράψουμε για κάθε σημείο τη βασική εξίσωση της δυναμικής: ή Ποσότητα κίνησης συστήματος υλικών σημείων - το γεωμετρικό άθροισμα των ποσοτήτων κίνησης των υλικών σημείων: Εξ ορισμού του κέντρου μάζας: Το διάνυσμα της ορμής του συστήματος ισούται με το γινόμενο της μάζας ολόκληρου του συστήματος και του διανύσματος ταχύτητας του κέντρου μάζας του συστήματος. Τότε: Σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων: Η χρονική παράγωγος του διανύσματος ορμής του συστήματος είναι ίση με το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος. Ας αθροίσουμε αυτές τις εξισώσεις σε όλα τα σημεία: Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, εισάγουμε τις μάζες κάτω από το πρόσημο της παραγώγου και αντικαθιστούμε το άθροισμα των παραγώγων με την παράγωγο του αθροίσματος: Από τον ορισμό της ορμής του συστήματος: Σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων:

21 διαφάνεια

Θεώρημα Euler - Εφαρμογή του θεωρήματος για τη μεταβολή της ορμής ενός συστήματος στην κίνηση ενός συνεχούς μέσου (νερό). 1. Επιλέγουμε ως αντικείμενο κίνησης τον όγκο του νερού που βρίσκεται στο καμπυλόγραμμο κανάλι του στροβίλου: 2. Απορρίπτουμε τις συνδέσεις και αντικαθιστούμε τη δράση τους με αντιδράσεις (Rpov - το αποτέλεσμα των επιφανειακών δυνάμεων) 3. Προσθέτουμε ενεργές δυνάμεις (Rb - το αποτέλεσμα των δυνάμεων του σώματος): 4. Να γράψετε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής του συστήματος: Η ποσότητα κίνησης του νερού στις στιγμές t0 και t1 θα παριστάνεται ως αθροίσματα: Μεταβολή της ορμής του νερού στο χρονικό διάστημα : Μεταβολή της ορμής του νερού σε ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστημα dt: , όπου F1 F2 Λαμβάνοντας το γινόμενο της πυκνότητας, του εμβαδού διατομής και της ταχύτητας ανά δευτερόλεπτο μάζας, παίρνουμε: Αντικαθιστώντας το διαφορικό της ορμής του συστήματος στο θεώρημα μεταβολής , παίρνουμε: Συνέπειες από το θεώρημα της μεταβολής της ορμής του συστήματος (νόμοι διατήρησης): 1. Αν στο χρονικό διάστημα το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος είναι ίσο με μηδέν, Re = 0, τότε το ποσότητα διανυσματική κίνηση είναι σταθερή, Q = const είναι ο νόμος διατήρησης της ορμής του συστήματος). 2. Αν στο χρονικό διάστημα η προβολή του κύριου διανύσματος των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος στον άξονα x είναι ίση με μηδέν, Rxe = 0, τότε η προβολή της ορμής του συστήματος στον άξονα x είναι σταθερή, Qx = συνθ. Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν για τους άξονες y και z. Διάλεξη 7 (συνέχεια 7.2) Παράδειγμα: Μια χειροβομβίδα μάζας Μ, που πετούσε με ταχύτητα v, εξερράγη σε δύο μέρη. Η ταχύτητα ενός από τα θραύσματα μάζας m1 αυξήθηκε προς την κατεύθυνση της κίνησης στην τιμή v1. Προσδιορίστε την ταχύτητα του δεύτερου θραύσματος. 1. Το αντικείμενο κίνησης (χειροβομβίδα): 2. Το αντικείμενο είναι ελεύθερο σύστημα, δεν υπάρχουν συνδέσεις και οι αντιδράσεις τους. 3. Προσθέστε ενεργές δυνάμεις: 4. Γράψτε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής: Προβάλετε στον άξονα: β Διαιρέστε τις μεταβλητές και ολοκληρώστε: Το σωστό ολοκλήρωμα είναι σχεδόν μηδέν, γιατί χρόνος έκρηξης t

22 διαφάνεια

Διάλεξη 7 (συνέχεια 7.3) 20 Η γωνιακή ορμή ενός σημείου ή η κινητική ροπή κίνησης σε σχέση με ένα ορισμένο κέντρο είναι ένα μέτρο της μηχανικής κίνησης, που προσδιορίζεται από ένα διάνυσμα ίσο με το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας ενός υλικού σημείου και του διάνυσμα της ορμής του: Η κινητική ροπή ενός συστήματος υλικών σημείων σε σχέση με ένα ορισμένο κέντρο είναι γεωμετρική το άθροισμα των ροπών του αριθμού των κινήσεων όλων των υλικών σημείων σε σχέση με το ίδιο κέντρο: Σε προβολές στον άξονα: Σε προβολές επί ο άξονας: Θεώρημα για τη μεταβολή της ροπής της ορμής του συστήματος - Θεωρήστε ένα σύστημα n υλικών σημείων. Διαχωρίζουμε τις δυνάμεις που εφαρμόζονται σε κάθε σημείο σε εξωτερικές και εσωτερικές και τις αντικαθιστούμε με τις αντίστοιχες προκύπτουσες Fke και Fki. Ας γράψουμε για κάθε σημείο τη βασική εξίσωση της δυναμικής: ή Ας αθροίσουμε αυτές τις εξισώσεις για όλα τα σημεία: Ας αντικαταστήσουμε το άθροισμα των παραγώγων με την παράγωγο του αθροίσματος: Η έκφραση σε αγκύλες είναι η στιγμή της ορμής του συστήματος. Από εδώ: Πολλαπλασιάζουμε διανυσματικά καθεμία από τις ισότητες με την ακτίνα-διάνυσμα στα αριστερά: Ας δούμε αν είναι δυνατόν να πάρουμε το πρόσημο της παραγώγου έξω από το διανυσματικό γινόμενο: Έτσι, πήραμε: κέντρο. Σε προβολές στους άξονες συντεταγμένων: Η παράγωγος της ροπής ορμής του συστήματος σε σχέση με κάποιο άξονα στο χρόνο ισούται με την κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος ως προς τον ίδιο άξονα.

23 διαφάνεια

Διάλεξη 8 21 ■ Συνέπειες από το θεώρημα της μεταβολής της γωνιακής ορμής του συστήματος (νόμοι διατήρησης): 1. Αν στο χρονικό διάστημα το διάνυσμα της κύριας ροπής των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος σε σχέση με ένα ορισμένο κέντρο είναι ίσο στο μηδέν, MOe = 0, τότε το διάνυσμα της γωνιακής ορμής του συστήματος σε σχέση με το ίδιο κέντρο είναι σταθερό, KO = const είναι ο νόμος διατήρησης της ορμής του συστήματος). 2. Αν στο χρονικό διάστημα η κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος ως προς τον άξονα x είναι ίση με μηδέν, Mxe = 0, τότε η γωνιακή ορμή του συστήματος ως προς τον άξονα x είναι σταθερή, Kx = const. Παρόμοιες προτάσεις ισχύουν για τους άξονες y και z. 2. Ροπή αδράνειας άκαμπτου σώματος ως προς τον άξονα: Η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου ως προς τον άξονα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σημείου και το τετράγωνο της απόστασης του σημείου προς τον άξονα. Η ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος ως προς έναν άξονα είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων της μάζας κάθε σημείου και το τετράγωνο της απόστασης αυτού του σημείου από τον άξονα. ■ Στοιχεία της θεωρίας των ροπών αδράνειας - Με την περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος, το μέτρο της αδράνειας (αντίσταση στην αλλαγή στην κίνηση) είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής. Εξετάστε τις βασικές έννοιες του ορισμού και τις μεθόδους για τον υπολογισμό των ροπών αδράνειας. 1. Ροπή αδράνειας υλικού σημείου ως προς τον άξονα: Κατά τη μετάβαση από μια διακριτή μικρή μάζα σε μια απείρως μικρή μάζα ενός σημείου, το όριο ενός τέτοιου αθροίσματος καθορίζεται από το ακέραιο: αξονική ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος . Εκτός από την αξονική ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος, υπάρχουν και άλλοι τύποι ροπών αδράνειας: η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος. πολική ροπή αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος. 3. Θεώρημα για τις ροπές αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος ως προς τους παράλληλους άξονες - ο τύπος για τη μετάβαση σε παράλληλους άξονες: Ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα αναφοράς Στατικές ροπές αδράνειας για τους άξονες αναφοράς Μάζα σώματος Απόσταση μεταξύ των αξόνων z1 και z2 Έτσι : οι στιγμές είναι μηδέν:

24 διαφάνεια

Διάλεξη 8 (συνέχεια 8.2) 22 Ροπή αδράνειας ομοιόμορφης ράβδου σταθερής τομής ως προς τον άξονα: xz L Επιλέξτε τον στοιχειώδη όγκο dV = Adx σε απόσταση x: x dx Στοιχειώδη μάζα: Για να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας ως προς τον κεντρικό άξονα (περνώντας από το κέντρο βάρους), αρκεί να αλλάξετε τη θέση του άξονα και να ορίσετε τα όρια ολοκλήρωσης (-L/2, L/2). Εδώ δείχνουμε τον τύπο για τη μετάβαση σε παράλληλους άξονες: zС 5. Η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς στερεού κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας: H dr r Ας ξεχωρίσουμε τον στοιχειώδη όγκο dV = 2πrdrH (λεπτός κύλινδρος ακτίνας r) : Στοιχειώδης μάζα: Εδώ χρησιμοποιούμε τον τύπο όγκου κυλίνδρου V=πR2H. Για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ενός κοίλου (χοντρού) κυλίνδρου, αρκεί να τεθούν τα όρια ολοκλήρωσης από το R1 στο R2 (R2> R1): 6. Η ροπή αδράνειας ενός λεπτού κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας (t

25 διαφάνεια

Διάλεξη 8 (συνέχεια 8.3) 23 ■ Διαφορική εξίσωση περιστροφής άκαμπτου σώματος γύρω από άξονα: Ας γράψουμε ένα θεώρημα για την αλλαγή της γωνιακής ορμής ενός άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα: Η ορμή ενός περιστρεφόμενου άκαμπτου σώματος είναι: Η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων γύρω από τον άξονα περιστροφής είναι ίση με τη ροπή (οι αντιδράσεις και η δύναμη δεν δημιουργούν ροπές βαρύτητας): Αντικαθιστούμε την κινητική ροπή και τη ροπή στο θεώρημα Παράδειγμα: Δύο άτομα του ίδιου βάρους G1 = G2 κρέμονται σε ένα πεταμένο σχοινί πάνω από ένα συμπαγές μπλοκ με βάρος G3 = G1/4. Κάποια στιγμή ένας από αυτούς άρχισε να ανεβαίνει στο σχοινί με σχετική ταχύτητα u. Προσδιορίστε την ταχύτητα ανύψωσης κάθε ατόμου. 1. Επιλέξτε το αντικείμενο κίνησης (μπλοκ με άτομα): 2. Απορρίψτε τις συνδέσεις (συσκευή στήριξης του μπλοκ): 3. Αντικαταστήστε τη σύνδεση με αντιδράσεις (ρουλεμάν): 4. Προσθέστε ενεργές δυνάμεις (βαρύτητα): 5. Καταγράψτε το θεώρημα για την αλλαγή της κινητικής ροπής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του μπλοκ: R Δεδομένου ότι η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων είναι ίση με μηδέν, η κινητική ροπή πρέπει να παραμείνει σταθερή: Την αρχική στιγμή του χρόνου t = 0, υπάρχει ήταν ισορροπία και Kz0 = 0. Μετά την έναρξη της κίνησης ενός ατόμου σε σχέση με το σχοινί, ολόκληρο το σύστημα άρχισε να κινείται, αλλά η κινητική ροπή του συστήματος πρέπει να παραμείνει ίση με μηδέν: Kz = 0. Η γωνιακή ορμή του σύστημα είναι το άθροισμα των γωνιακών ορμών τόσο των ανθρώπων όσο και του μπλοκ: Εδώ v2 είναι η ταχύτητα του δεύτερου ατόμου, ίση με την ταχύτητα του καλωδίου, Παράδειγμα: Προσδιορίστε την περίοδο μικρών ελεύθερων ταλαντώσεων μιας ομοιογενούς ράβδου μάζας M και μήκος l, αναρτημένο από το ένα άκρο σε σταθερό άξονα περιστροφής. Ή: Στην περίπτωση μικρών ταλαντώσεων sinφ φ: Περίοδος ταλάντωσης: Ροπή αδράνειας της ράβδου:

26 διαφάνεια

Διάλεξη 8 (συνέχεια 8.4 - πρόσθετο υλικό) 24 ■ Στοιχειώδης θεωρία του γυροσκοπίου: Το γυροσκόπιο είναι ένα άκαμπτο σώμα που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα συμμετρίας του υλικού, ένα από τα σημεία του οποίου είναι σταθερό. Ένα ελεύθερο γυροσκόπιο είναι στερεωμένο με τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο μάζας του να παραμένει ακίνητο και ο άξονας περιστροφής να διέρχεται από το κέντρο μάζας και να μπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση στο χώρο, δηλ. ο άξονας περιστροφής αλλάζει τη θέση του όπως ο άξονας της περιστροφής του ίδιου του σώματος κατά τη διάρκεια της σφαιρικής κίνησης. Η κύρια υπόθεση της κατά προσέγγιση (στοιχειώδους) θεωρίας του γυροσκόπιου είναι ότι το διάνυσμα ορμής (κινητική ροπή) του ρότορα θεωρείται ότι κατευθύνεται κατά μήκος του δικού του άξονα περιστροφής. Έτσι, παρά το γεγονός ότι στη γενική περίπτωση ο ρότορας συμμετέχει σε τρεις περιστροφές, λαμβάνεται υπόψη μόνο η γωνιακή ταχύτητα της δικής του περιστροφής ω = dφ/dt. Ο λόγος για αυτό είναι ότι στη σύγχρονη τεχνολογία ο ρότορας του γυροσκοπίου περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα της τάξης των 5000-8000 rad / s (περίπου 50000-80000 rpm), ενώ οι άλλες δύο γωνιακές ταχύτητες συνδέονται με μετάπτωση και διακοπή του δικού τους άξονα περιστροφής δεκάδες χιλιάδες φορές μικρότερη από αυτή την ταχύτητα. Η κύρια ιδιότητα ενός ελεύθερου γυροσκόπιου είναι ότι ο άξονας του ρότορα διατηρεί την ίδια κατεύθυνση στο διάστημα σε σχέση με το αδρανειακό (αστρικό) σύστημα αναφοράς (που καταδεικνύεται από το εκκρεμές Foucault, το οποίο διατηρεί το επίπεδο αιώρησης αμετάβλητο σε σχέση με τα αστέρια, 1852). Αυτό προκύπτει από τον νόμο διατήρησης της κινητικής ροπής σε σχέση με το κέντρο μάζας του ρότορα, με την προϋπόθεση ότι η τριβή στα έδρανα των αξόνων ανάρτησης του ρότορα, του εξωτερικού και του εσωτερικού πλαισίου παραμελείται: Δράση δύναμης στον άξονα ενός ελεύθερου γυροσκόπιο. Στην περίπτωση δύναμης που ασκείται στον άξονα του ρότορα, η ροπή των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με το κέντρο μάζας δεν είναι ίση με μηδέν: δύναμη ω ω С, και προς το διάνυσμα της ροπής αυτής της δύναμης, δηλ. θα περιστρέφεται όχι γύρω από τον άξονα x (εσωτερική ανάρτηση), αλλά γύρω από τον άξονα y (εξωτερική ανάρτηση). Με τον τερματισμό της δύναμης, ο άξονας του ρότορα θα παραμείνει στην ίδια θέση, που αντιστοιχεί στον τελευταίο χρόνο της δύναμης, επειδή Από αυτό το χρονικό σημείο, η στιγμή των εξωτερικών δυνάμεων γίνεται ξανά ίση με μηδέν. Σε περίπτωση βραχυπρόθεσμης δράσης δύναμης (κρούσης), ο άξονας του γυροσκόπιου πρακτικά δεν αλλάζει τη θέση του. Έτσι, η γρήγορη περιστροφή του ρότορα δίνει στο γυροσκόπιο τη δυνατότητα να εξουδετερώνει τυχαίες επιρροές που επιδιώκουν να αλλάξουν τη θέση του άξονα περιστροφής του ρότορα και με σταθερή δράση της δύναμης, διατηρεί τη θέση του επιπέδου κάθετα προς η ενεργούσα δύναμη στην οποία βρίσκεται ο άξονας του ρότορα. Αυτές οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται στη λειτουργία συστημάτων αδρανειακής πλοήγησης.

κρατικό αυτόνομο ίδρυμα

Περιφέρεια Καλίνινγκραντ

επαγγελματικό εκπαιδευτικό οργανισμό

Κολλέγιο Υπηρεσιών και Τουρισμού

Μάθημα διαλέξεων με παραδείγματα πρακτικών εργασιών

"Βασικές αρχές της Θεωρητικής Μηχανικής"

κατά πειθαρχίαΤεχνική Μηχανική

για τους μαθητές3 σειρά μαθημάτων

ειδικότητα20.02.04 Πυρασφάλεια

Καλίνινγκραντ

ΕΓΚΡΙΝΩ

Αναπληρωτής Διευθυντής SD GAU KO VEO KSTN.N. Myasnikov

ΕΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ

Μεθοδολογικό Συμβούλιο GAU KO VET KST

ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ

Σε συνεδρίαση της ΣΕΠ

Συντακτική ομάδα:

Kolganova A.A., μεθοδολόγος

Falaleeva A.B., καθηγήτρια ρωσικής γλώσσας και λογοτεχνίας

Tsvetaeva L.V., Πρόεδρος του PCCγενικούς κλάδους των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών

Συντάχθηκε από:

Nezvanova I.V. Λέκτορας GAU KO VET KST

Περιεχόμενο

Δυναμική: βασικές έννοιες και αξιώματα

Βιβλιογραφία

Στατική: βασικές έννοιες και αξιώματα.

Θεωρητικές πληροφορίες

Στατική - ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής, το οποίο εξετάζει τις ιδιότητες των δυνάμεων που εφαρμόζονται στα σημεία ενός άκαμπτου σώματος και τις συνθήκες για την ισορροπία τους. Κύριες εργασίες:

1. Μετατροπή συστημάτων δυνάμεων σε ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων.

2. Προσδιορισμός των συνθηκών για την ισορροπία συστημάτων δυνάμεων που δρουν σε άκαμπτο σώμα.

υλικό σημείο ονομάζεται το απλούστερο μοντέλο ενός υλικού σώματος

οποιοδήποτε σχήμα, του οποίου οι διαστάσεις είναι αρκετά μικρές και το οποίο μπορεί να ληφθεί ως ένα γεωμετρικό σημείο που έχει μια ορισμένη μάζα. Ένα μηχανικό σύστημα είναι οποιοδήποτε σύνολο υλικών σημείων. Ένα απολύτως άκαμπτο σώμα είναι ένα μηχανικό σύστημα, οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων του οποίου δεν αλλάζουν υπό καμία αλληλεπίδραση.

Δύναμη είναι ένα μέτρο της μηχανικής αλληλεπίδρασης των υλικών σωμάτων μεταξύ τους. Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, αφού προσδιορίζεται από τρία στοιχεία:

αριθμητική αξία;

κατεύθυνση;

σημείο εφαρμογής (Α).

Η μονάδα δύναμης είναι ο Νεύτωνας (Ν).

Εικόνα 1.1

Ένα σύστημα δυνάμεων είναι ένα σύνολο δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα.

Ένα ισορροπημένο (ίσο με μηδέν) σύστημα δυνάμεων είναι ένα σύστημα που, όταν εφαρμόζεται σε ένα σώμα, δεν αλλάζει την κατάστασή του.

Το σύστημα δυνάμεων που δρουν στο σώμα μπορεί να αντικατασταθεί από ένα προκύπτον σύστημα που λειτουργεί ως σύστημα δυνάμεων.

Αξιώματα της στατικής.

Αξίωμα 1: Εάν εφαρμοστεί ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων στο σώμα, τότε αυτό κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα ή βρίσκεται σε ηρεμία (ο νόμος της αδράνειας).

Αξίωμα 2: Ένα απολύτως άκαμπτο σώμα βρίσκεται σε ισορροπία υπό τη δράση δύο δυνάμεων αν και μόνο αν αυτές οι δυνάμεις είναι ίσες σε απόλυτη τιμή, ενεργούν σε μία ευθεία γραμμή και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Εικόνα 1.2

Αξίωμα 3: Η μηχανική κατάσταση του σώματος δεν θα διαταραχθεί εάν ένα ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων προστεθεί ή αφαιρεθεί από το σύστημα δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό.

Αξίωμα 4: Το αποτέλεσμα των δύο δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι ίσο με το γεωμετρικό άθροισμά τους, δηλαδή εκφράζεται σε απόλυτη τιμή και διεύθυνση από τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένη σε αυτές τις δυνάμεις όπως στις πλευρές.

Εικόνα 1.3.

Αξίωμα 5: Οι δυνάμεις με τις οποίες δρουν δύο σώματα μεταξύ τους είναι πάντα ίσες σε απόλυτη τιμή και κατευθύνονται κατά μήκος μιας ευθείας σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Εικόνα 1.4.

Τύποι δεσμών και οι αντιδράσεις τους

συνδέσεις ονομάζονται τυχόν περιορισμοί που εμποδίζουν την κίνηση του σώματος στο χώρο. Το σώμα, επιδιώκοντας υπό τη δράση των εφαρμοζόμενων δυνάμεων να κινηθεί, η οποία εμποδίζεται από τη σύνδεση, θα ενεργήσει πάνω του με μια ορισμένη δύναμη που ονομάζεται δύναμη πίεσης στη σύνδεση . Σύμφωνα με το νόμο της ισότητας δράσης και αντίδρασης, η σύνδεση θα ενεργήσει στο σώμα με τον ίδιο συντελεστή, αλλά αντίθετα κατευθυνόμενη δύναμη.
Η δύναμη με την οποία αυτή η σύνδεση δρα στο σώμα, εμποδίζοντας τη μία ή την άλλη κίνηση, ονομάζεται η δύναμη αντίδρασης (αντίδραση) του δεσμού .
Μία από τις θεμελιώδεις αρχές της μηχανικής είναι αρχή της απελευθέρωσης : οποιοδήποτε μη ελεύθερο σώμα μπορεί να θεωρηθεί ελεύθερο, αν απορρίψουμε τους δεσμούς και αντικαταστήσουμε τη δράση τους με τις αντιδράσεις των δεσμών.

Η αντίδραση του δεσμού κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από εκεί που ο δεσμός δεν επιτρέπει στο σώμα να κινηθεί. Οι κύριοι τύποι δεσμών και οι αντιδράσεις τους φαίνονται στον Πίνακα 1.1.

Πίνακας 1.1

Τύποι δεσμών και οι αντιδράσεις τους

Όνομα επικοινωνίας

Σύμβολο

Λεία επιφάνεια (στήριγμα) - η επιφάνεια (στήριγμα), η τριβή στην οποία μπορεί να παραμεληθεί το δεδομένο σώμα.
Με δωρεάν υποστήριξη, η αντίδρασηκατευθύνεται κάθετα στην εφαπτομένη μέσω του σημείουΑΛΛΑ επαφή με το σώμα1 με επιφάνεια στήριξης2 .

Κλωστή (εύκαμπτο, μη εκτάσιμο). Η σύνδεση, που γίνεται με τη μορφή μη εκτατού νήματος, δεν επιτρέπει στο σώμα να απομακρυνθεί από το σημείο ανάρτησης. Επομένως, η αντίδραση του νήματος κατευθύνεται κατά μήκος του νήματος μέχρι το σημείο της ανάρτησής του.

αβαρής ράβδος – μια ράβδος, το βάρος της οποίας μπορεί να παραμεληθεί σε σύγκριση με το αντιληπτό φορτίο.
Η αντίδραση μιας αβαρούς αρθρωτής ευθύγραμμης ράβδου κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα της ράβδου.

Κινητός μεντεσέ, αρθρωτό κινητό στήριγμα. Η αντίδραση κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επιφάνεια στήριξης.

Άκαμπτο κλείσιμο. Στο επίπεδο της άκαμπτης ενσωμάτωσης θα υπάρχουν δύο συστατικά της αντίδρασης, και στιγμή ενός ζεύγους δυνάμεων, που εμποδίζει τη στροφή της δοκού1 σε σχέση με το σημείοΑΛΛΑ .
Μια άκαμπτη προσάρτηση στο διάστημα αφαιρεί και τους έξι βαθμούς ελευθερίας από το σώμα 1 - τρεις μετατοπίσεις κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων και τρεις περιστροφές γύρω από αυτούς τους άξονες.
Θα υπάρχουν τρία στοιχεία στη χωρική άκαμπτη ενσωμάτωση, , και τρεις στιγμές ζευγαριών δυνάμεων.

Σύστημα συγκλίνουσας δύναμης

Ένα σύστημα συγκλίνουσας δύναμης ονομάζεται σύστημα δυνάμεων των οποίων οι γραμμές δράσης τέμνονται σε ένα σημείο. Δύο δυνάμεις που συγκλίνουν σε ένα σημείο, σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα της στατικής, μπορούν να αντικατασταθούν από μία δύναμη -επακόλουθο .
Το κύριο διάνυσμα του συστήματος δυνάμεων - τιμή ίση με το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων του συστήματος.

Το αποτέλεσμα ενός συστήματος επιπέδου συγκλίνουσας δυνάμεων μπορεί να οριστείγραφικά Και αναλυτικά.

Προσθήκη συστήματος δυνάμεων . Η προσθήκη ενός επίπεδου συστήματος συγκλίνουσων δυνάμεων πραγματοποιείται είτε με διαδοχική προσθήκη δυνάμεων με την κατασκευή ενός ενδιάμεσου προκύπτοντος (Εικ. 1.5), είτε με κατασκευή ενός πολυγώνου δυνάμεων (Εικ. 1.6).

Εικόνα 1.5Εικόνα 1.6

Προβολή Δύναμης στον Άξονα - αλγεβρικό μέγεθος ίσο με το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της δύναμης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.
ΠροβολήφάΧ(εικ.1.7) δυνάμεις ανά άξονα Χθετικό αν το α είναι οξύ, αρνητικό αν το α είναι αμβλύ. Αν δύναμηείναι κάθετη στον άξονα, τότε η προβολή του στον άξονα είναι μηδέν.

