Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.
Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.
Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.
Статика твердого тела
Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.
- Основные понятия и законы статики
- Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
- Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
- Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
- Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
- Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
- Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
- Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
- Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
- Сила
– это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон. - Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
- Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
- Распределенные силы (распределенная нагрузка)
– это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м). - Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
- Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
- Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
- Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
- Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
- Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
- Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
- Эквивалентные системы сил
– это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: . - Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
- Уравновешенная система сил
– это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
. - Равнодействующая сила
– это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
. - Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
- Пара сил
– это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение. - Проекция силы на ось
– это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси. - Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
- Закон 1 (закон инерции).
Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. - Закон 2.
Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое. - Закон 3.
Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела. - Закон 4.
Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна: - Закон 5 (закон равенства действия и противодействия)
. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам. - Закон 6 (закон отвердевания)
. Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела. - Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.
- Связи и их реакции
- Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
- Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
- Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
- Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
- Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.
Кинематика
Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.
- Основные понятия кинематики
- Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
- Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
- Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
- Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).
- Определение кинематических характеристик точки
- Траектория точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее. - Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости):
.
Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины. - Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки:
.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
,
где — углы между вектором скорости и осями координат. - Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .
- Кинематика твердого тела
- В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела. - Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки . - Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
— угловая скорость, рад/с;
— угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние
.
Модуль линейной скорости:
.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
,
где
.
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение:
;
нормальное ускорение:
.
Динамика
Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.
- Основные понятия динамики
- Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
- Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
- Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
- Центр масс механической системы
— геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести. - Момент инерции материального тела относительно оси
– это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
- Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
- Сила инерции материального тела
— это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела. - Элементарный импульс силы
— это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt
:
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
. - Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои
Теорема о движении центра масс. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс.
Теорема об изменении количества движения. Количество движения материальной точки. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток времени и его проекции на координатные оси. Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной и конечной формах.
Количество движения механической системы; его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и конечной формах. Закон сохранения количества движения механической
(Понятие о теле и точке переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.)
Теорема об изменении момента количества движения. Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки. Центральная сила. Сохранение момента количества движения материальной точки в случае центральной силы. (Понятие о секторной скорости. Закон площадей.)
Главный момент количеств движения или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы. (Теорема об изменении кинетического момента механической системы в относительном движении по отношению к центру масс.)
Теорема об изменении кинетической энергии. Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной и конечной формах.
Кинетическая энергия механической системы. Формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и в общем случае движения (в частности, при плоскопараллельном движении). Теорема об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной и конечной формах. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
Понятие о силовом поле. Потенциальное силовое поле и силовая функция. Выражение проекций силы через силовую функцию. Поверхности равного потенциала. Работа силы на конечном перемещении точки в потенциальном силовом поле. Потенциальная энергия. Примеры потенциальных силовых полей: однородное поле тяжести и поле тяготения. Закон сохранения механической энергии.
Динамика твердого тела. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
Принцип Даламбера. Принцип Даламбера для материальной точки; сила инерции. Принцип Даламбера для механической системы. Приведение сил инерции точек твердого тела к центру; главный вектор и главный момент сил инерции.
(Определение динамических реакций подшипников при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Случай, когда ось вращения является главной центральной осью инерции тела.)
Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Связи, налагаемые на механическую систему. Возможные (или виртуальные) перемещения материальной точки и механической системы. Число степеней свободы системы. Идеальные связи. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
Уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа). Обобщенные координаты системы; обобщенные скорости. Выражение элементарной работы в обобщенных координатах. Обобщенные силы и их вычисление; случай сил, имеющих потенциал. Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил; функция Лагранжа (кинетический потенциал).
Понятие об устойчивости равновесия. Малые свободные колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия системы и их свойства.
Элементы теории удара. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. Действие ударной силы на материальную точку. Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе. Прямой центральный удар тела о неподвижную поверхность; упругий и неупругий удары. Коэффициент восстановления при ударе и его опытное определение. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
Бутенин Н. В., Лунц Я- Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. Т. 1, 2. М., 1985 и предыдущие издания.
Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. М., 1983.
Старжинский В. М. Теоретическая механика. М., 1980.
Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания.
Яблонский А. А., Никифорова В. М. Курс теоретической механики. Ч. 1. М., 1984 и предыдущие издания.
Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч. 2. М., 1984 и предыдущие издания.
Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1986 и предыдущие издания.
Сборник задач по теоретической механике/Под ред. К. С. Колесникова. М., 1983.
Дополнительной
Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч. 1, 2. М., 1984 и предыдущие издания.
Сборник задач по теоретической механике/5ражничен/со Н. А., Кан В. Л., Минцберг Б. Л. и др. М., 1987.
Новожилов И. В., Зацепин М. Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ. М., 1986,
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /Под ред. А. А. Яблонского. М., 1985 и предыдущие издания (содержит примеры решения задач).
Теорема об
изменении количества движения матер.
точки
.– количество движения материальной
точки,
– элементарный импульс силы.
– элементарное изменение количества
движения материальной точки равно
элементарному импульсу силы, приложенной
к этой точке (теорема в дифференц-ной
форме) или
–
производная по времени от количества
движения материальной точки равна
равнодействующей сил, приложенных к
этой точке. Проинтегрируем:
– изменение количества движения
материальной точки за конечный промежуток
времени равно элементарному импульсу
силы, приложенной к этой точке, за тот
же промежуток времени.
–
импульс силы за промежуток времени
.
В проекциях на оси координат:
и т.д.
Теорема об
изменении момента количества движения
матер. точки
.
-
момент количества движения матер. точки
относительно центра О.
– производная по времени от момента
количества движения матер. точки
относительно какого-либо центра равна
моменту силы, приложенной к точке,
относительно того же центра. Проектируя
векторное равенство на оси координат.
получаем три скалярных уравнения:
и т.д. - производная от момента кол-ва
движения матер. точки относительно
какой-либо оси равна моменту силы,
приложенной к точке, относительно той
же оси. При действии центральной силы,
проходящей через О, М О =
0,
=const.
=const,
где
–секторная
скорость
.
Под действием центральной силы точка
движется по плоской кривой с постоянной
секторной скоростью, т.е. радиус-вектор
точки описывает ("ометает") равные
площади в любые равные промежутки
времени (закон площадей) Этот закон
имеет место при движении планет и
спутников – один из законов Кеплера.
Работа силы. Мощность . Элементарная работа dA = F ds, F – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA = Fdscos.
Если
– острый, то dA>0,
тупой – <0, =90 o:
dA=0.
dA=
– скалярное произведение вектора силы
на вектор элементарного перемещения
точки ее приложения; dA=
F x dx+F y dy+F z dz
– аналитическое выражение элементарной
работы силы. Работа силы на любом конечном
перемещении М 0 М 1:
.
Еслисила
постоянна
,
то
=Fscos.
Единицы работы:.
,
т.к. dx=
dt
и т.д., то
.
Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А 1 +А 2 +…+А n .
Работа силы тяжести:
,
>0, если начальная точка выше конечной.
Работа силы упругости: –работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа силы трения:
если сила трения const,
то
- всегда отрицательна,F тр =fN,
f
– коэфф.трения, N
– нормальная реакция поверхности.
Работа силы
тяготения. Сила притяжения (тяготения):
,
изmg=
,
находим коэфф.k=gR 2 .
– не зависит от траектории.
Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, томощность постоянна : N=A/t. .
Теорема об
изменении кинетической энергии точки
.
В диффер-ной форме:
–
полный дифференциал кинетической
энергии мат.точки = элементарной работе
всех действующих на точку сил.
–
кинетическая энергия матер.точки. В
конечном виде:
– изменение кинетической энергии
мат.точки, при переходе ее из начального
в конечное (текущее) положение равно
сумме работ на этом перемещении всех
сил, приложенных к точке.
