Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел.
Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные
Позиционными называются системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Непозиционными называются системы счисления, в которых значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Позиционной является привычная для нас в повседневной жизни десятичная система счисления, в которой значение (вес) цифры зависит от ее позиции в записи числа. В числе 1111 одна и та же цифра 1 означает последовательно единицу, десяток, сотню, тысячу.
Все системы счисления, используемые в информатике (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.), являются позиционными. Это важно, т. к. правила образования чисел, перевода из одной системы в другую, выполнения арифметических операций во всех позиционных системах аналогичны.
Непозиционной системой счисления является, например, римская. Правила выполнения арифметических операций в непозиционных системах счисления совсем иные.
В 2-ной системе основание равно 2, т.е. используется всего 2 цифры - 0 и 1. В 8-ной основание равно 8, используются цифры от 0 до 7. В 16-ной системе основание равно 16, используются цифры от 0 до 15. Использование цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15 в записи чисел неудобно, т. к. трудно отличить, например, цифру 12 от двух цифр – 1 и 2. Поэтому условились цифры от 10 до 15 обозначать латинскими буквами в порядке алфавита A, B, C, D, E, F.
Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе.
Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления.
Например: двоичная система счисления (А2), восьмеричная система счисления (А8) т.д.
Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе.
Например: римская система счисления (II, V, XII)
Системы счисления - что это? Даже не зная ответа на этот вопрос, каждый из нас поневоле в своей жизни пользуется системами счисления и не подозревает об этом. Именно так, во множественном числе! То есть не одной, а несколькими. Прежде чем привести примеры непозиционных систем счисления, давайте разберемся в этом вопросе, поговорим и о позиционных системах тоже.
Потребность в счете
С древности люди имели потребность в счете, то есть интуитивно осознавали, что нужно каким-то образом выразить количественное видение вещей и событий. Мозг подсказывал, что необходимо использовать предметы для счета. Наиболее удобными всегда были пальцы на руках, и это понятно, ведь они всегда в наличии (за редкими исключениями).
Вот и приходилось древним представителям рода человеческого загибать пальцы в прямом смысле - обозначать количество убитых мамонтов, например. Названий у таких элементов счета еще не было, а лишь визуальная картинка, сопоставление.
Современные позиционные системы счисления
Система счисления - это метод (способ) преставления количественных значений и величин посредством определенных знаков (символов или букв).
Необходимо понимать, что такое позиционность и непозиционность в счете, прежде чем приводить примеры непозиционных систем счисления. Позиционных систем счисления множество. Сейчас используют в различных областях знаний следующие: двоичную (включает только два значимых элемента: 0 и 1), шестеричную (количество знаков - 6), восьмеричную (знаков - 8), двенадцатеричную (двенадцать знаков), шестнадцатеричную (включает шестнадцать знаков). Причем каждый ряд знаков в системах начинается с нуля. основаны на использовании двоичных кодов - двоичной позиционной системы счисления.
Десятичная система счисления
Позиционностью считается наличие в различной степени значимых позиций, на которых располагаются знаки числа. Лучше всего это можно продемонстрировать на примере десятичной системы счисления. Ведь именно ею мы привыкли пользоваться с самого детства. Знаков в этой системе десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Возьмем число 327. В нем имеются три знака: 3, 2, 7. Каждый из них расположен на своей позиции (месте). Семерка занимает позицию, отведенную под единичные значения (единицы), двойка - десятки, а тройка - сотни. Так как число трехзначное, следовательно, позиций в нем всего три.
Исходя из вышесказанного, такое трехзначное десятичное число можно описать следующим образом: три сотни, два десятка и семь единиц. Причем значимость (важность) позиций отсчитывается слева направо, от слабой позиции (единицы) к более сильной (сотни).
Нам очень удобно себя чувствовать в десятичной позиционной системе счисления. У нас на руках десять пальцев, на ногах - также. Пять плюс пять - так, благодаря пальцам, мы с детства легко представляем себе десяток. Вот почему бывает легко детям учить таблицу умножения на пять и на десять. А еще так просто научиться считать денежные банкноты, которые чаще всего кратны (то есть делятся без остатка) на пять и на десять.
Другие позиционные системы счисления
К удивлению многих, следует сказать, что не только в десятичной системе счета наш мозг привык делать некие расчеты. До сих пор человечество пользуется шестеричной и двенадцатеричной системами счисления. То есть в такой системе существует только шесть знаков (в шестеричной): 0, 1, 2, 3, 4, 5. В двенадцатеричной их двенадцать: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, где А - обозначает число 10, В - число 11 (так как знак должен быть один).