Εικόνα 1.7

Προβολή δύναμης σε αεροπλάνο Ωχ– διάνυσμα , που συνάπτεται μεταξύ των προβολών της αρχής και του τέλους της δύναμηςσε αυτό το αεροπλάνο. Εκείνοι. η προβολή της δύναμης στο επίπεδο είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, που χαρακτηρίζεται όχι μόνο από μια αριθμητική τιμή, αλλά και από την κατεύθυνση στο επίπεδοΩχ (Εικ. 1.8).

Εικόνα 1.8

Στη συνέχεια, η ενότητα προβολήςστο αεροπλάνο Ωχ θα ισούται με:

φάxy = Φ cosα,

όπου α είναι η γωνία μεταξύ της κατεύθυνσης της δύναμηςκαι την προβολή του.
Αναλυτικός τρόπος προσδιορισμού δυνάμεων . Για την αναλυτική μέθοδο ρύθμισης της δύναμηςείναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα σύστημα αξόνων συντεταγμένωνΩζ, σε σχέση με το οποίο θα προσδιοριστεί η φορά της δύναμης στο χώρο.
Ένα διάνυσμα που απεικονίζει τη δύναμη, μπορεί να κατασκευαστεί αν είναι γνωστά ο συντελεστής αυτής της δύναμης και οι γωνίες α, β, γ που σχηματίζει η δύναμη με τους άξονες συντεταγμένων. ΤελείαΑΛΛΑεφαρμογή βίας ορίζεται χωριστά από τις συντεταγμένες τουΧ, στο, z. Μπορείτε να ρυθμίσετε τη δύναμη από τις προβολές τηςfx, fy, fzστους άξονες συντεταγμένων. Το μέτρο δύναμης σε αυτή την περίπτωση καθορίζεται από τον τύπο:

και συνημίτονα κατεύθυνσης:

, .

Αναλυτική μέθοδος πρόσθεσης δυνάμεων : η προβολή του διανύσματος αθροίσματος σε κάποιον άξονα είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών των όρων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα, δηλαδή αν:

έπειτα , , .
Γνωρίζων Rx, Ry, Rz, μπορούμε να ορίσουμε την ενότητα

και συνημίτονα κατεύθυνσης:

, , .

Εικόνα 1.9

Για την ισορροπία ενός συστήματος συγκλίνουσων δυνάμεων, είναι απαραίτητο και αρκετό το αποτέλεσμα αυτών των δυνάμεων να είναι ίσο με μηδέν.
1) Συνθήκη γεωμετρικής ισορροπίας για συγκλίνον σύστημα δυνάμεων : για την ισορροπία ενός συστήματος συγκλίνουσων δυνάμεων, είναι απαραίτητο και επαρκές το πολύγωνο δύναμης που κατασκευάζεται από αυτές τις δυνάμεις

έκλεισε (το τέλος του διανύσματος του τελευταίου όρου

η δύναμη πρέπει να συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος του πρώτου όρου της δύναμης). Τότε το κύριο διάνυσμα του συστήματος δυνάμεων θα είναι ίσο με μηδέν ()
2) Αναλυτικές συνθήκες ισορροπίας . Η ενότητα του κύριου διανύσματος του συστήματος δυνάμεων καθορίζεται από τον τύπο. =0. Στο βαθμό που , τότε η έκφραση ρίζας μπορεί να είναι ίση με μηδέν μόνο εάν κάθε όρος εξαφανιστεί ταυτόχρονα, δηλ.

Rx= 0, Ράι= 0, R z = 0.

Επομένως, για την ισορροπία του χωρικού συστήματος των συγκλίνουσων δυνάμεων, είναι απαραίτητο και αρκετό τα αθροίσματα των προβολών αυτών των δυνάμεων σε καθεμία από τις τρεις συντεταγμένες των αξόνων να είναι ίσα με μηδέν:

Για την ισορροπία ενός επίπεδου συστήματος συγκλίνουσων δυνάμεων, είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα των προβολών των δυνάμεων σε καθέναν από τους δύο άξονες συντεταγμένων να είναι ίσο με μηδέν:

Πρόσθεση δύο παράλληλων δυνάμεων στην ίδια κατεύθυνση.

Εικόνα 1.9

Δύο παράλληλες δυνάμεις που κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση μειώνονται σε μία προκύπτουσα δύναμη παράλληλη προς αυτές και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση. Το μέγεθος του προκύπτοντος είναι ίσο με το άθροισμα των μεγεθών αυτών των δυνάμεων και το σημείο εφαρμογής του C διαιρεί την απόσταση μεταξύ των γραμμών δράσης των δυνάμεων εσωτερικά σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα με τα μεγέθη αυτών των δυνάμεων, δηλαδή

Β Α Γ

R=F 1 +F 2

Η προσθήκη δύο άνισων παράλληλων δυνάμεων που κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Δύο άνισες αντιπαράλληλες δυνάμεις μειώνονται σε μία προκύπτουσα δύναμη παράλληλη προς αυτές και κατευθύνονται προς τη μεγαλύτερη δύναμη. Το μέγεθος του προκύπτοντος είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των μεγεθών αυτών των δυνάμεων και το σημείο εφαρμογής του, C, διαιρεί την απόσταση μεταξύ των γραμμών δράσης των δυνάμεων εξωτερικά σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα με τα μεγέθη αυτών των δυνάμεων, που είναι

Ζεύγος δυνάμεων και ροπή δύναμης περίπου ένα σημείο.

Στιγμή δύναμης σε σχέση με το σημείο Ο ονομάζεται, λαμβανόμενο με το κατάλληλο πρόσημο, το γινόμενο του μεγέθους της δύναμης κατά την απόσταση h από το σημείο Ο έως τη γραμμή δράσης της δύναμης . Αυτό το προϊόν λαμβάνεται με ένα σύμβολο συν εάν η δύναμη τείνει να περιστρέφει το σώμα αριστερόστροφα, και με το σύμβολο - αν η δύναμη τείνει να περιστρέφει το σώμα κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, δηλαδή . Το μήκος της κάθετης h λέγεταιώμο δύναμης σημείο Ο. Η επίδραση της δράσης της δύναμης δηλ. η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος είναι μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος της ροπής δύναμης.

Εικόνα 1.11

Μια δυο δυνάμεις Σύστημα ονομάζεται σύστημα που αποτελείται από δύο παράλληλες δυνάμεις ίσου μεγέθους, που κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Η απόσταση h μεταξύ των γραμμών δράσης των δυνάμεων ονομάζεταιζευγάρια ώμων . Στιγμή ενός ζεύγους δυνάμεων m(F,F") είναι το γινόμενο της τιμής μιας από τις δυνάμεις που απαρτίζουν το ζεύγος και του βραχίονα του ζεύγους, που λαμβάνονται με το κατάλληλο πρόσημο.

Γράφεται ως εξής: m(F, F")= ± F × h, όπου το γινόμενο λαμβάνεται με πρόσημο συν εάν το ζεύγος δυνάμεων τείνει να περιστρέφει το σώμα αριστερόστροφα και με πρόσημο μείον εάν το ζεύγος δυνάμεων τείνει για να περιστρέψετε το σώμα δεξιόστροφα.

Το θεώρημα για το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ενός ζεύγους.

Το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων του ζεύγους (F,F") ως προς οποιοδήποτε σημείο 0 που λαμβάνεται στο επίπεδο δράσης του ζεύγους δεν εξαρτάται από την επιλογή αυτού του σημείου και είναι ίσο με τη ροπή του ζεύγους.

Θεώρημα για ισοδύναμα ζεύγη. Συνέπειες.

Θεώρημα. Δύο ζεύγη των οποίων οι ροπές είναι ίσες μεταξύ τους είναι ισοδύναμα, δηλ. (F, F") ~ (P, P")

Συμπέρασμα 1 . Ένα ζεύγος δυνάμεων μπορεί να μεταφερθεί σε οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο δράσης του, καθώς και να περιστραφεί σε οποιαδήποτε γωνία και να αλλάξει τον βραχίονα και το μέγεθος των δυνάμεων του ζεύγους, διατηρώντας παράλληλα τη ροπή του ζεύγους.

Συνέπεια 2. Ένα ζεύγος δυνάμεων δεν έχει αποτέλεσμα και δεν μπορεί να εξισορροπηθεί από μία δύναμη που βρίσκεται στο επίπεδο του ζεύγους.

Εικόνα 1.12

Συνθήκη πρόσθεσης και ισορροπίας για ένα σύστημα ζευγών σε ένα επίπεδο.

1. Θεώρημα για την πρόσθεση ζευγών που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ένα σύστημα ζευγών, που βρίσκεται αυθαίρετα στο ίδιο επίπεδο, μπορεί να αντικατασταθεί από ένα ζεύγος, η ροπή του οποίου είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αυτών των ζευγών.

2. Θεώρημα για την ισορροπία συστήματος ζευγών σε επίπεδο.

Προκειμένου ένα απολύτως άκαμπτο σώμα να βρίσκεται σε ηρεμία υπό τη δράση ενός συστήματος ζευγών, που βρίσκεται αυθαίρετα στο ίδιο επίπεδο, είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα των ροπών όλων των ζευγών να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή

Κέντρο βαρύτητας

Η δύναμη της βαρύτητας - το αποτέλεσμα των δυνάμεων έλξης προς τη Γη, που κατανέμονται σε ολόκληρο τον όγκο του σώματος.

Κέντρο βάρους του σώματος - αυτό είναι ένα τέτοιο σημείο, που συνδέεται πάντα με αυτό το σώμα, μέσω του οποίου διέρχεται η γραμμή δράσης της δύναμης βαρύτητας ενός δεδομένου σώματος σε οποιαδήποτε θέση του σώματος στο διάστημα.

Μέθοδοι εύρεσης του κέντρου βάρους

1. Μέθοδος συμμετρίας:

1.1. Εάν ένα ομοιογενές σώμα έχει ένα επίπεδο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο

1.2. Εάν ένα ομοιογενές σώμα έχει άξονα συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα. Το κέντρο βάρους ενός ομοιογενούς σώματος επανάστασης βρίσκεται στον άξονα της επανάστασης.

1.3 Αν ένα ομογενές σώμα έχει δύο άξονες συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους βρίσκεται στο σημείο τομής τους.

2. Μέθοδος διαχωρισμού: Το σώμα χωρίζεται στο μικρότερο αριθμό μερών, των οποίων οι δυνάμεις βαρύτητας και η θέση των κέντρων βάρους είναι γνωστές.

3. Μέθοδος αρνητικών μαζών: Κατά τον προσδιορισμό του κέντρου βάρους ενός σώματος με ελεύθερες κοιλότητες, θα πρέπει να χρησιμοποιείται η μέθοδος διαχωρισμού, αλλά η μάζα των ελεύθερων κοιλοτήτων να θεωρείται αρνητική.

Συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας επίπεδης φιγούρας:

Οι θέσεις των κέντρων βάρους απλών γεωμετρικών σχημάτων μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους. (Εικόνα 1.13)

Σημείωση: Το κέντρο βάρους της συμμετρίας του σχήματος βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας.

Το κέντρο βάρους της ράβδου βρίσκεται στο μέσο του ύψους.

1.2. Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων

Παράδειγμα 1: Ένα βάρος αιωρείται σε μια ράβδο και βρίσκεται σε ισορροπία. Προσδιορίστε τις δυνάμεις στη ράβδο. (Εικόνα 1.2.1)

Λύση:

Οι δυνάμεις που προκύπτουν στις ράβδους στερέωσης είναι ίσες σε μέγεθος με τις δυνάμεις με τις οποίες οι ράβδοι υποστηρίζουν το φορτίο. (5ο αξίωμα)

Καθορίζουμε τις πιθανές κατευθύνσεις των αντιδράσεων των δεσμών «άκαμπτες ράβδοι».

Οι προσπάθειες κατευθύνονται κατά μήκος των ράβδων.

Εικόνα 1.2.1.

Ας απελευθερώσουμε το σημείο Α από τους δεσμούς, αντικαθιστώντας τη δράση των δεσμών με τις αντιδράσεις τους. (Εικόνα 1.2.2)

Ας ξεκινήσουμε την κατασκευή με γνωστή δύναμη σχεδιάζοντας ένα διάνυσμαφάσε κάποια κλίμακα.

Από το τέλος του διανύσματοςφάσχεδιάστε γραμμές παράλληλες με τις αντιδράσειςR 1 ΚαιR 2 .

Εικόνα 1.2.2

Τέμνοντας, οι γραμμές δημιουργούν ένα τρίγωνο. (Εικόνα 1.2.3.). Γνωρίζοντας την κλίμακα των κατασκευών και μετρώντας το μήκος των πλευρών του τριγώνου, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το μέγεθος των αντιδράσεων στις ράβδους.

Για πιο ακριβείς υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε γεωμετρικές σχέσεις, ειδικότερα, το ημιτονικό θεώρημα: ο λόγος της πλευράς του τριγώνου προς το ημίτονο της αντίθετης γωνίας είναι σταθερή τιμή

Για αυτή την περίπτωση:

Εικόνα 1.2.3

Σχόλιο: Εάν η κατεύθυνση του διανύσματος (αντίδραση σύζευξης) σε ένα δεδομένο σχήμα και στο τρίγωνο των δυνάμεων δεν συμπίπτει, τότε η αντίδραση στο σχήμα θα πρέπει να κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Παράδειγμα 2: Προσδιορίστε το μέγεθος και την κατεύθυνση του προκύπτοντος επίπεδου συστήματος συγκλίνων δυνάμεων με αναλυτικό τρόπο.