Силовое поле
– область, в каждой точке которой на
помещенную в ней матер.точку действует
сила, однозначно определенная по величине
и направлению в любой момент времени,
т.е. должно быть известна
.
Нестационарное силовое поле, если
явно зависит отt,
стационарное
силовое поле, если сила не зависит от
времени. Рассматриваются стационарные
силовые поля, когда сила зависит только
от положения точки:
иF x =F x (x,y,z)
и т.д. Свойства стационар. силовых полей:
Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М 1 и конечного М 2 положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.
Имеет место равенство А 2,1 = – А 1,2 . Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.
Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.
Стационарные
силовые поля, работа сил которых не
зависит
от
траектории (пути) движения матер. точки
и определяется только ее начальным и
конечным положениями назыв. потенциальными
(консервативными).
,
гдеI
и II
– любые пути, А 1,2
– общее значение работы. В потенциальных
силовых полях существует такая функция,
однозначно зависящая от координат точек
системы, через которую проекции силы
на координатные оси в каждой точке поля
выражаются так:
.
Функция U=U(x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ,…x n ,y n ,z n)
назыв. силовой
функцией
.
Элементарная работа сил поля: А=А i =
dU.
Если силовое поле является потенц-ным,
элементарная работа сил в этом поле
равна полному дифференциалу силовой
функции. Работа сил на конечном перемещении
,
т.е. работа сил в потенц-ном поле равна
разности значений силовой функции в
конечном и начальном положениях и не
зависит о формы траектории. На замкнутом
перемещении работа равна 0.Потенциальная
энергия
П
равна сумме работ сил потенциального
поля на перемещении системы из данного
положения в нулевое. В нулевом положении
П 0 =
0. П=П(x 1 ,y 1 ,z 1 ,x 2 ,y 2 ,z 2 ,…x n ,y n ,z n).
Работа сил поля на перемещении системы
из 1-го положения во 2-ое равна разности
потенциальных энергий А 1,2 =
П 1 –
П 2 .
Эквипотенциальные
поверхности
– поверхности равного потенциала. Сила
направлена по нормали к эквипотенциальной
поверхности. Потенциальная энергия
системы отличается от силовой функции,
взятой со знаком минус, на постоянную
величину U 0:
А 1,0 =
П =U 0
– U.
Потенциальная энергия поля силы тяжести:
П=
mgz.
Потенц.энерг.поля центральных сил.
Центральная
сила
– сила,
которая в любой точке пространства
направлена по прямой, проходящей через
некоторую точку (центр), и модуль ее
зависит только от расстояния r
точки массой m
до центра:
,
.
Центральной является гравитационная
сила
,
,
f
= 6,6710 -11 м 3 /(кгс 2)
– постоянная тяготения. Первая космическая
скорость v 1 =
7,9 км/с, R
= 6,3710 6 м
– радиус Земли; тело выходит на круговую
орбиту. Вторая космическая скорость:
v 11 =
11,2 км/с, траектория тела парабола, при
v
>v 11 –
гипербола. Потенц. энергия восстанавливающей
силы пружин:
,
– модуль приращения длины пружины.
Работа восстанавливающей силы пружины:
, 1
и 2
– деформации, соответствующие начальной
и конечной точкам пути.
Рассмотрим движение некоторой системы материальных томен относительно неподвижной системы координат Когда система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если отбросить наложенные на систему связи и заменить их действие соответствующими реакциями.
Разобьем все силы, приложенные к системе, на внешние и внутренние; в те и другие могут входить реакции отброшенных
связей. Через и обозначим главный вектор и главный момент внешних сил относительно точки А.
1. Теорема об изменении количества движения. Если - количество движения системы, то (см. )
т. е. справедлива теорема: производная по времени от количества движения системы равняется главному вектору всех внешних сил.