Посудите сами. Мы считаем время шестерками, не так ли? Один час - шестьдесят минут (шесть десятков), одни сутки - это двадцать четыре часа (два раза по двенадцать), год - двенадцать месяцев и так далее... Все временные интервалы легко укладываются в шести- и двенадцатеричные ряды. Но мы настолько к этому привыкли, что даже не задумываемся при отсчете времени.
Непозиционные системы счисления. Унарная
Необходимо определиться в том, что это такое - непозиционная система счисления. Это такая знаковая система, в которой нет позиций для знаков числа, или принцип "прочтения" числа от позиции не зависит. В ней также существуют свои правила записи или вычислений.
Приведем примеры непозиционных систем счисления. Вернемся к древности. Люди нуждались в счете и придумали наиболее простое изобретение - узелки. Непозиционной системой счисления является узелковая. Один предмет (мешок риса, бык, и пр.) отсчитывали, например, при покупке или продаже и завязывали узелок на веревочке.
В итоге на веревке получалось столько узелков, сколько мешков риса куплено (как пример). Но также это могли быть насечки на деревянной палочке, на каменной плите и т.д. Такая система счисления стала называться узелковой. У нее существует второе название - унарная, или единичная ("уно" на латыни означает "один").
Становится очевидным, что данная система счисления - непозиционная. Ведь о каких позициях может идти речь, когда она (позиция) всего одна! Как ни странно, в некоторых уголках Земли до сих пор в ходу унарная непозиционная система счисления.
Также к непозиционным системам счисления относят:
- римскую (для написания чисел используются буквы - латинские символы);
- древнеегипетскую (похожа на римскую, также использовались символы);
- алфавитную (использовались буквы алфавита);
- вавилонскую (клинопись - использовали прямой и превернутый "клин");
- греческую (также относят к алфавитной).
Римская система счисления
Древняя римская империя, а также ее наука, была очень прогрессивной. Римляне дали миру множество полезных изобретений науки и искусства, в том числе свою систему счета. Две сотни лет назад римские числа использовали для обозначения сумм в деловых документах (таким образом избегали подделки).
Пример непозиционной системы счисления, она известна нам сейчас. Также римская система активно используется, но не для математических расчетов, а для узко направленных действий. Например, с помощью римских чисел принято обозначать исторические даты, века, номера томов, разделов и глав в книжных изданиях. Часто используют римские знаки для оформления циферблатов часов. А также римская нумерация является примером непозиционной системы счисления.
Римляне обозначали цифры буквами латиницы. Причем числа они записывали по определенным правилам. Существует перечень ключевых символов в римской системе счисления, с помощью них записывались все числа без исключения.
Правила составления чисел
Требуемое число получалось путем сложения знаков (букв латиницы) и вычисления их суммы. Рассмотрим, как символически записываются знаки в римской системе и как нужно их "считывать". Перечислим основные законы формирования чисел в римской непозиционной системе счисления.
- Число четыре - IV, состоит из двух знаков (I, V - один и пять). Оно получается путем вычитания меньшего знака из большего, если он стоит левее. Когда меньший знак расположен справа, необходимо складывать, тогда получится число шесть - VI.
- Необходимо складывать два одинаковых знака, стоящих рядом. Например: СС - это 200 (С - 100), или ХХ - 20.
- Если первый знак числа меньше второго, то третьим в этом ряду может быть символ, значение которого еще меньше первого. Чтобы не запутаться, приведем пример: CDX - 410 (в десятичной).
- Некоторые крупные числа могут быть представлены разными способами, что является одним из минусов римской системы счета. Приведем примеры: MVM (римская система) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (десятичная система) или MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. И это еще не все способы.
Приемы арифметики
Непозиционная система счисления - это иногда сложный набор правил формирования чисел, их обработки (действий над ними). Арифметические операции в непозиционных системах счисления - дело непростое для современных людей. Не завидуем древнеримским математикам!
Пример сложения. Попробуем сложить два числа: XIX + XXVI = XXXV, это задание выполняется в два действия:
- Первое - берем и складываем меньшие доли чисел: IX + VI = XV (I после V и I перед X "уничтожают" друг друга).
- Второе - складываем большие доли двух чисел: X + XX = XXX.