Λύση:

Εικόνα 1.2.4

1. Καθορίζουμε τις προβολές όλων των δυνάμεων του συστήματος στο Ox (Εικόνα 1.2.4)

Προσθέτοντας αλγεβρικά τις προβολές, παίρνουμε την προβολή του προκύπτοντος στον άξονα Ox.

Το σύμβολο υποδεικνύει ότι το αποτέλεσμα κατευθύνεται προς τα αριστερά.

2. Καθορίζουμε τις προβολές όλων των δυνάμεων στον άξονα Oy:

Προσθέτοντας αλγεβρικά τις προβολές, παίρνουμε την προβολή του προκύπτοντος στον άξονα Oy.

Το σύμβολο υποδεικνύει ότι το προκύπτον έχει κατεύθυνση προς τα κάτω.

3. Προσδιορίστε το μέτρο του προκύπτοντος από τα μεγέθη των προβολών:

4. Προσδιορίστε την τιμή της γωνίας του προκύπτοντος με τον άξονα Ox:

και την τιμή της γωνίας με τον άξονα y:

Παράδειγμα 3: Υπολογίστε το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων σε σχέση με το σημείο Ο (Εικόνα 1.2.6).

ΟΑ= ΑΒ= ΣΕD=DE=CB=2Μ

Εικόνα 1.2.6

Λύση:

1. Η ροπή της δύναμης σε σχέση με ένα σημείο είναι αριθμητικά ίση με το γινόμενο του δομοστοιχείου και του βραχίονα της δύναμης.

2. Η ροπή της δύναμης είναι ίση με μηδέν αν η γραμμή δράσης της δύναμης διέρχεται από ένα σημείο.

Παράδειγμα 4: Προσδιορίστε τη θέση του κέντρου βάρους του σχήματος που φαίνεται στο σχήμα 1.2.7

Λύση:

Χωρίζουμε το σχήμα σε τρία:

1-ορθογώνιο

ΑΛΛΑ 1 =10*20=200εκ 2

2-τρίγωνο

ΑΛΛΑ 2 =1/2*10*15=75εκ 2

3-γύροι

ΑΛΛΑ 3 =3,14*3 2 =28,3 εκ 2

Εικόνα 1 CG: x 1 =10cm, y 1 = 5 εκ

Εικόνα 2 CG: x 2 =20+1/3*15=25cm, υ 2 =1/3*10=3,3εκ

Εικόνα 3 CG: x 3 =10cm, y 3 = 5 εκ

Ορίζεται ομοίως για από =4,5 εκ

Κινηματική: βασικές έννοιες.

Βασικές κινηματικές παράμετροι

Τροχιά - η γραμμή που σκιαγραφεί ένα υλικό σημείο όταν κινείται στο χώρο. Η τροχιά μπορεί να είναι μια ευθεία γραμμή και μια καμπύλη, μια επίπεδη και μια χωρική γραμμή.

Εξίσωση τροχιάς για επίπεδη κίνηση: y =φά ( Χ)

Διανυθείσα απόσταση. Η διαδρομή μετριέται κατά μήκος της διαδρομής προς την κατεύθυνση του ταξιδιού. Ονομασία -μικρό, μονάδες μέτρησης - μέτρα.

Εξίσωση σημειακής κίνησης είναι μια εξίσωση που καθορίζει τη θέση ενός κινούμενου σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο.

Εικόνα 2.1

Η θέση ενός σημείου σε κάθε χρονική στιγμή μπορεί να προσδιοριστεί από την απόσταση που διανύθηκε κατά μήκος της τροχιάς από κάποιο σταθερό σημείο, που θεωρείται ως η αρχή (Εικόνα 2.1). Αυτό το είδος κίνησης ονομάζεταιφυσικός . Έτσι, η εξίσωση της κίνησης μπορεί να αναπαρασταθεί ως S = f (t).

Εικόνα 2.2

Η θέση ενός σημείου μπορεί επίσης να προσδιοριστεί εάν οι συντεταγμένες του είναι γνωστές ως συνάρτηση του χρόνου (Εικόνα 2.2). Τότε, στην περίπτωση κίνησης σε επίπεδο, πρέπει να δοθούν δύο εξισώσεις:

Στην περίπτωση της χωρικής κίνησης προστίθεται και τρίτη συντεταγμένηz= φά 3 ( t)

Αυτό το είδος κίνησης ονομάζεταισυντεταγμένη .

Ταχύτητα ταξιδιού είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που χαρακτηρίζει τη στιγμή την ταχύτητα και την κατεύθυνση της κίνησης κατά μήκος της τροχιάς.

Η ταχύτητα είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται ανά πάσα στιγμή εφαπτομενικά στην τροχιά προς την κατεύθυνση της κίνησης (Εικόνα 2.3).

Εικόνα 2.3

Αν ένα σημείο καλύπτει ίσες αποστάσεις σε ίσα χρονικά διαστήματα, τότε η κίνηση ονομάζεταιστολή .

Μέση ταχύτητα στο δρόμο Δμικρόορίζεται:

όπου∆S- απόσταση που διανύθηκε σε χρόνο Δt; Δ t- χρονικό διάστημα.

Εάν ένα σημείο διανύει άνισες διαδρομές σε ίσα χρονικά διαστήματα, τότε η κίνηση ονομάζεταιάνισος . Σε αυτή την περίπτωση, η ταχύτητα είναι μεταβλητή και εξαρτάται από το χρόνοv= φά( t)

Η τρέχουσα ταχύτητα ορίζεται ως

σημειακή επιτάχυνση - ένα διανυσματικό μέγεθος που χαρακτηρίζει τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας σε μέγεθος και κατεύθυνση.

Η ταχύτητα ενός σημείου όταν κινείται από το σημείο M1 στο σημείο Mg αλλάζει σε μέγεθος και κατεύθυνση. Η μέση τιμή της επιτάχυνσης για αυτή τη χρονική περίοδο

Τρέχουσα επιτάχυνση:

Συνήθως, για λόγους ευκολίας, εξετάζονται δύο αμοιβαία κάθετες συνιστώσες επιτάχυνσης: η κανονική και η εφαπτομενική (Εικόνα 2.4)

Κανονική επιτάχυνση α n , χαρακτηρίζει τη μεταβολή της ταχύτητας κατά

κατεύθυνση και ορίζεται ως

Η κανονική επιτάχυνση κατευθύνεται πάντα κάθετα προς την ταχύτητα προς το κέντρο του τόξου.

Εικόνα 2.4

Εφαπτομενική επιτάχυνση α t , χαρακτηρίζει τη μεταβολή της ταχύτητας σε μέγεθος και κατευθύνεται πάντα εφαπτομενικά στην τροχιά. κατά την επιτάχυνση, η διεύθυνσή του συμπίπτει με την κατεύθυνση της ταχύτητας και κατά την επιβράδυνση, κατευθύνεται αντίθετα από την κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας.

Η πλήρης τιμή επιτάχυνσης ορίζεται ως:

Ανάλυση τύπων και κινηματικών παραμέτρων κινήσεων

Ομοιόμορφη κίνηση - Αυτή είναι μια κίνηση με σταθερή ταχύτητα:

Για ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση:

Για καμπυλόγραμμη ομοιόμορφη κίνηση:

Νόμος της ομοιόμορφης κίνησης :

Κίνηση ίσης μεταβλητής – είναι μια κίνηση με σταθερή εφαπτομενική επιτάχυνση:

Για ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση

Για καμπυλόγραμμη ομοιόμορφη κίνηση:

Νόμος ομοιόμορφης κίνησης:

Κινηματικές γραφικές παραστάσεις

Κινηματικές γραφικές παραστάσεις - Αυτά είναι γραφήματα αλλαγών στη διαδρομή, την ταχύτητα και την επιτάχυνση ανάλογα με το χρόνο.

Ομοιόμορφη κίνηση (Εικόνα 2.5)

Εικόνα 2.5

Κίνηση ίσης μεταβλητής (εικόνα 2.6)

Εικόνα 2.6

Οι απλούστερες κινήσεις ενός άκαμπτου σώματος

Κίνηση προς τα εμπρός ονομάζεται η κίνηση ενός άκαμπτου σώματος, στο οποίο οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησης παραμένει παράλληλη με την αρχική του θέση (Εικόνα 2.7)

Εικόνα 2.7

Στη μεταφορική κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος κινούνται με τον ίδιο τρόπο: οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις είναι ίδιες κάθε στιγμή.

Στοπεριστροφική κίνηση όλα τα σημεία του σώματος περιγράφουν κύκλους γύρω από έναν κοινό σταθερό άξονα.

Ο σταθερός άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφονται όλα τα σημεία του σώματος ονομάζεταιάξονα περιστροφής.

Για να περιγράψει την περιστροφική κίνηση ενός σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα, μόνογωνιακές επιλογές. (Εικόνα 2.8)

φ είναι η γωνία περιστροφής του σώματος.

ω – γωνιακή ταχύτητα, καθορίζει τη μεταβολή της γωνίας περιστροφής ανά μονάδα χρόνου.

Η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας με το χρόνο καθορίζεται από τη γωνιακή επιτάχυνση:

2.2. Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων

Παράδειγμα 1: Δίνεται η εξίσωση κίνησης ενός σημείου. Προσδιορίστε την ταχύτητα του σημείου στο τέλος του τρίτου δευτερολέπτου της κίνησης και τη μέση ταχύτητα για τα πρώτα τρία δευτερόλεπτα.

Λύση:

1. Εξίσωση ταχύτητας

2. Ταχύτητα στο τέλος του τρίτου δευτερολέπτου (t=3 ντο)

3. Μέση ταχύτητα

Παράδειγμα 2: Σύμφωνα με τον δεδομένο νόμο της κίνησης, προσδιορίστε το είδος της κίνησης, την αρχική ταχύτητα και την εφαπτομενική επιτάχυνση του σημείου, το χρόνο για να σταματήσει.

Λύση:

1. Τύπος κίνησης: εξίσου μεταβλητός ()
2. Κατά τη σύγκριση των εξισώσεων, είναι προφανές ότι

- η αρχική διαδρομή που διανύθηκε πριν από την έναρξη της αντίστροφης μέτρησης 10 μέτρα.

- αρχική ταχύτητα 20m/s

- σταθερή εφαπτομενική επιτάχυνση

- η επιτάχυνση είναι αρνητική, επομένως, η κίνηση είναι αργή, η επιτάχυνση κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από την ταχύτητα κίνησης.

3. Μπορείτε να προσδιορίσετε το χρόνο κατά τον οποίο η ταχύτητα του σημείου θα είναι ίση με μηδέν.

3. Δυναμική: βασικές έννοιες και αξιώματα

Δυναμική - ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής στο οποίο δημιουργείται μια σύνδεση μεταξύ της κίνησης των σωμάτων και των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτά.

Στη δυναμική, επιλύονται δύο είδη προβλημάτων:

προσδιορίστε τις παραμέτρους κίνησης σύμφωνα με τις δεδομένες δυνάμεις.

προσδιορίστε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, σύμφωνα με τις δεδομένες κινηματικές παραμέτρους της κίνησης.

Κάτω απόυλικό σημείο υπονοούν ένα ορισμένο σώμα που έχει μια ορισμένη μάζα (δηλαδή περιέχει μια ορισμένη ποσότητα ύλης), αλλά δεν έχει γραμμικές διαστάσεις (ένας απειροελάχιστος όγκος χώρου).
απομονωμένος θεωρείται ένα υλικό σημείο, το οποίο δεν επηρεάζεται από άλλα υλικά σημεία. Στον πραγματικό κόσμο, μεμονωμένα υλικά σημεία, όπως μεμονωμένα σώματα, δεν υπάρχουν, αυτή η έννοια είναι υπό όρους.

Με τη μεταφορική κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος κινούνται με τον ίδιο τρόπο, οπότε το σώμα μπορεί να ληφθεί ως υλικό σημείο.

Αν οι διαστάσεις του σώματος είναι μικρές σε σχέση με την τροχιά, μπορεί να θεωρηθεί και ως υλικό σημείο, ενώ το σημείο συμπίπτει με το κέντρο βάρους του σώματος.

Κατά την περιστροφική κίνηση του σώματος, τα σημεία μπορεί να μην κινούνται με τον ίδιο τρόπο, σε αυτήν την περίπτωση, ορισμένες διατάξεις της δυναμικής μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε μεμονωμένα σημεία και το υλικό αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί ως σύνολο υλικών σημείων.

Επομένως, η δυναμική χωρίζεται στη δυναμική ενός σημείου και στη δυναμική ενός υλικού συστήματος.

Αξιώματα δυναμικής

Πρώτο αξίωμα ( αρχή της αδράνειας): σε οποιοδήποτε απομονωμένο υλικό σημείο βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφης και ευθύγραμμης κίνησης έως ότου οι ασκούμενες δυνάμεις το βγάλουν από αυτή την κατάσταση.