Заменяя вектор через его выражение где - масса-системы, - скорость центра масс, уравнению (4.1) можно придать другую форму:
Это равенство означает, что центр масс системы движется, как материальная точкащ масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, геометрически равная главному вектору всех внешних сил системы. Последнее утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции) системы.
Если то из (4.1) следует, что вектор количества движения постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим три скалярных первых интеграла, дифференциальных уравнений двнзкепня системы:
Эти интегралы носят назвапие интегралов количества движения. При скорость центра масс постоянна, т. е. он движется равномерно и прямолинейно.
Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо одну ось, например на ось равна нулю, то имеем один первый интеграл или если же равны нулю» две проекции главного вектора, то существует два интеграла количества движения.
2. Теорема об изменении кинетического момента. Пусть А - некоторая произвольная точка пространства (движущаяся или неподвижная), которая не обязательно совпадает с какой-либо определенной материальной точкой системы во все время движения. Ее скорость в неподвижной спстеме координат обозначим через Теорема об изменении кинетического момента материальной системы относительно точки А имеет вид
Если точка А неподвижна, то и равенство (4.3) принимает более простой вид:
Это равенство выражает теорему об пзмепении кинетического момента системы относительно неподвижной точки: производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно некоторой неподвижной точки, равняется главному моменту всех внешних сил относительно этой точки.
Если то согласно (4.4) вектор кинетического момента постоянен по величине и направлению. Проектируя его на оси координат, получим скалярных первых интеграла дифференциальных уравнений двпжеиия системы:
Эти интегралы посят название интегралов кинетического момента или интегралов площадей.
Если точка А совпадает с центром масс системы, то Тогда первое слагаемое в правой части равенства (4.3) обращается в нуль и теорема об изменении кинетического момента имеет ту же форму записи (4.4), что и в случае неподвижной точки А. Отметим (см. п. 4 § 3), что в рассматриваемом случае абсолютный кинетический момент системы в левой части равенства (4.4) может быть заменен равный ему кинетический момент системы в ее движении относительно центра масс.
Пусть - некоторая неизменная ось пли ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы, а - кинетический момент системы относительно этой оси. Из (4.4) следует, что
где - момент внешних сил относительно оси . Если во все время движения то имеем первый интеграл
В работах С. А. Чаплыгина получено несколько обобщений теоремы об изменении кинетического момента, которые применены затем при решении ряда задач о качении шаров. Дальнейшие обобщения теоремы об изменении кпнетпческога момента и их приложения в задачах дннамики твердого тела содержатся в работах . Основные результаты этих работ связаны с теоремой об изменении кинетического момента относительно подвижной , постоянно проходящей через некоторую движущуюся точку А. Пусть - единичный вектор, направленный вдоль этой оси. Умножив скалярно на обе части равенства (4.3) и добавив к его обепм частям слагаемое получим
При выполнении кинематического условия
из (4.7) следует уравнение (4.5). И если во все время движения и выполняется условие (4.8), то существует первый интеграл (4.6).
Если связи системы идеальны и допускают в числе виртуальных перемещений вращения системы как твердого тела вокруг оси и, то главный момент реакций относительно оси и равен нулю , и тогда величина в правой части уравнения (4.5) представляет собой главный момент всех внешних активных сил относительно оси и. Равенство нулю этого момента и выполнимость соотношения (4.8) будут в рассматриваемом случае достаточными условиями для существования интеграла (4.6).
Если направление оси и неизменно то условие (4.8) запишется в виде
Это равенство означает, что проекции скорости центра масс и скорости точки А оси и на плоскость, перпендикулярную этой являются параллельными. В работе С. А. Чаплыгина вместо (4.9) требуется выполнение менее общего условия где X - произвольная постоянная величина.