Вычитание выполняется несколько сложнее. Уменьшаемое число требуется разбить на составные элементы, а после этого в уменьшаемом и вычитаемом сократить дублируемые символы. Из числа 500 вычтем 263:
D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.
Умножение римских чисел. Кстати, необходимо упомянуть, что у римлян не имелось знаков арифметичеких операций, они просто словами обозначали их.
Множимое число умножать нужно было на каждый отдельный символ множителя, получалось несколько произведений, которые необходимо было сложить. Таким способом производят умножение многочленов.
Что касается деления, то этот процесс в римской системе счисления был и остается наиболее сложным. Тут применялись древние римские счеты - абак. Чтобы работать с ним людей специально обучали (и не всякому человеку удавалось такую науку освоить).
О недостатках непозиционных систем
Как было сказано выше, в непозиционных системах счисления существуют свои недостатки, неудобства в использовании. Унарная достаточна проста для простого счета, но для арифметики и сложных вычислений она не годится вовсе.
В римской отсутствуют единые правила формирования больших чисел и возникает путаница, а также в ней очень сложно производить вычисления. Кроме того, самым которое могли записать древние римляне с помощью своего метода, было 100000.
Системой счисления называется метод записи чисел в виде комбинаций графических символов. Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества, а цифры – знаки, используемые для записи чисел. В наше время самыми распространёнными являются арабские цифры, менее распространены римские цифры. Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов: I=1, X=10, C=100, M=1000 и их половин: V=5, L=50, D=500. Существует множество других способов записи чисел. Например, древние греки использовали для этой цели буквы своего алфавита, а древние шумеры – клинописные знаки. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
Позиционная система счисления – система записи чисел в виде последовательности символов, в которой численное значение каждого символа зависит от его положения в записи .
Примером позиционной системы является хорошо известная десятичная система счисления. Примером непозиционной системы – римская система. Выполнение арифметических действий над числами в непозиционной системе весьма неудобно. Поэтому позиционные системы в настоящее время получили наибольшее распространение.
Изобретение позиционной системы приписывается шумерам и вавилонянам. Затем она была развита индусами. В средневековой Европе позиционная десятичная система появилась благодаря итальянским купцам, которые заимствовали её у мусульман. В 9 веке великий арабский математик Мухаммед ибн Мусе Аль Хорезми впервые описал десятичную систему исчисления и правила выполнения простых арифметических действий в ней. В 12 веке его работы были переведены на латинский язык, благодаря чему Европа смогла познакомиться с этим изобретением человеческого ума.
Десятичная система
Существуют различные
позиционные системы исчисления,
отличающиеся между собой количеством
используемых знаков. Чтобы различать
числа в разных системах исчисления, в
конце числа ставят индекс – символ
системы. Например, запись
означает обычное число 483,56 в десятичной
системе счисления, а запись
означает совсем другое число (хотя и
похожее по виду) вшестнадцатеричной
системе счисления
(в десятичной оно равно 1155,335938). Если из
контекста понятно, что используется
только десятичная система (или только
шестнадцатеричная, или какая-нибудь
другая), то при записи числа индекс
обычно опускают.
Десятичная система использует десять различных знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – которые обозначают натуральные числа в порядке их возрастания от нуля до девяти. Число 10 является основанием десятичной системы. Оно не имеет специального знака, а обозначается с помощью двух первых символов этой системы.
Например, запись
483,56 в десятичной системе означает, что
данное число складывается из четырех
сотен (
),
восьми десяток (
),
трех единиц (
),
пяти десятых частей единицы (
)
и шести сотых частей единицы (
).
Другими словами, мы можем записать:
Двоичная система
Двоичная (бинарная) система счисления является самой простой из всех позиционных систем. Она содержит только два символа 0 и 1, и используется в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности. Двоичная система была изобретена великим немецким ученым Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716), который использовал ее в созданной им механической счетной машине. В первом столбце табл. 2.1 приведены десятичные числа, а во втором – соответствующие им двоичные числа.
Таблица 2.1
Предположим, что нам нужно преобразовать двоичное число с дробной частью 1100,1011 в более привычное десятичное число. В табл. 2.2 показано, как осуществляется такое преобразование.