Αυτή η κατάσταση ονομάζεται κράτοςαδράνεια. Αφαιρέστε το σημείο από αυτήν την κατάσταση, δηλ. δώστε του κάποια επιτάχυνση, ίσως μια εξωτερική δύναμη.

Κάθε σώμα (σημείο) έχειαδράνεια. Το μέτρο της αδράνειας είναι η μάζα του σώματος.

Μάζα που ονομάζεταιτην ποσότητα της ύλης σε ένα σώμα στην κλασική μηχανική, θεωρείται σταθερή τιμή. Η μονάδα μάζας είναι το κιλό (kg).

Δεύτερο αξίωμα (Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα είναι ο βασικός νόμος της δυναμικής)

F=ma

όπουΤ - σημειακή μάζα, kg;αλλά - σημειακή επιτάχυνση, m/s 2 .

Η επιτάχυνση που προσδίδεται σε ένα υλικό σημείο από μια δύναμη είναι ανάλογη με το μέγεθος της δύναμης και συμπίπτει με την κατεύθυνση της δύναμης.

Η βαρύτητα δρα σε όλα τα σώματα στη Γη, μεταδίδει στο σώμα την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης, κατευθυνόμενη προς το κέντρο της Γης:

G=mg

όπουσολ- 9,81 m/s², επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης.

Τρίτο αξίωμα (τρίτος νόμος του Νεύτωνα): μεΟι δυνάμεις αλληλεπίδρασης δύο σωμάτων είναι ίσες σε μέγεθος και κατευθύνονται κατά μήκος της ίδιας ευθείας προς διαφορετικές κατευθύνσεις.

Όταν αλληλεπιδρούν, οι επιταχύνσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες με τις μάζες.

Τέταρτο αξίωμα (νόμος ανεξαρτησίας δράσης δυνάμεων): ναΚάθε δύναμη του συστήματος δυνάμεων ενεργεί όπως θα ενεργούσε μόνη της.

Η επιτάχυνση που προσδίδεται στο σημείο από το σύστημα δυνάμεων είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα των επιταχύνσεων που προσδίδονται στο σημείο από κάθε δύναμη χωριστά (Εικόνα 3.1):

Εικόνα 3.1

Η έννοια της τριβής. Τύποι τριβής.

Τριβή- αντίσταση που προκύπτει από την κίνηση ενός τραχιού σώματος στην επιφάνεια ενός άλλου. Η τριβή ολίσθησης οδηγεί σε τριβή ολίσθησης και η τριβή κύλισης οδηγεί σε τριβή ταλάντωσης.

Τριβή ολίσθησης

Εικόνα 3.2.

Ο λόγος είναι η μηχανική εμπλοκή των προεξοχών. Η δύναμη αντίστασης στην κίνηση κατά την ολίσθηση ονομάζεται δύναμη τριβής ολίσθησης (Εικόνα 3.2).

Νόμοι της τριβής ολίσθησης:

1. Η δύναμη της τριβής ολίσθησης είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη της κανονικής πίεσης:

όπουR- δύναμη κανονικής πίεσης, κατευθυνόμενη κάθετα στην επιφάνεια στήριξης.φά- συντελεστής τριβής ολίσθησης.

Εικόνα 3.3.

Στην περίπτωση σώματος που κινείται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου (Εικόνα 3.3)

τριβή κύλισης

Η αντίσταση κύλισης σχετίζεται με την αμοιβαία παραμόρφωση του εδάφους και του τροχού και είναι πολύ μικρότερη από την τριβή ολίσθησης.

Για ομοιόμορφη κύλιση του τροχού, είναι απαραίτητη η εφαρμογή δύναμηςφά dv (Εικόνα 3.4)

Η συνθήκη κύλισης του τροχού είναι ότι η ροπή κίνησης δεν πρέπει να είναι μικρότερη από τη ροπή αντίστασης:

Εικόνα 3.4.

Παράδειγμα 1: Παράδειγμα 2: Σε δύο υλικά σημεία μάζαςΜ 1 =2 κιλά καιΜ 2 = 5 κιλά εφαρμόζονται ίσες δυνάμεις. Συγκρίνετε τις τιμές πιο γρήγορα.

Λύση:

Σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα, η δυναμική της επιτάχυνσης είναι αντιστρόφως ανάλογη με τις μάζες:

Παράδειγμα 3: Προσδιορίστε το έργο της βαρύτητας όταν μετακινείτε ένα φορτίο από το σημείο Α στο σημείο Γ κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου (Εικόνα 3. 7). Η δύναμη βαρύτητας του σώματος είναι 1500N. AB=6m, BC=4m.Παράδειγμα 3: Προσδιορίστε το έργο της δύναμης κοπής σε 3 λεπτά. Η ταχύτητα περιστροφής του τεμαχίου εργασίας είναι 120 rpm, η διάμετρος του τεμαχίου είναι 40 mm, η δύναμη κοπής είναι 1 kN. (Εικόνα 3.8)

Λύση:

1. Εργασία με περιστροφική κίνηση:

2. Γωνιακή ταχύτητα 120 σ.α.λ

Εικόνα 3.8.

3. Ο αριθμός των περιστροφών για μια δεδομένη χρονική στιγμή είναιz\u003d 120 * 3 \u003d 360 στροφ.

Γωνία περιστροφής κατά το χρόνο αυτό φ=2πz\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 rad

4. Εργαστείτε για 3 στροφές:W\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

Βιβλιογραφία

Olofinskaya, V.P. "Τεχνική Μηχανική", Μόσχα "Φόρουμ" 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Θεωρητική μηχανική. Αντοχή υλικών.- R-n-D; Φοίνιξ, 2010

Θεωρητική μηχανική- Αυτός είναι ένας κλάδος της μηχανικής, ο οποίος καθορίζει τους βασικούς νόμους της μηχανικής κίνησης και της μηχανικής αλληλεπίδρασης των υλικών σωμάτων.

Η θεωρητική μηχανική είναι μια επιστήμη στην οποία μελετώνται οι κινήσεις των σωμάτων στο χρόνο (μηχανικές κινήσεις). Χρησιμεύει ως βάση για άλλους τομείς της μηχανικής (θεωρία ελαστικότητας, αντίσταση υλικών, θεωρία πλαστικότητας, θεωρία μηχανισμών και μηχανών, υδροαεροδυναμική) και πολλών τεχνικών κλάδων.

μηχανική κίνηση- αυτή είναι μια αλλαγή με την πάροδο του χρόνου στη σχετική θέση στο χώρο των υλικών σωμάτων.

Μηχανική αλληλεπίδραση- αυτή είναι μια τέτοια αλληλεπίδραση, ως αποτέλεσμα της οποίας αλλάζει η μηχανική κίνηση ή αλλάζει η σχετική θέση των μερών του σώματος.

Άκαμπτη στατική σώματος

Στατική- Αυτός είναι ένας κλάδος της θεωρητικής μηχανικής, που ασχολείται με τα προβλήματα ισορροπίας στερεών σωμάτων και τη μετατροπή ενός συστήματος δυνάμεων σε ένα άλλο, ισοδύναμο με αυτό.

Βασικές έννοιες και νόμοι της στατικής

Απόλυτα άκαμπτο σώμα(συμπαγές σώμα, σώμα) είναι ένα υλικό σώμα, η απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε σημείων στα οποία δεν αλλάζει.
Υλικό σημείοείναι ένα σώμα του οποίου οι διαστάσεις, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μπορούν να παραμεληθούν.
χαλαρό σώμαείναι ένα σώμα, στην κίνηση του οποίου δεν επιβάλλονται περιορισμοί.
Μη ελεύθερο (δεσμευμένο) σώμαείναι ένα σώμα του οποίου η κίνηση είναι περιορισμένη.
Συνδέσεις- πρόκειται για σώματα που εμποδίζουν την κίνηση του υπό εξέταση αντικειμένου (ένα σώμα ή ένα σύστημα σωμάτων).
Επικοινωνιακή αντίδρασηείναι μια δύναμη που χαρακτηρίζει τη δράση ενός δεσμού σε ένα άκαμπτο σώμα. Αν θεωρήσουμε τη δύναμη με την οποία ένα άκαμπτο σώμα ενεργεί σε έναν δεσμό ως δράση, τότε η αντίδραση του δεσμού είναι αντεπίδραση. Στην περίπτωση αυτή, η δύναμη - δράση εφαρμόζεται στη σύνδεση, και η αντίδραση της σύνδεσης εφαρμόζεται στο στερεό σώμα.
μηχανικό σύστημαείναι ένα σύνολο διασυνδεδεμένων σωμάτων ή υλικών σημείων.
Στερεόςμπορεί να θεωρηθεί ως ένα μηχανικό σύστημα, οι θέσεις και η απόσταση μεταξύ των σημείων του οποίου δεν αλλάζουν.
Δύναμηείναι ένα διανυσματικό μέγεθος που χαρακτηρίζει τη μηχανική δράση ενός υλικού σώματος σε ένα άλλο.
Η δύναμη ως διάνυσμα χαρακτηρίζεται από το σημείο εφαρμογής, την κατεύθυνση της δράσης και την απόλυτη τιμή. Η μονάδα μέτρησης του συντελεστή δύναμης είναι ο Νεύτωνας.
γραμμή δύναμηςείναι η ευθεία κατά την οποία κατευθύνεται το διάνυσμα δύναμης.
Συγκεντρωμένη Ισχύςείναι η δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα σημείο.
Κατανεμημένες δυνάμεις (κατανεμημένο φορτίο)- πρόκειται για δυνάμεις που δρουν σε όλα τα σημεία του όγκου, της επιφάνειας ή του μήκους του σώματος.
Το κατανεμημένο φορτίο δίνεται από τη δύναμη που ασκεί ανά μονάδα όγκου (επιφάνεια, μήκος).
Η διάσταση του κατανεμημένου φορτίου είναι N / m 3 (N / m 2, N / m).
Εξωτερική δύναμηείναι μια δύναμη που ενεργεί από ένα σώμα που δεν ανήκει στο εξεταζόμενο μηχανικό σύστημα.
εσωτερική δύναμηείναι μια δύναμη που επενεργεί σε ένα υλικό σημείο ενός μηχανικού συστήματος από ένα άλλο υλικό σημείο που ανήκει στο υπό εξέταση σύστημα.
Σύστημα δύναμηςείναι το σύνολο των δυνάμεων που δρουν σε ένα μηχανικό σύστημα.
Επίπεδο σύστημα δυνάμεωνείναι ένα σύστημα δυνάμεων των οποίων οι γραμμές δράσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Χωρικό σύστημα δυνάμεωνείναι ένα σύστημα δυνάμεων των οποίων οι γραμμές δράσης δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Σύστημα συγκλίνουσας δύναμηςείναι ένα σύστημα δυνάμεων των οποίων οι γραμμές δράσης τέμνονται σε ένα σημείο.
Αυθαίρετο σύστημα δυνάμεωνείναι ένα σύστημα δυνάμεων των οποίων οι γραμμές δράσης δεν τέμνονται σε ένα σημείο.
Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων- πρόκειται για συστήματα δυνάμεων, η αντικατάσταση των οποίων το ένα με το άλλο δεν αλλάζει τη μηχανική κατάσταση του σώματος.
Αποδεκτός χαρακτηρισμός: .
ΙσορροπίαΚατάσταση κατά την οποία ένα σώμα παραμένει ακίνητο ή κινείται ομοιόμορφα σε ευθεία γραμμή υπό την επίδραση δυνάμεων.
Ισορροπημένο σύστημα δυνάμεων- αυτό είναι ένα σύστημα δυνάμεων που, όταν εφαρμόζεται σε ένα ελεύθερο στερεό σώμα, δεν αλλάζει τη μηχανική του κατάσταση (δεν το εξισορροπεί).
.
προκύπτουσα δύναμηείναι μια δύναμη της οποίας η δράση σε ένα σώμα είναι ισοδύναμη με τη δράση ενός συστήματος δυνάμεων.
.
Στιγμή δύναμηςείναι μια τιμή που χαρακτηρίζει την περιστροφική ικανότητα της δύναμης.
Δυνατό ζευγάριείναι ένα σύστημα δύο παράλληλων ίσων σε απόλυτη τιμή αντίθετα κατευθυνόμενων δυνάμεων.
Αποδεκτός χαρακτηρισμός: .
Κάτω από τη δράση μερικών δυνάμεων, το σώμα θα εκτελέσει μια περιστροφική κίνηση.
Προβολή Δύναμης στον Άξονα- αυτό είναι ένα τμήμα που περικλείεται μεταξύ των καθέτων που σχεδιάζονται από την αρχή και το τέλος του διανύσματος δύναμης σε αυτόν τον άξονα.
Η προβολή είναι θετική εάν η κατεύθυνση του τμήματος συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα.
Προβολή δύναμης σε αεροπλάνοείναι ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο που περικλείεται μεταξύ των καθέτων που σχεδιάζονται από την αρχή και το τέλος του διανύσματος δύναμης σε αυτό το επίπεδο.
Νόμος 1 (νόμος αδράνειας).Ένα απομονωμένο υλικό σημείο βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται ομοιόμορφα και ευθύγραμμα.
Η ομοιόμορφη και ευθύγραμμη κίνηση ενός υλικού σημείου είναι κίνηση αδράνειας. Η κατάσταση ισορροπίας ενός υλικού σημείου και ενός άκαμπτου σώματος νοείται όχι μόνο ως κατάσταση ηρεμίας, αλλά και ως κίνηση λόγω αδράνειας. Για ένα άκαμπτο σώμα, υπάρχουν διάφοροι τύποι κίνησης αδράνειας, για παράδειγμα, ομοιόμορφη περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα.
Νόμος 2.Ένα άκαμπτο σώμα βρίσκεται σε ισορροπία υπό τη δράση δύο δυνάμεων μόνο εάν αυτές οι δυνάμεις είναι ίσες σε μέγεθος και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις κατά μήκος μιας κοινής γραμμής δράσης.
Αυτές οι δύο δυνάμεις ονομάζονται ισορροπημένες.
Γενικά, οι δυνάμεις λέγονται ισορροπημένες εάν το άκαμπτο σώμα στο οποίο ασκούνται αυτές οι δυνάμεις βρίσκεται σε ηρεμία.
Νόμος 3.Χωρίς να παραβιάζεται η κατάσταση (η λέξη "κατάσταση" εδώ σημαίνει την κατάσταση κίνησης ή ανάπαυσης) ενός άκαμπτου σώματος, μπορεί κανείς να προσθέσει και να απορρίψει δυνάμεις εξισορρόπησης.
Συνέπεια. Χωρίς να διαταραχθεί η κατάσταση ενός άκαμπτου σώματος, η δύναμη μπορεί να μεταφερθεί κατά μήκος της γραμμής δράσης του σε οποιοδήποτε σημείο του σώματος.
Δύο συστήματα δυνάμεων ονομάζονται ισοδύναμα εάν ένα από αυτά μπορεί να αντικατασταθεί από ένα άλλο χωρίς να διαταραχθεί η κατάσταση του άκαμπτου σώματος.
Νόμος 4.Το αποτέλεσμα των δύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σημείο εφαρμόζεται στο ίδιο σημείο, είναι ίσο σε απόλυτη τιμή με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που χτίζεται σε αυτές τις δυνάμεις και κατευθύνεται κατά μήκος αυτού
διαγώνιους.
Ο συντελεστής του προκύπτοντος είναι:
Νόμος 5 (νόμος ισότητας δράσης και αντίδρασης). Οι δυνάμεις με τις οποίες δρουν δύο σώματα μεταξύ τους είναι ίσες σε μέγεθος και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις κατά μήκος μιας ευθείας.
Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι δράση- δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα σι, Και αντιπολίτευση- δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα ΑΛΛΑ, δεν είναι ισορροπημένα, αφού είναι προσκολλημένα σε διαφορετικά σώματα.
Νόμος 6 (ο νόμος της σκλήρυνσης). Η ισορροπία ενός μη στερεού σώματος δεν διαταράσσεται όταν στερεοποιείται.
Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι οι συνθήκες ισορροπίας, που είναι απαραίτητες και επαρκείς για ένα άκαμπτο σώμα, είναι απαραίτητες αλλά ανεπαρκείς για το αντίστοιχο μη άκαμπτο σώμα.
Νόμος 7 (ο νόμος της απαλλαγής από ομόλογα).Ένα μη ελεύθερο στερεό σώμα μπορεί να θεωρηθεί ελεύθερο εάν είναι ψυχικά απαλλαγμένο από δεσμούς, αντικαθιστώντας τη δράση των δεσμών με τις αντίστοιχες αντιδράσεις των δεσμών.