Заметим, что условие (4.8) не зависит от выбора точки на . Действительно , пусть Р - произвольная точка на оси . Тогда
и, следовательно,
В заключение отметим геометрическую интерпретацию Резаля уравнений (4.1) и (4.4): векторы абсолютных скоростей концов векторов и равны соогвегственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил относительно точки А.
Использование ОЗМС при решении задач связано с определенными трудностями. Поэтому обычно устанавливают дополнительные соотношения между характеристиками движения и сил, которые более удобны для практического применения. Такими соотношениями являются общие теоремы динамики. Они, являясь следствиями ОЗМС, устанавливают зависимости между быстротой изменения некоторых специально введенных мер движения и характеристиками внешних сил.
Теорема об изменении количества движения. Введем понятие вектора количества движения (Р. Декарт) материальной точки (рис. 3.4):
Я і = т V г (3.9)
Рис. 3.4.
Для системы вводим понятие главного вектора количества движения системы как геометрической суммы:
Q = Y, m " V r
В соответствии с ОЗМС: Хю,-^=я) , или X
R (E) .
С учетом, того /w, = const получим: -Ym,!" = R (E) ,
или в окончательном виде
дО/ді = А (Е (3.11)
т.е. первая производная по времени главного вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил.
Теорема о движении центра масс. Центром масс системы называют геометрическую точку, положение которой зависит от т, и т.е. от распределения масс /г/, в системе и определяется выражением радиуса-вектора центра масс (рис. 3.5):
где г с - радиус-вектор центра масс.
Рис. 3.5.
Назовем = т с массой системы. После умножения выраже-
ния (3.12) на знаменатель и дифференцирования обеих частей полу-
ценного равенства будем иметь: г с т с = ^т.У. = 0, или 0 = т с У с.
Таким образом, главный вектор количества движения системы равен произведению массы системы и скорости центра масс. Используя теорему об изменении количества движения (3.11), получим:
т с дУ с /ді = А (Е) , или
Формула (3.13) выражает теорему о движении центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, обладающая массой системы, на которую действует главный вектор внешних сил.
Теорема об изменении момента количества движения. Введем понятие момента количества движения материальной точки как векторное произведение ее радиуса-вектора и количества движения:
к о, = бл х т, У , (3.14)
где к ОІ - момент количества движения материальной точки относительно неподвижной точки О (рис. 3.6).
Теперь определим момент количества движения механической системы как геометрическую сумму:
К() = X ко, = ЩУ, ? О-15>
Продифференцировав (3.15), получим:
Ґ сік --- х т і У. + г ю х т і
Учитывая, что = У Г У і х т і У і = 0, и формулу (3.2), получим:
сіК а /с1ї - ї 0 .
На основании второго выражения в (3.6) окончательно будем иметь теорему об изменении момента количества движения системы:
Первая производная по времени от момента количества движения механической системы относительно неподвижного центра О равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.
При выводе соотношения (3.16) предполагалось, что О - неподвижная точка. Однако можно показать, что и в ряде других случаев вид соотношения (3.16) не изменится, в частности, если при плоском движении моментную точку выбрать в центре масс, мгновенном центре скоростей или ускорений. Кроме этого, если точка О совпадает с движущейся материальной точкой, равенство (3.16), записанное для этой точки обратится в тождество 0 = 0.
Теорема об изменении кинетической энергии. При движении механической системы изменяется как «внешняя», так и внутренняя энергия системы. Если характеристики внутренних сил, главный вектор и главный момент, не сказываются на изменении главного вектора и главного момента количества ускорений, то внутренние силы могут входить в оценки процессов энергетического состояния системы. Поэтому при рассмотрении изменений энергии системы приходится рассматривать движения отдельных точек, к которым приложены также и внутренние силы.
Кинетическую энергию материальной точки определяют как величину
Т^туЦг. (3.17)
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий материальных точек системы:
Заметим, что Т > 0.
Определим мощность силы, как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости:
Loading...