Таблица 2.2
|
Двоичное число |
Десятичное число |
|||||||
|
Целая часть |
Дробная часть |
|||||||
|
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
=
|
Обратное
преобразование десятичного числа d
в двоичное число (бинарный код)
осуществляется в соответствии со
следующим алгоритмом. Присваиваем числу
d
индекс
(
),
и ищем целое число
,
удовлетворяющее неравенству
,
. (2.2)
Если
,
то задача выполнена – искомое двоичное
число содержит единицу в старшем разряде
и
нулей за ней.
Если
,
то вычисляем разность
,
и ищем для нее соответствующее число
,
пользуясь формулой (2.2) с
.
Операцию вычисления разницы
и нахождения
повторяем до тех пор, пока при каком-либо
не выполнится условие:
.
Очевидно, что
(т.е.
).
При построении искомого бинарного числа
используют правило: численные значения
соответствуют разрядам бинарного кода,
в котором стоят единицы. Остальные
разряды заполняются нулями.
Используем это правило для нахождения бинарного кода десятичного числа 108,5. Согласно формуле (2.2), получаем: .
Искомое двоичное число равно: 1101100,1. Первая единица слева в записи числа соответствует 6 разряду, вторая за ней – пятому разряду. Четвертого разряда нет, поэтому за двумя первыми единицами записываем ноль. Третий и второй разряды есть – после нуля записываем две единицы. Единичного и нулевого разрядов также нет – после двух единиц записываем два нуля. Минус первый разряд есть – поэтому после запятой записываем единицу.
Арифметические
операции в двоичной системе осуществляются
так же, как и в десятичной («столбиком»).
Например, возьмем числа 0111 (
)
и 0101 (
),
и произведем операции сложения и
умножения:
,
В результате
получим 1100 (
)
и 100011 (
),
что и следовало ожидать.
Код Грея
Помимо двоичных чисел на практике применяются и другие коды, использующие два знака: 0 и 1. В этом разделе мы познакомимся с кодом Грея. При сортировке данных естественным представлением является обычное целочисленное описание, поскольку среди десяти цифр каждая на 1 больше предыдущей. При переходе к двоичному описанию эта естественность исчезает. Рассмотрим битовое представление чисел 6, 7, 8 и 9:
0110 0111 1000 1001.
Числа 6 и 7, а также 8 и 9 отличаются друг от друга на один бит. Однако числа 7 и 8 не имеют между собой ничего общего! Это свойство представления может вызвать большие проблемы при решении задач, требующих систематизации числовых данных. Для решения проблемы неоднородности представления используется код Грея.
Код Грея – система нумерации, в которой два соседних значения различаются только в одном разряде .
Код Грея показан в третьем столбце табл. 2.1. Наиболее часто на практике применяется рефлексивный двоичный код Грея , хотя в общем случае существует бесконечное множество кодов Грея для систем счисления с любым основанием. В большинстве случаев, под термином «код Грея» понимают именно рефлексивный бинарный код Грея. Название рефлексный (отражённый) двоичный код происходит от факта, что вторая половина значений в коде Грея эквивалентна первой половине, только в обратном порядке, за исключением старшего бита, который просто инвертируется. Если же разделить каждую половину ещё раз пополам, свойство будет сохраняться для каждой из половин половины и т.д.
Код Грея был разработан Фрэнком Греем, исследователем Bell Labs. Он использовал этот код в своей импульсной системе связи (на него был получен патент № 2632058).
При преобразовании
бинарного кода в десятичное число мы
умножаем ноль или единицу на
,
где
– номер позиции бита в бинарном коде
(;
и т.д.), а затем суммируем полученные
результаты.
При преобразовании
кода Грея в десятичное число мы умножаем
ноль или единицу на (
),
где
– номер позиции бита в коде Грея (;
и т.д.). Дальше вычитаем из результата,
соответствующего старшей единице,
результат, соответствующий единице
меньшего разряда, прибавляем результат,
соответствующий единице еще более
меньшего разряда и т.д. (смотри последний
столбец табл. 2.1).
Троичная система счисления
Троичная система счисления – позиционная система счисления с целочисленным основанием равным 3. Она существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная троичные системы. Несимметричная система обычно использует символы: 0, 1 и 2. Симметричная: –1, 0, +1. В табл. 2.3 показаны десятичные числа и соответствующие им числа в троичной системе счисления.
Таблица 2.3
|
Десятичная | |||||||||||||
|
Троичная несимметричная | |||||||||||||
|
Троичная симметричная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы троичной системы существовали еще у древних шумеров. Полноценную симметричную троичную систему впервые предложил итальянский математик Фибоначчи (Леонардо Пизанский ) (1170–1250). Симметричная троичная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса.