Οι συνδέσεις και οι αντιδράσεις τους

Απαλή επιφάνειαπεριορίζει την κίνηση κατά μήκος της κανονικής προς την επιφάνεια στήριξης. Η αντίδραση κατευθύνεται κάθετα στην επιφάνεια.
Αρθρωτό κινητό στήριγμαπεριορίζει την κίνηση του σώματος κατά μήκος του κανονικού προς το επίπεδο αναφοράς. Η αντίδραση κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επιφάνεια στήριξης.
Αρθρωτό σταθερό στήριγμαεξουδετερώνει κάθε κίνηση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής.
Αρθρωτή ράβδος χωρίς βάροςεξουδετερώνει την κίνηση του σώματος κατά μήκος της γραμμής της ράβδου. Η αντίδραση θα κατευθυνθεί κατά μήκος της γραμμής της ράβδου.
Τυφλός τερματισμόςεξουδετερώνει κάθε κίνηση και περιστροφή στο επίπεδο. Η δράση του μπορεί να αντικατασταθεί από μια δύναμη που παρουσιάζεται με τη μορφή δύο συνιστωσών και ενός ζεύγους δυνάμεων με ροπή.

Κινηματική

Κινηματική- ένα τμήμα της θεωρητικής μηχανικής, το οποίο εξετάζει τις γενικές γεωμετρικές ιδιότητες της μηχανικής κίνησης, ως διαδικασία που συμβαίνει στο χώρο και στο χρόνο. Τα κινούμενα αντικείμενα θεωρούνται γεωμετρικά σημεία ή γεωμετρικά σώματα.

Βασικές έννοιες της κινηματικής

Ο νόμος της κίνησης ενός σημείου (σώματος)είναι η εξάρτηση της θέσης ενός σημείου (σώματος) στο χώρο από το χρόνο.
Σημειακή τροχιάείναι ο τόπος των θέσεων ενός σημείου στο χώρο κατά την κίνησή του.
Σημείο (σώμα) ταχύτητα- αυτό είναι χαρακτηριστικό της αλλαγής του χρόνου της θέσης ενός σημείου (σώματος) στο χώρο.
Σημειακή (σώμα) επιτάχυνση- αυτό είναι χαρακτηριστικό της μεταβολής του χρόνου της ταχύτητας ενός σημείου (σώματος).

Προσδιορισμός των κινηματικών χαρακτηριστικών ενός σημείου

Σημειακή τροχιά
Στο διανυσματικό σύστημα αναφοράς, η τροχιά περιγράφεται με την έκφραση: .
Στο σύστημα αναφοράς συντεταγμένων, η τροχιά καθορίζεται σύμφωνα με το νόμο της σημειακής κίνησης και περιγράφεται από τις εκφράσεις z = f(x,y)στο διάστημα, ή y = f(x)- στο αεροπλάνο.
Σε ένα φυσικό σύστημα αναφοράς, η τροχιά είναι προκαθορισμένη.
Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου σε ένα διανυσματικό σύστημα συντεταγμένων
Όταν καθορίζεται η κίνηση ενός σημείου σε ένα διανυσματικό σύστημα συντεταγμένων, ο λόγος της κίνησης προς το χρονικό διάστημα ονομάζεται μέση τιμή της ταχύτητας σε αυτό το χρονικό διάστημα: .
Λαμβάνοντας το χρονικό διάστημα ως απειροελάχιστη τιμή, προκύπτει η τιμή της ταχύτητας σε μια δεδομένη χρονική στιγμή (η στιγμιαία τιμή της ταχύτητας): .
Το διάνυσμα μέσης ταχύτητας κατευθύνεται κατά μήκος του διανύσματος προς την κατεύθυνση της κίνησης του σημείου, το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά προς την κατεύθυνση της κίνησης του σημείου.
Παραγωγή: η ταχύτητα ενός σημείου είναι ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο με την παράγωγο του νόμου της κίνησης ως προς το χρόνο.
Παράγωγη ιδιότητα: η χρονική παράγωγος οποιασδήποτε τιμής καθορίζει το ρυθμό μεταβολής αυτής της τιμής.
Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου σε ένα σύστημα αναφοράς συντεταγμένων
Ρυθμός αλλαγής συντεταγμένων σημείων:
.
Η ενότητα της πλήρους ταχύτητας ενός σημείου με ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων θα ισούται με:
.
Η κατεύθυνση του διανύσματος ταχύτητας καθορίζεται από τα συνημίτονα των γωνιών διεύθυνσης:
,
όπου είναι οι γωνίες μεταξύ του διανύσματος της ταχύτητας και των αξόνων συντεταγμένων.
Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου σε ένα φυσικό σύστημα αναφοράς
Η ταχύτητα ενός σημείου σε ένα φυσικό σύστημα αναφοράς ορίζεται ως παράγωγος του νόμου της κίνησης ενός σημείου: .
Σύμφωνα με τα προηγούμενα συμπεράσματα, το διάνυσμα της ταχύτητας κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά προς την κατεύθυνση της σημειακής κίνησης και στους άξονες καθορίζεται από μία μόνο προβολή.

Κινηματική άκαμπτου σώματος

Στην κινηματική των άκαμπτων σωμάτων επιλύονται δύο κύρια προβλήματα:
1) καθήκον κίνησης και προσδιορισμού των κινηματικών χαρακτηριστικών του σώματος στο σύνολό του.
2) προσδιορισμός των κινηματικών χαρακτηριστικών των σημείων του σώματος.
Μεταγραφική κίνηση άκαμπτου σώματος
Η μεταγραφική κίνηση είναι μια κίνηση κατά την οποία μια ευθεία γραμμή που διασχίζεται από δύο σημεία του σώματος παραμένει παράλληλη στην αρχική της θέση.
Θεώρημα: στη μεταφορική κίνηση, όλα τα σημεία του σώματος κινούνται κατά τις ίδιες τροχιές και σε κάθε χρονική στιγμή έχουν τις ίδιες ταχύτητες και επιταχύνσεις σε μέγεθος και κατεύθυνση.
Παραγωγή: η μεταφορική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος καθορίζεται από την κίνηση οποιουδήποτε από τα σημεία του, και ως εκ τούτου, το έργο και η μελέτη της κίνησής του ανάγεται στην κινηματική ενός σημείου.
Περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Η περιστροφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι η κίνηση ενός άκαμπτου σώματος στο οποίο δύο σημεία που ανήκουν στο σώμα παραμένουν ακίνητα καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης.
Η θέση του σώματος καθορίζεται από τη γωνία περιστροφής. Η μονάδα μέτρησης μιας γωνίας είναι τα ακτίνια. (Ακτίνιο είναι η κεντρική γωνία ενός κύκλου του οποίου το μήκος τόξου είναι ίσο με την ακτίνα, η πλήρης γωνία του κύκλου περιέχει 2πακτίνιο.)
Ο νόμος της περιστροφικής κίνησης ενός σώματος γύρω από σταθερό άξονα.
Η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του σώματος θα καθοριστούν με τη μέθοδο διαφοροποίησης:
— γωνιακή ταχύτητα, rad/s.
— γωνιακή επιτάχυνση, rad/s².
Αν κόψουμε το σώμα κατά επίπεδο κάθετο στον άξονα, επιλέξτε ένα σημείο στον άξονα περιστροφής ΑΠΟκαι ένα αυθαίρετο σημείο Μ, μετά το σημείο Μθα περιγράψει γύρω από το σημείο ΑΠΟκύκλος ακτίνας R. Στη διάρκεια dtυπάρχει μια στοιχειώδης περιστροφή μέσω της γωνίας , ενώ το σημείο Μθα κινηθεί κατά μήκος της τροχιάς για μια απόσταση .
Μονάδα γραμμικής ταχύτητας:
.
σημειακή επιτάχυνση Μμε γνωστή τροχιά καθορίζεται από τα συστατικά του:
,
όπου .
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τύπους
επιτάχυνση κατά την εφαπτομένη: ;
επιτάχυνση κατά καθετό: .

Δυναμική

Δυναμική- Πρόκειται για κλάδο της θεωρητικής μηχανικής, που μελετά τις μηχανικές κινήσεις των υλικών σωμάτων, ανάλογα με τα αίτια που τις προκαλούν.

Βασικές έννοιες της δυναμικής

αδράνεια- αυτή είναι η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να διατηρούν μια κατάσταση ηρεμίας ή ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση έως ότου οι εξωτερικές δυνάμεις αλλάξουν αυτήν την κατάσταση.
Βάροςείναι ένα ποσοτικό μέτρο της αδράνειας ενός σώματος. Η μονάδα μάζας είναι το κιλό (kg).
Υλικό σημείοείναι ένα σώμα με μάζα, οι διαστάσεις του οποίου παραμελούνται για την επίλυση αυτού του προβλήματος.
Κέντρο μάζας ενός μηχανικού συστήματοςείναι ένα γεωμετρικό σημείο του οποίου οι συντεταγμένες καθορίζονται από τους τύπους:

όπου m k, x k, y k, z k- μάζα και συντεταγμένες κ- αυτό το σημείο του μηχανικού συστήματος, Μείναι η μάζα του συστήματος.
Σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βάρους, η θέση του κέντρου μάζας συμπίπτει με τη θέση του κέντρου βάρους.
Ροπή αδράνειας υλικού σώματος ως προς τον άξοναείναι ένα ποσοτικό μέτρο αδράνειας κατά την περιστροφική κίνηση.
Η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου ως προς τον άξονα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σημείου και το τετράγωνο της απόστασης του σημείου από τον άξονα:
.
Η ροπή αδράνειας του συστήματος (σώματος) ως προς τον άξονα είναι ίση με το αριθμητικό άθροισμα των ροπών αδράνειας όλων των σημείων:
Η δύναμη αδράνειας ενός υλικού σημείουείναι ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας ενός σημείου και της μονάδας επιτάχυνσης και κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα της επιτάχυνσης:
Δύναμη αδράνειας υλικού σώματοςείναι μια διανυσματική ποσότητα ίση σε απόλυτη τιμή με το γινόμενο της μάζας του σώματος και της μονάδας επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του σώματος και κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα επιτάχυνσης του κέντρου μάζας:
όπου είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος.
Στοιχειακή ώθηση δύναμηςείναι ένα διανυσματικό μέγεθος ίσο με το γινόμενο του διανύσματος δύναμης κατά ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστημα dt:
.
Η συνολική ώθηση δύναμης για Δt είναι ίση με το ολοκλήρωμα των στοιχειωδών παλμών:
.
Στοιχειώδες έργο δύναμηςείναι βαθμωτός dA, ίσο με το βαθμωτό

Ως μέρος οποιουδήποτε προγράμματος σπουδών, η μελέτη της φυσικής ξεκινά με τη μηχανική. Όχι από θεωρητική, όχι από εφαρμοσμένη και όχι υπολογιστική, αλλά από παλιά καλή κλασική μηχανική. Αυτή η μηχανική ονομάζεται επίσης Νευτώνεια μηχανική. Σύμφωνα με το μύθο, ο επιστήμονας περπατούσε στον κήπο, είδε ένα μήλο να πέφτει και ήταν αυτό το φαινόμενο που τον ώθησε να ανακαλύψει τον νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας. Φυσικά, ο νόμος υπήρχε πάντα, και ο Νεύτωνας του έδωσε μόνο μια μορφή κατανοητή στους ανθρώπους, αλλά η αξία του είναι ανεκτίμητη. Σε αυτό το άρθρο, δεν θα περιγράψουμε τους νόμους της Νευτώνειας μηχανικής όσο το δυνατόν λεπτομερέστερα, αλλά θα περιγράψουμε τις βασικές αρχές, τις βασικές γνώσεις, τους ορισμούς και τους τύπους που μπορούν πάντα να παίζουν στα χέρια σας.

Η μηχανική είναι ένας κλάδος της φυσικής, μια επιστήμη που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους.

Η ίδια η λέξη είναι ελληνικής προέλευσης και μεταφράζεται ως «η τέχνη της κατασκευής μηχανών». Αλλά πριν κατασκευάσουμε μηχανές, έχουμε ακόμα πολύ δρόμο μπροστά μας, οπότε ας ακολουθήσουμε τα βήματα των προγόνων μας και θα μελετήσουμε την κίνηση των λίθων που ρίχνονται υπό γωνία προς τον ορίζοντα και των μήλων που πέφτουν στα κεφάλια από ύψος h.

Γιατί η μελέτη της φυσικής ξεκινά με τη μηχανική; Επειδή είναι απολύτως φυσικό, να μην το ξεκινάς από τη θερμοδυναμική ισορροπία;!

Η μηχανική είναι μια από τις παλαιότερες επιστήμες και ιστορικά η μελέτη της φυσικής ξεκίνησε ακριβώς με τα θεμέλια της μηχανικής. Τοποθετημένοι στο πλαίσιο του χρόνου και του χώρου, οι άνθρωποι, στην πραγματικότητα, δεν μπορούσαν να ξεκινήσουν από κάτι άλλο, όσο κι αν το ήθελαν. Τα κινούμενα σώματα είναι το πρώτο πράγμα που προσέχουμε.

Τι είναι η κίνηση;

Η μηχανική κίνηση είναι μια αλλαγή στη θέση των σωμάτων στο χώρο σε σχέση μεταξύ τους με την πάροδο του χρόνου.

Μετά από αυτόν τον ορισμό φτάνουμε φυσικά στην έννοια του πλαισίου αναφοράς. Αλλαγή της θέσης των σωμάτων στο διάστημα μεταξύ τους.Λέξεις κλειδιά εδώ: σε σχέση μεταξύ τους . Εξάλλου, ένας επιβάτης σε ένα αυτοκίνητο κινείται σε σχέση με ένα άτομο που στέκεται στην άκρη του δρόμου με συγκεκριμένη ταχύτητα, και ξεκουράζεται σε σχέση με τον γείτονά του σε ένα κοντινό κάθισμα και κινείται με κάποια άλλη ταχύτητα σε σχέση με έναν επιβάτη σε ένα αυτοκίνητο που τους προσπερνά.

Γι' αυτό, για να μετρήσουμε κανονικά τις παραμέτρους των κινούμενων αντικειμένων και να μην μπερδευόμαστε, χρειαζόμαστε σύστημα αναφοράς - άκαμπτα διασυνδεδεμένο σώμα αναφοράς, σύστημα συντεταγμένων και ρολόι. Για παράδειγμα, η γη κινείται γύρω από τον ήλιο σε ένα ηλιοκεντρικό πλαίσιο αναφοράς. Στην καθημερινή ζωή, πραγματοποιούμε σχεδόν όλες τις μετρήσεις μας σε ένα γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς που σχετίζεται με τη Γη. Η γη είναι ένα σώμα αναφοράς σε σχέση με το οποίο κινούνται αυτοκίνητα, αεροπλάνα, άνθρωποι, ζώα.

Η μηχανική, ως επιστήμη, έχει το δικό της έργο. Το καθήκον της μηχανικής είναι να γνωρίζει τη θέση του σώματος στο χώρο ανά πάσα στιγμή. Με άλλα λόγια, η μηχανική κατασκευάζει μια μαθηματική περιγραφή της κίνησης και βρίσκει συνδέσεις μεταξύ των φυσικών μεγεθών που τη χαρακτηρίζουν.

Για να προχωρήσουμε περαιτέρω, χρειαζόμαστε την έννοια του « υλικό σημείο ". Λένε ότι η φυσική είναι μια ακριβής επιστήμη, αλλά οι φυσικοί γνωρίζουν πόσες προσεγγίσεις και υποθέσεις πρέπει να γίνουν για να συμφωνήσουν σε αυτήν ακριβώς την ακρίβεια. Κανείς δεν έχει δει ποτέ ένα υλικό σημείο ή δεν έχει μυρίσει ένα ιδανικό αέριο, αλλά υπάρχουν! Απλώς είναι πολύ πιο εύκολο να ζεις μαζί τους.

Ένα υλικό σημείο είναι ένα σώμα του οποίου το μέγεθος και το σχήμα μπορούν να παραμεληθούν στο πλαίσιο αυτού του προβλήματος.

Τομές κλασικής μηχανικής

Η μηχανική αποτελείται από πολλά τμήματα

Κινηματική
Δυναμική
Στατική

Κινηματικήαπό φυσική άποψη, μελετά πώς ακριβώς κινείται το σώμα. Με άλλα λόγια, αυτή η ενότητα ασχολείται με τα ποσοτικά χαρακτηριστικά της κίνησης. Βρείτε ταχύτητα, διαδρομή - τυπικές εργασίες κινηματικής

Δυναμικήλύνει το ερώτημα γιατί κινείται με τον τρόπο που κινείται. Δηλαδή, θεωρεί τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα.

Στατικήμελετά την ισορροπία των σωμάτων υπό τη δράση δυνάμεων, απαντά δηλαδή στο ερώτημα: γιατί δεν πέφτει καθόλου;

Όρια εφαρμογής της κλασικής μηχανικής

Η κλασική μηχανική δεν ισχυρίζεται πλέον ότι είναι μια επιστήμη που εξηγεί τα πάντα (στις αρχές του περασμένου αιώνα όλα ήταν εντελώς διαφορετικά) και έχει ένα σαφές πεδίο εφαρμογής. Γενικά, οι νόμοι της κλασικής μηχανικής ισχύουν για τον οικείο σε εμάς κόσμο ως προς το μέγεθος (macroworld). Παύουν να λειτουργούν στην περίπτωση του κόσμου των σωματιδίων, όταν η κλασική μηχανική αντικαθίσταται από την κβαντική μηχανική. Επίσης, η κλασική μηχανική είναι ανεφάρμοστη σε περιπτώσεις όπου η κίνηση των σωμάτων γίνεται με ταχύτητα κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα σχετικιστικά φαινόμενα γίνονται έντονα. Σε γενικές γραμμές, στο πλαίσιο της κβαντικής και σχετικιστικής μηχανικής - κλασικής μηχανικής, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση όταν οι διαστάσεις του σώματος είναι μεγάλες και η ταχύτητα μικρή.

Σε γενικές γραμμές, τα κβαντικά και τα σχετικιστικά φαινόμενα δεν εξαφανίζονται ποτέ, αλλά λαμβάνουν χώρα κατά τη συνήθη κίνηση των μακροσκοπικών σωμάτων με ταχύτητα πολύ χαμηλότερη από την ταχύτητα του φωτός. Ένα άλλο πράγμα είναι ότι η δράση αυτών των επιδράσεων είναι τόσο μικρή που δεν υπερβαίνει τις πιο ακριβείς μετρήσεις. Έτσι, η κλασική μηχανική δεν θα χάσει ποτέ τη θεμελιώδη σημασία της.

Θα συνεχίσουμε να μελετάμε τα φυσικά θεμέλια της μηχανικής σε μελλοντικά άρθρα. Για καλύτερη κατανόηση της μηχανικής, μπορείτε πάντα να ανατρέξετε τους συγγραφείς μας, που μεμονωμένα ρίχνουν φως στο σκοτεινό σημείο του πιο δύσκολου εγχειρήματος.

Διαλέξεις Θεωρητικής Μηχανικής

Δυναμική σημείων

Διάλεξη 1

Βασικές έννοιες της δυναμικής

Στο τμήμα Δυναμικήμελετάται η κίνηση των σωμάτων υπό τη δράση των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτά. Επομένως, εκτός από εκείνες τις έννοιες που εισήχθησαν στην ενότητα Κινηματική,Εδώ είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν νέες έννοιες που αντικατοπτρίζουν τις ιδιαιτερότητες της πρόσκρουσης των δυνάμεων σε διάφορα σώματα και την απόκριση των σωμάτων σε αυτές τις κρούσεις. Ας εξετάσουμε τις κύριες από αυτές τις έννοιες.

α) δύναμη

Η δύναμη είναι το ποσοτικό αποτέλεσμα της πρόσκρουσης σε ένα δεδομένο σώμα από άλλα σώματα.Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος (Εικ. 1).

Το σημείο Α της αρχής του διανύσματος δύναμης φάπου ονομάζεται σημείο εφαρμογής της δύναμης. Η ευθεία MN στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα δύναμης ονομάζεται γραμμή δύναμης.Το μήκος του διανύσματος δύναμης, μετρούμενο σε μια συγκεκριμένη κλίμακα, ονομάζεται αριθμητική τιμή ή μέτρο του διανύσματος δύναμης. Το μέτρο δύναμης συμβολίζεται ως ή . Η δράση μιας δύναμης σε ένα σώμα εκδηλώνεται είτε με την παραμόρφωσή του, εάν το σώμα είναι ακίνητο, είτε με την επιτάχυνση όταν το σώμα κινείται. Σε αυτές τις εκδηλώσεις δύναμης βασίζεται η συσκευή διαφόρων οργάνων (μετρητές δύναμης ή δυναμόμετρα) για τη μέτρηση των δυνάμεων.

β) σύστημα δυνάμεων

Το εξεταζόμενο σύνολο δυνάμεων σχηματίζεται σύστημα δύναμης.Οποιοδήποτε σύστημα αποτελείται από n δυνάμεις μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

γ) ελεύθερο σώμα

Ένα σώμα που μπορεί να κινηθεί στο διάστημα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση χωρίς να βιώσει άμεση (μηχανική) αλληλεπίδραση με άλλα σώματα ονομάζεται Ελεύθεροςή απομονωμένος. Η επίδραση ενός ή του άλλου συστήματος δυνάμεων σε ένα σώμα μπορεί να διευκρινιστεί μόνο εάν αυτό το σώμα είναι ελεύθερο.

δ) προκύπτουσα δύναμη

Αν κάποια δύναμη έχει την ίδια επίδραση σε ένα ελεύθερο σώμα με κάποιο σύστημα δυνάμεων, τότε αυτή η δύναμη ονομάζεται αποτέλεσμα αυτού του συστήματος δυνάμεων. Αυτό γράφεται ως εξής:

που σημαίνει ισοδυναμίαςτην κρούση στο ίδιο ελεύθερο σώμα της προκύπτουσας και κάποιου συστήματος n δυνάμεων.

Ας στραφούμε τώρα στην εξέταση πιο περίπλοκων εννοιών που σχετίζονται με τον ποσοτικό προσδιορισμό των περιστροφικών επιδράσεων των δυνάμεων.

ε) ροπή δύναμης σε σχέση με ένα σημείο (κέντρο)

Εάν το σώμα υπό τη δράση μιας δύναμης μπορεί να περιστραφεί γύρω από κάποιο σταθερό σημείο Ο (Εικ. 2), τότε για να ποσοτικοποιηθεί αυτό το φαινόμενο περιστροφής, εισάγεται ένα φυσικό μέγεθος, το οποίο ονομάζεται ροπή δύναμης για ένα σημείο (κέντρο).

Το επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σταθερό σημείο και τη γραμμή δράσης της δύναμης ονομάζεται επίπεδο δύναμης. Στο Σχ. 2, αυτό είναι το επίπεδο ОАВ.