В момент зарождения компьютерной техники троичная система составляла серьезную конкуренцию двоичной системе. Ее преимущество заключается в том, что она обеспечивает наибольшую плотность записи чисел по сравнению с другими целочисленными системами. Поясним это на следующем примере.
Предположим, что
в компьютере мы используем числа в
позиционной системе с целочисленным
основанием
.
При этом каждое число имеет максимум
разрядов. Значит, для сохранения числа
в памяти компьютера требуется
ячеек памяти, причем каждая ячейка
должна быть способна находиться в
состояниях. Аппаратные затраты составляют:
.
Используя систему
с основанием
и
разрядов, мы способны представить
различных чисел. Эффективность применяемой
в компьютере системы счисления можно
оценить с помощью следующего числового
критерия:
.
(2.3)
Чем больше чисел мы можем представить в данной системе счисления, и чем меньше при этом аппаратные затраты, тем эффективнее система по данному критерию.
Чаще критерий эффективности используют в такой форме
. (2.4)
Практически
критерий (2.4) равнозначен критерию (2.3),
однако удобнее в использовании.
Равнозначность основана на факте: если
,
то
.
График функции
показан на рис. 2.1.
Рис.2.1. График
функции
Эта функция имеет
максимум для
.
При целых значениях
максимум достигается для
= 3.
;
;
.
Таким образом, наиболее эффективной по критерию (2.4) является троичная система счисления (используемая в троичных компьютерах), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых компьютеров) и четверичная система счисления.
В 1958 году Николай Петрович Брусенцов из МГУ построил первую серийную электронную троичную ЭВМ «Сетунь» на ячейках из ферритдиодных магнитных усилителей переменного тока, работавших в двухбитном троичном коде, четвёртое состояние двух битов не использовалось. В 1970 году Брусенцов построил вторую серийную электронную троичную ЭВМ «Сетунь-70».
В 1973 году в США впервые был создан экспериментальный троичный компьютер, а в 2008 году там же была построена троичная цифровая компьютерная система TCA2 на 1484-х интегральных транзисторах.
Тем не менее, в настоящее время двоичные компьютеры доминируют в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Позиционную систему счисления можно построить по любому основанию. Однако наибольшее практическое значение имеют: двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Причем, последние две используются, в основном, не для вычислений, а для представления двоичного кода в форме, удобной для человека.
В табл. 2.4 представлено 24-битное двоичное слово и соответствующие ему 8-ричный и 16-ричный коды.
Таблица 2.4
|
Двоичный код |
1011001111000101100010112 |
|
Восьмеричный код | |
|
Шестнадцатеричный код |
Очевидно, что человеку легче воспринимать двоичный код в форме 8-ричного или 16-ричного кодов. При использовании 8-ричного кода три бита двоичного слова преобразуются в один символ. При использовании 16-ричного слова каждые четыре бита двоичного слова преобразуются в один символ. В табл. 2.5 показано, как осуществляется это преобразование. Как можно видеть, шестнадцатеричные числа обозначаются с помощью 10 арабских цифр и шести букв латинского алфавита.
1. Позиционная и непозиционная системы счисления
Признаки непозиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа не зависит от его позиции.
Примеры непозиционной системы счисления: римская.
Еще у людей каменного века возникла необходимость считать мамонтов или своих соплеменников. Естественным способом счета явилась простейшая модель – каждый мамонт обозначается камушком или палочкой, для подсчёта делались зарубки и вязались узелки.
В римской системе счисления были придуманы следующие цифры: I -соответствует 1, V - 5, X - 10, L - 50, С – 100, D - 500, М – 1000. Но система непозиционная и при увеличении числа надо придумывать новые цифры. Поэтому действия с римскими цифрами очень неудобны. (см. презентацию)
Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. (На Руси до 18 века использовались непозиционные системы славянских цифр.)
Признаки позиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа зависит от его позиции.
Идеи позиционного построения систем счисления неоднократно возникали у разных народов. Отголоски этих идей можно найти в разговорном языке. Вспомните хотя бы такие фразы. Как «сорок сороков», «чертова дюжина», «тьма народа» (в древней Руси словом «тьма» обозначали нынешнее число «миллион»). Но сегодня мы остановимся на письменной интерпретации этого понятия.