Η ροπή δύναμης σε σχέση με ένα σημείο (κέντρο) είναι μια διανυσματική ποσότητα ίση με το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος ακτίνας του σημείου εφαρμογής της δύναμης από το διάνυσμα δύναμης:

( 1)

Σύμφωνα με τον κανόνα του διανυσματικού πολλαπλασιασμού δύο διανυσμάτων, το διανυσματικό γινόμενο τους είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο θέσης των διανυσμάτων παραγόντων (στην περίπτωση αυτή, το επίπεδο του τριγώνου ΟΑΒ), κατευθυνόμενο προς την κατεύθυνση από την οποία η συντομότερη στροφή του ο πρώτος παράγοντας στο διάνυσμα του δεύτερου παράγοντα ορατό ρολόι (Εικ. 2).Με αυτή τη σειρά των διανυσμάτων των παραγόντων του εγκάρσιου γινομένου (1), η περιστροφή του σώματος υπό την επίδραση της δύναμης θα είναι ορατή ενάντια στο ρολόι (Εικ. 2) Δεδομένου ότι το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο της δύναμης , η θέση του στο χώρο καθορίζει τη θέση του επιπέδου της δύναμης Η αριθμητική τιμή του διανύσματος της ροπής δύναμης σε σχέση με το κέντρο είναι ίση με το διπλάσιο του εμβαδού ОАВ και μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

, (2)

όπου μέγεθοςη, ίση με τη μικρότερη απόσταση από ένα δεδομένο σημείο Ο έως τη γραμμή δράσης της δύναμης, ονομάζεται βραχίονας της δύναμης.

Εάν η θέση του επιπέδου δράσης της δύναμης στο χώρο δεν είναι απαραίτητη για τον χαρακτηρισμό της περιστροφικής δράσης της δύναμης, τότε στην περίπτωση αυτή, για να χαρακτηρίσουμε την περιστροφική δράση της δύναμης, αντί του διανύσματος της στιγμής της δύναμης, αλγεβρική ροπή δύναμης:

(3)

Η αλγεβρική ροπή δύναμης σε σχέση με ένα δεδομένο κέντρο είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και του ώμου του, λαμβανόμενο με πρόσημο συν ή πλην. Στην περίπτωση αυτή, μια θετική ροπή αντιστοιχεί στην περιστροφή του σώματος υπό την επίδραση μιας δεδομένης δύναμης ενάντια στο ρολόι και μια αρνητική ροπή αντιστοιχεί στην περιστροφή του σώματος προς την κατεύθυνση του ρολογιού. Από τους τύπους (1), (2) και (3) προκύπτει ότι η ροπή της δύναμης σε σχέση με ένα σημείο είναι ίση με μηδέν μόνο αν ο βραχίονας αυτής της δύναμηςημηδέν. Μια τέτοια δύναμη δεν μπορεί να περιστρέψει το σώμα γύρω από ένα δεδομένο σημείο.

στ) Ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα

Εάν το σώμα υπό τη δράση μιας δύναμης μπορεί να περιστραφεί γύρω από κάποιο σταθερό άξονα (για παράδειγμα, η περιστροφή μιας πόρτας ή πλαισίου παραθύρου σε μεντεσέδες όταν ανοίγουν ή κλείνουν), τότε εισάγεται μια φυσική ποσότητα για να ποσοτικοποιηθεί αυτό το φαινόμενο περιστροφής, το οποίο λέγεται ροπή δύναμης γύρω από έναν δεδομένο άξονα.

 σι Fxy

Το σχήμα 3 δείχνει ένα διάγραμμα σύμφωνα με το οποίο προσδιορίζεται η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα z:

Η γωνία  σχηματίζεται από δύο κάθετες κατευθύνσεις z και στα επίπεδα των τριγώνων Ο αβκαι OAV, αντίστοιχα. Από την  Ο αβείναι η προβολή του ОАВ στο επίπεδο xy, τότε σύμφωνα με το θεώρημα της στερεομετρίας για την προβολή ενός επίπεδου σχήματος σε ένα δεδομένο επίπεδο, έχουμε:

όπου το πρόσημο αντιστοιχεί σε μια θετική τιμή του cos, δηλαδή οξείες γωνίες , και το πρόσημο μείον αντιστοιχεί σε μια αρνητική τιμή του cos, δηλαδή αμβλείες γωνίες , λόγω της κατεύθυνσης του διανύσματος. Με τη σειρά του, ο SO αβ=1/2abh, όπου η  αβ . Η αξία του τμήματος αβισούται με την προβολή δύναμης στο επίπεδο xy, δηλ. . αβ = φά xy .

Με βάση τα προηγούμενα, καθώς και τις ισότητες (4) και (5), προσδιορίζουμε τη ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα z ως εξής:

Η ισότητα (6) μας επιτρέπει να διατυπώσουμε τον ακόλουθο ορισμό της ροπής δύναμης για οποιονδήποτε άξονα: Η ροπή δύναμης γύρω από έναν δεδομένο άξονα είναι ίση με την προβολή σε αυτόν τον άξονα του διανύσματος της ροπής αυτής της δύναμης σε σχέση με οποιοδήποτε σημείο του αυτός ο άξονας και ορίζεται ως το γινόμενο της προβολής δύναμης σε επίπεδο κάθετο στον δεδομένο άξονα, που λαμβάνεται με το σύμβολο συν ή πλην στον ώμο αυτής της προβολής σε σχέση με το σημείο τομής του άξονα με το επίπεδο προβολής. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόσημο της στιγμής θεωρείται θετικό εάν κοιτάζοντας από τη θετική κατεύθυνση του άξονα, η περιστροφή του σώματος γύρω από αυτόν τον άξονα είναι ορατή αντίθετα με το ρολόι. Διαφορετικά, η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα λαμβάνεται ως αρνητική. Δεδομένου ότι αυτός ο ορισμός της ροπής δύναμης σε σχέση με τον άξονα είναι αρκετά δύσκολο να θυμηθεί κανείς, συνιστάται να θυμάστε τον τύπο (6) και το σχήμα 3, που εξηγεί αυτόν τον τύπο.

Από τον τύπο (6) προκύπτει ότι ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα είναι μηδέν ανείναι παράλληλη προς τον άξονα (στην περίπτωση αυτή, η προβολή της σε επίπεδο κάθετο προς τον άξονα είναι ίση με μηδέν) ή η γραμμή δράσης της δύναμης τέμνει τον άξονα (τότε ο βραχίονας προβολής η=0). Αυτό αντιστοιχεί πλήρως στη φυσική έννοια της ροπής δύναμης γύρω από τον άξονα ως ποσοτικό χαρακτηριστικό της περιστροφικής δράσης της δύναμης σε ένα σώμα με άξονα περιστροφής.

ζ) σωματικό βάρος

Έχει παρατηρηθεί από καιρό ότι υπό την επίδραση μιας δύναμης, το σώμα ανεβάζει ταχύτητα σταδιακά και συνεχίζει να κινείται εάν αφαιρεθεί η δύναμη. Αυτή η ιδιότητα των σωμάτων, να αντιστέκονται σε μια αλλαγή στην κίνησή τους, ονομάστηκε αδράνεια ή αδράνεια σωμάτων. Το ποσοτικό μέτρο της αδράνειας ενός σώματος είναι η μάζα του.Εκτός, Η μάζα σώματος είναι ένα ποσοτικό μέτρο της επίδρασης των βαρυτικών δυνάμεων σε ένα δεδομένο σώμα Όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα του σώματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η βαρυτική δύναμη που ασκείται στο σώμα.Όπως θα φανεί παρακάτω, εΑυτοί οι δύο ορισμοί του σωματικού βάρους σχετίζονται.

Άλλες έννοιες και ορισμοί της δυναμικής θα συζητηθούν αργότερα στις ενότητες όπου εμφανίζονται για πρώτη φορά.

2. Δεσμοί και αντιδράσεις δεσμών

Νωρίτερα στην ενότητα 1 σημείο (γ) δόθηκε η έννοια του ελεύθερου σώματος, ως σώματος που μπορεί να κινείται στο χώρο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση χωρίς να βρίσκεται σε άμεση επαφή με άλλα σώματα. Τα περισσότερα από τα πραγματικά σώματα που μας περιβάλλουν βρίσκονται σε άμεση επαφή με άλλα σώματα και δεν μπορούν να κινηθούν προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Έτσι, για παράδειγμα, τα σώματα που βρίσκονται στην επιφάνεια του τραπεζιού μπορούν να κινηθούν προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, εκτός από την κατεύθυνση που είναι κάθετη προς την επιφάνεια του τραπεζιού προς τα κάτω. Οι αρθρωτές πόρτες μπορούν να περιστρέφονται, αλλά δεν μπορούν να κινηθούν προς τα εμπρός κ.λπ. Τα σώματα που δεν μπορούν να κινηθούν στο διάστημα προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση ονομάζονται όχι δωρεάν.

Οτιδήποτε περιορίζει την κίνηση ενός δεδομένου σώματος στο χώρο ονομάζεται δεσμοί.Αυτά μπορεί να είναι κάποια άλλα σώματα που εμποδίζουν την κίνηση αυτού του σώματος προς ορισμένες κατευθύνσεις ( φυσικές συνδέσεις) ευρύτερα, μπορεί να είναι κάποιες συνθήκες που επιβάλλονται στην κίνηση του σώματος, περιορίζοντας αυτή την κίνηση. Έτσι, μπορείτε να ορίσετε μια συνθήκη ώστε η κίνηση ενός υλικού σημείου να εμφανίζεται κατά μήκος μιας δεδομένης καμπύλης. Σε αυτή την περίπτωση, η σύνδεση καθορίζεται μαθηματικά με τη μορφή εξίσωσης ( εξίσωση σύνδεσης). Το ζήτημα των τύπων συνδέσμων θα εξεταστεί με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.

Οι περισσότεροι από τους δεσμούς που επιβάλλονται στα σώματα είναι πρακτικά φυσικοί δεσμοί. Επομένως, τίθεται το ερώτημα σχετικά με την αλληλεπίδραση ενός δεδομένου σώματος και τη σύνδεση που επιβάλλεται σε αυτό το σώμα. Στο ερώτημα αυτό απαντά το αξίωμα για την αλληλεπίδραση των σωμάτων: Δύο σώματα δρουν μεταξύ τους με δυνάμεις ίσες σε μέγεθος, αντίθετες στην κατεύθυνση και βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτές οι δυνάμεις ονομάζονται δυνάμεις αλληλεπίδρασης. Οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης εφαρμόζονται σε διαφορετικά σώματα που αλληλεπιδρούν. Έτσι, για παράδειγμα, κατά την αλληλεπίδραση ενός δεδομένου σώματος και μιας σύνδεσης, μία από τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης εφαρμόζεται από την πλευρά του σώματος στη σύνδεση και η άλλη δύναμη αλληλεπίδρασης εφαρμόζεται από την πλευρά της σύνδεσης στο δεδομένο σώμα . Αυτή η τελευταία δύναμη ονομάζεται δύναμη αντίδρασης δεσμούή απλά, αντίδραση σύνδεσης.

Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων δυναμικής, είναι απαραίτητο να μπορούμε να βρούμε την κατεύθυνση των αντιδράσεων διαφόρων τύπων δεσμών. Ο γενικός κανόνας για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης μιας αντίδρασης δεσμού μπορεί μερικές φορές να βοηθήσει σε αυτό: Η αντίδραση ενός δεσμού κατευθύνεται πάντα αντίθετα από την κατεύθυνση στην οποία αυτός ο δεσμός εμποδίζει την κίνηση ενός δεδομένου σώματος. Εάν αυτή η κατεύθυνση μπορεί να καθοριστεί οπωσδήποτε, τότε η αντίδραση της σύνδεσης θα καθοριστεί από την κατεύθυνση. Διαφορετικά, η κατεύθυνση της αντίδρασης του δεσμού είναι απροσδιόριστη και μπορεί να βρεθεί μόνο από τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης ή ισορροπίας του σώματος. Πιο αναλυτικά, το ζήτημα των τύπων των δεσμών και η κατεύθυνση των αντιδράσεών τους θα πρέπει να μελετηθεί σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο: Σ.Μ. Targ Ένα σύντομο μάθημα στη θεωρητική μηχανική "Γυμνάσιο", Μ., 1986. Κεφ.1, §3.

Στην ενότητα 1, σημείο (γ), ειπώθηκε ότι η επίδραση οποιουδήποτε συστήματος δυνάμεων μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως μόνο εάν αυτό το σύστημα δυνάμεων εφαρμόζεται σε ένα ελεύθερο σώμα. Εφόσον τα περισσότερα σώματα, στην πραγματικότητα, δεν είναι ελεύθερα, τότε για να μελετήσουμε την κίνηση αυτών των σωμάτων, τίθεται το ερώτημα πώς να γίνουν αυτά τα σώματα ελεύθερα. Αυτό το ερώτημα έχει απαντηθεί αξίωμα των συνδέσεων των διαλέξεων επίφιλοσοφία στο σπίτι. Διαλέξειςήταν... κοινωνική ψυχολογία και εθνοψυχολογία. 3. ΘεωρητικόςΤα αποτελέσματα στον κοινωνικό δαρβινισμό ήταν...

θεωρητικός Μηχανική

Φροντιστήριο >> Φυσική

Αφηρημένη διαλέξεις επίθέμα ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΓια φοιτητές της ειδικότητας: 260501.65 ... - Περίληψη πλήρους φοίτησης διαλέξειςπου συντάχθηκε με βάση τους: Butorin L.V., Busygina E.B. θεωρητικός Μηχανική. Εκπαιδευτικός και πρακτικός οδηγός...