Впервые идея позиционной системы возникла в древнем Вавилоне: основание системы счисления 60 – пережитки этого до сих пор сохранились в отсчете времени и долей градусов. Вавилоняне вплотную подошли к открытию нуля, но, увы, этого последнего шага так и не сделали. Наибольшее же распространение получила десятичная система счисления, пришедшая из Индии в 595 году нашей эры. (см. презентацию)
Значение каждой цифры в позиционной системе счисления зависит от ее места (позиции) при написании числа. Положение (позиция) цифры в записи числа определяет ее…Вопрос: «Что определяет?» Ответ: разряд; если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его место ставят цифру 0. Мы знаем, что 10 единиц любого разряда образуют новую единицу старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. С его помощью определяется «вес» единицы каждого разряда.
Позиционных систем много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д., а своё название они берут в зависимости от количества цифр, используемых для составления числа в данной системе.
Формирование понятия систем счисления с разными основаниями:
Вопрос: Сколько же цифр используется в 12-ричной системе счисления?
Ответ: Двенадцать.
Вопрос: А сколько цифр используется в 8-ричной системе счисления?
Ответ: Восемь.
Форма записи чисел в различных системах счисления. (см. презентацию)
Мы рассмотрели с вами формы записи чисел, которые позволяют нам произвести:
2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием выполняется методом деления целого десятичного числа на основание новой системы счисления. При этом необходимо запомнить, что количество цифр для записи числа в любой системе счисления не может превышать основания этой системе.
Примеры: Переведем 29 в 3-ичную систему счисления (демонстрация учителя), а 13 в 2-ичную систему счисления(коллективно). (см. презентацию)
3. Перевод целых чисел из системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления выполнить достаточно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение. (см. презентацию)
1002 3 = 1*3 3 + 0*3 2 + 0*3 1 + 2*3 0 = 27 + 0+ 0+ 2 = 29 10 (демонстрация учителя)
1101 2 = 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 10 (коллективно)
1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10 (коллективно)
120 3 = 1*3 2 + 2*3 1 + 0*3 0 = 9 + 6 + 0 = 15 10 (коллективно)
Учитель: Ребята! Мы с вами проделали огромную работу: выяснили, какие бывают системы счисления, разобрали правила перевода чисел из одних систем в другие. А сейчас мне хотелось бы зачитать вам строки стихотворения:
Десятичной ту систему мы привыкли называть.
Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,
А теперь перед глазами – серебристый монитор.
Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.
Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,
А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один».
Учитель: Ребята, я прочитала вам эти строки не просто так! А для чего? Как вы думаете? Ответ учащихся.
Итог: я хотела, что бы вы обратили внимание на то, что компьютер всю информацию преобразует в двоичный код. Изучение различных систем счисления даёт нам возможность разговаривать с компьютером на одном языке и понимать всю зашифрованную им информацию!
Выполнение творческих заданий на закрепление материала: (см. презентацию)
А сейчас самостоятельно предлагаю вам выполнить задания на закрепление материала.
1. Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.
Ответ: 1001001 2 или 145 10
Критерии оценки самостоятельной работы:
Выполнено:
· все задания правильно: «5» - отлично;
· 4 задания правильно: «4» - хорошо;
· 3 задания правильно: «3» - удовлетворительно;
· менее 3 заданий правильно: «На уроке были не внимательны!»
Задание повышенной сложности для сильных учащихся.
2. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово:
111 2 110 2 1011 2 1010 2 100 2 1000 2 111 2 1100 2 1101 2
«В Древнем Египте цифры записывались с помощью этих символов»
Ответ: иероглифы.
IV. Мониторинг
(устный опрос обучающихся, в качестве ответа используются карточки: зелёная – «ДА», красная – «НЕТ».
1 вопрос: верно ли, что в древности использовали руку как инструмент для счёта?(Да)
2 вопрос: верно ли, что в компьютерах используется римская система счисления? (Нет)
3 вопрос: верно ли, что в Древнем Вавилоне цифры изображались с помощью иероглифов?(Нет)
4 вопрос: верно ли, что число 1001101 может быть записано в двоичной системе счисления?(Да)
5 вопрос: верно ли, что десятичную позиционную систему счисления изобрели в Древней Индии? (Да)
6 вопрос: верно ли, что в позиционной системе счисления расположения цифры не зависит от её положения (места) в числе? (Нет)
7 вопрос: верно ли, что клинописью пользовались в Древнем Египте? (Нет)
8 вопрос: верно ли, что мы не пользуемся в повседневной жизни шестнадцатеричной системой счисления? (Да)
9 вопрос: верно ли, что число 34263 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Нет)
10 вопрос: верно ли, что Римская система счисления была непозиционной? (Да)
11 вопрос: верно ли, что число 443423 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Да)
12 вопрос: верно ли, что название системы зависит от её основания? (Да)
Заключение
Практика использования современных информационных технологий на уроках информатики подтвердила актуальность и действенность выбранного метода изложения материала для обучения, что позволило сделать следующие выводы: современные средства обучения - презентация и интерактивная доска помогают учителю излагать учебный материал, формируют навыки наблюдения, обеспечивают прочное усвоение обучающимися знаний, повышают интерес к предмету. Современные средства обучения позволили сократить время изложения нового материала, ускорили процесс закрепления полученных навыков, правильно понять цель и ход проделанной работы, сократили время выполнения заданий.
Рассмотренная методика проведения по теме вводного урока может быть использована в других предметных областях. Считаю необходимым предложить разработку урока своим коллегам.
Психолого-педагогическую и методическую учебную и специальную литературу по теме исследования. 2) Рассмотрели особенности обучение школьников решению логических задач на уроках информатики. 3) Охарактеризовали особенности использования ИКТ на уроках информатики. 4) Разработали методики использования информационных технологий на уроке информатики с целью обучения школьников решению логических...
При общении с компьютером. 8. Неограниченное обучение: содержание, его интерпретации и приложения как угодно велики. Глава 2. Авторская педагогическая технология «активации познавательной деятельности учащихся на уроках информатики посредством электронного учебника» 2.1 Анализ психолого-педагогического содержания темы с точки зрения ее возможностей Изучив основные положения по...
Определение. Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционной системе счисления количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. В римской системе счисления для записи различных целых чисел используются символы:
I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000
Например, MCMLXXXV=1000+(1000-100)+50+10+10+10+5=1985
Недостаток такой системы счисления очевиден – сложность представления в ней больших чисел.
Первая позиционная система счисления была придумана в древнем Вавилоне и была шестидесятеричной, т.е. в ней использовалось 60 цифр. Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем эту системы счисления.
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем слово «дюжина», например – 12 месяцев, 24 часа, 360°.
Десятичная система счисления.
Примером позиционной системы счисления является общепринятая десятичная система счисления. В позиционной системе счисления величина представленная цифрой (ее «вес») зависит от позиции этой цифры в записи числа.
Определение. Позиция цифры в записи числа называется ее разрядом .
Определение. Количество различных цифр в алфавите позиционной системы счисления называется основанием этой системы.
Определение . Алфавит системы счисления – это упорядоченное множество цифр.
Характеристики позиционной системы счисления:
Количество цифр системы счисления равно ее основанию;
Наибольшая цифра на единицу меньше ее основания;
При записи числа каждая цифра умножается на основание системы счисления в степени, которая определяет положение цифры, начиная с 0.
В десятичной системе счисления «вес» каждого разряда в 10 раз больше «веса» предыдущего.
Например: в развернутой форме число 555,55 =5×10 2 +5×10 1 +5×10 0 +5×10 -1 +5×10 -2
Так как на практике обычно используют десятичную систему счисления, то, опуская различные степени 10, пишут сокращенно только коэффициенты при этих степенях. Таким образом, появилась закономерность, позволяющая при помощи 10 цифр записать любое, сколь угодно большое число. Затем появились правила (алгоритмы) сложения, умножения, вычитания и деления.
Но с технической точки зрения использование 10-значного алфавита неудобно. Учитывая характеристики позиционных систем счисления, можно утверждать, что наименьшее основание, которое может быть у позиционной системы счисления – это 2.
Двоичная система счисления.
В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 и 1.
Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:
1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 +0×2 -1 +1×2 -2 = 101,01 2
Вообще говоря, возможно использование множества позиционных систем счисления. В системах счисления с основанием q числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0,1,…,q-1.
A=a n-1 ×q n-1 +a n-2 ×q n-2 +…+a 1 ×q 1 +a 0 ×q 0 +a -1 ×q -1 +…+a m ×q -m
Задание : Напишите в развернутой форме следующие числа:
19,99 10 =1×10 1 +9×10 0 +9×10 -1 +9×10 -2
10,10 2 =1×2 1 +0×2 0 +1×2 -1 +0×2 -2
64,5 8 =6×8 1 +4×8 0 +5×8 -1
39,F 16 =3×16 1 +9×16 0 +F×16 -1
Перевод чисел 10 → 2.
Алгоритм решения задачи:
Разделить число на 2, зафиксировать остаток и частное.
Если частное ≠0, то разделить его на 2 и т.д. Деление продолжать до тех пор, пока это возможно.
По окончании деления записать все полученные остатки справа налево.
Примеры: 7 10 =111 2 ; 26 10 =11010 2 ; 35 10 =100011 2 ; 101 10 =1100101 2 ;
125 10 =1111101 2 ; 253 10 =11111101 2
Задание : построить в тетради таблицу. Заполнить два первых столбца.
Перевод чисел 2 → 10.
Для перевода чисел из двоичной системы в десятичную воспользуемся развернутой формулой записи числа:
1000001001 2 =1×2 9 +0×2 8 +0×2 7 +0×2 6 +0×2 5 +0×2 4 +1×2 3 +0×2 2 +0×2 1 +1×2 0 = 512+8+1=521 10
Примеры:
10101000 2 =168 10
11,11 2 =3,75 10
101111001 2 =377 10
10,11 2 =2,75 10
Восьмеричная система счисления.
При внемашинном представлении данных (например, числовой информации) применять двоичную систему с ее громоздкими записями неудобно. В этом случае часто применяется восьмеричная система счисления, в которой используются цифры от 0 до 7. Удобство восьмеричной системы счисления заключается в том, что переход от восьмеричной системы к двоичной очень прост: достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичной триадой.
0→000 1→001 2→010 3→011
4→100 5→101 6→110 7→111
Задание: заполните третий столбец таблицы.
Достаточно прост и обратный переход из двоичной системы счисления в восьмеричную. Для этого нужно в двоичной записи числа выделить триады (вправо и влево от десятичной точки) и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.
Примеры:
1111110 2 =001 111 110=176 8
273,54 8 =010 111 011,101 100 2
101 011 101,101 101 110 2 =535,556 8
Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную осуществляется делением на основание системы счисления (в данном случае на 8). Например, 1678 10 =3216 8 .
Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную осуществляется по формуле развернутой записи числа:
703 8 =7×8 2 +0×8 1 +3×8 0 =448+0+8=451 10
327 8 =3×8 2 +2×8 1 +7×8 0 =192+16+7=215 10
571 8 =5×8 2 +7×8 1 +1×8 0 =377 10
67,5 8 =6×8 1 +7×8 0 +5×8 -1 =48+7+0,625=55,625 10
Шестнадцатеричная система счисления.
При внутримашинной обработке информации и для описания работы современных ЭВМ используется шестнадцатеричная система счисления. Для записи чисел в этой системе необходимо располагать шестнадцатью символами. В качестве недостающих цифр в этой системе счисления используются начальные буквы английского алфавита.
Задание: заполните четвертый столбец таблицы.
Связь с двоичной системой счисления и в этом случае очевидна: каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными. Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную тоже очевиден: двоичное число разбивается на тетрады и затем каждая заменяется шестнадцатеричной цифрой.
AF,C 16 =1010 1111,1100 2
B3 16 =10110011 2
101011101,101101111 2 =0001 0101 1101,1011 01111=15D,B7 16
100110101111 2 =9AF 16
По известным правилам осуществляется перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно:
1F4 16 =1×16 2 +F×16 1 +4×16 0 =256+15×16+4=500 10
1E 16 =1×16 1 +E×16 0 =16+14=30 10
D7 16 =13×16 1 +7×16 0 =215 10
19F 16 =1×16 2 +9×16 1 +F×16 0 =256+144+15=415 10
1. Понятие о кодировании информации. Универсальность дискретного (цифрового) представления информации. Позиционные и непозиционные системы счисления. Алгоритмы
Документ... (цифрового) представления информации. Позиционные и непозиционные системы счисления . Алгоритмы перевода из десятичной системы счисления в произвольную и наоборот. Связь...
Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)
ДокументСпециальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления . Системы счисления двоичная (используются цифры 0, 1); ... в ячейку. Арифметические операции в позиционных системах счисления . Сложение Основные арифметические операции: ...
№1: Системы счисления. Перевод чисел из системы в систему. Арифметические операции над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления
Урок... : Познакомиться с понятиями система счисления , позиционная и непозиционная система счисления , основание позиционной системы . Научиться составлять таблицу соответствия между системами счисления , переводить числа...
Loading...