Пусть частица массой m и с зарядом e влетает со скоростью v в электрическое поле плоского конденсатора. Длина конденсатора x, напряженность поля равна Е. Смещаясь в электрическом поле вверх, электрон пролетит через конденсатор по криволинейной траектории и вылетит из него, отклонившись от первоначального направления на y. Под действием силы поля, F=eE=ma частица движется ускоренно по вертикали, поэтому
Время движения частицы вдоль оси ох с постоянной скоростью . Тогда . А это есть уравнение параболы. Т.о. заряженная частица движется в электрическом поле по параболе.
3. Частица в магнитном поле Рассмотрим движение заряженной частицы в магнитном поле напряженностью Н. Силовые линии поля изображены точками и направлены перпендикулярно к плоскости рисунка (к нам).
Движущаяся заряженная частица представляет собой электрический ток. Поэтому магнитное поле отклоняет частицу вверх от ее первоначального направления движения (направление движения электрона противоположно направлению тока)
Согласно формуле Ампера сила, отклоняющая частицу на любом участке траектории равна
Ток , где t-время, за которое заряд e проходит по участку l. Поэтому
Учитывая, что , получим
Сила F называется лоренцевой силой. Направления F, v и H взаимно перпендикулярны. Направление F можно определить по правилу левой руки.
Будучи перпендикулярна скорости , лоренцева сила изменяет только направление скорости движения частицы, не изменяя величины этой скорости. Отсюда следует, что:
1. Работа силы Лоренца равна нулю, т.е. постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей (не изменяет кинетической энергии частицы)
Напомним, что в отличие от магнитного поля электрическое поле изменяет энергию и величину скорости движущейся частицы.
2. Траектория частицы является окружностью, на которой частицу удерживает лоренцева сила, играющая роль центростремительной силы.
Радиус r этой окружности определим, приравнивая между собой лоренцеву и центростремительную силы:
Т.о. радиус окружности, по которой движется частица, пропорционален скорости частицы и обратно пропорционален напряженности магнитного поля.
Период обращения частицы T равен отношению длины окружности S к скорости частицы v:6
Учитывая выражение для r, получим Следовательно, период обращения частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости.
Если в пространстве, где движется заряженная частица, создать магнитное поле, направленное под углом к ее скорости , то дальнейшее движение частицы представит собой геометрическую сумму двух одновременных движений: вращения по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со скоростью . Очевидно, что результирующая траектория частицы окажется винтовой линией
4. Электромагнитные счетчики скорости крови
Принцип действия электромагнитного счетчика основан на движении электрических зарядов в магнитном поле. В крови имеется значительное количество электрических зарядов в виде ионов.
Предположим, что некоторое количество однозарядных ионов движется внутри артерии со скоростью . Если артерию поместить между полюсами магнита, ионы будут двигаться в магнитном поле.
Для направлений и B, показанных на рис.1., магнитная сила действующая на положительно заряженные ионы направлена вверх, а сила , действующая на отрицательно заряженные ионы, направлена вниз. Под влиянием этих сил ионы движутся к противоположным стенкам артерии. Эта поляризация артериальных ионов создает поле E(рис.2), эквивалентное однородному полю плоского конденсатора. Тогда разность потенциалов в артерии U(диаметр которой d) связан с Е формулой
1. В данном вопросе мы ограничимся рассмотрением движения заряженной частицы в однородных постоянных полях.
В магнитном поле сила Лоренца будет иметь только одну магнитную составляющую
которая всегда перпендикулярна траектории движения и поэтому работы не совершает, а только искривляет траекторию, не изменяя величину скорости. Такого рода силы называются гироскопическими.
В общем случае скорость частицы составляет угол с вектором(рис. 3) и ее можно разложить на два вектора (параллельно и перпендикулярно вектору )
где , , а само движение частицы можно представить в виде наложения двух движений с этими скоростями.
Рассмотрим сначала движение частицы со скоростью , параллельной вектору магнитной индукции. В этом случае , и частица движется вдоль силовой линии магнитного поля.
Во втором движении со скоростью сила Лоренца не изменяется по величине и создает нормальное ускорение в плоскости, перпендикулярной вектору . Поэтому траектория такого движения пред-ставляет собой окружность радиуса r в этой плоскости. Условие движения по окружности, записанное на основе второго закона Ньютона,
позволяет найти радиус окружности и угловую скорость вращения частицы
которые называются циклотронным радиусом и циклотронной частотой.
Циклотронный радиус пропорционален импульсу частицы и обратно пропорционален величине ее заряда и магнитной индукции. Циклотронная частота обратно пропорциональна массе частицы и пропорциональна ее заряду и магнитной индукции.
Направления вращения частиц с положительным и отрицательным зарядом взаимно противоположны из-за различия в направлениях силы Лоренца (рис. 2). В векторной форме циклотронную частоту можно записать в виде формулы
Для положительно заряженной частицы направление угловой скорости противоположно направлению вектора , для отрицательно заряженной частицы – совпадает с вектором .
2. В общем случае, когда частица участвует во вращательном движении вокруг направления вектора и в поступательном параллельно силовой линии, результирующее движение частицы будет происходить по винтовой линии. Для положительно заряженных частиц винтовая линия соответствует левому винту, для отрицательно заряженных – правому (рис. 4). Если векторы и направлены противоположно друг другу, то наоборот.
Данное движение используется в системах, фокусирующих электронный пучок в электронно-лучевых трубках. Дело в том, что шаг винтовой линии, определяемый произведением и периода обращения ,
для электронов, вылетающих из электронной пушки под разными углами к оси пучка, не зависит от угла из-за его малости ().
Поэтому все электроны, вылетевшие из электронной пушки под небольшими, но разными углами соберутся в одной точке через период обращения. Шаг винтовой линии можно изменять, варьируя величину магнитной индукции, что позволяет осуществлять фокусировку электронного луча на экране электронно-лучевой трубки.
Выводы.
1) Сила, действующая на заряженную частицу со стороны магнитного поля, работы не совершает. Она вызывает вращательное движение частиц вокруг направления вектора магнитной индукции с угловой скоростью .
2) В общем случае заряженная частица движется по винтовой линии.
3. Магнитное поле двигающегося заряда
1. Пусть заряженная частица движется со скоростью относительно лабораторной системы отсчета K . В системе , которая движется вместе с частицей, магнитное поле отсутствует (), а электрическое поле описывается формулой
Это обычное электростатическое поле неподвижного точечного заряда.
В неподвижной системе отсчета , в соответствии с преобразованиями (5), (6), находим
Отсюда следует, что при медленных движениях заряженная частица создает в окружающем пространстве электрическое поле такое же, как неподвижная и магнитное с индукцией
При этом радиус-вектор проводится от заряда в точку наблюдения.
Проанализируем данное выражение. Величина вектора магнитной индукции
зависит обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда до рассматриваемой точки поля, прямо пропорционально величине заряда и его скорости. Но пространственное распределение магнитной индукции вокруг заряда сложнее, чем для электрического поля.
В формулу магнитной индукции входит синус угла между направлениями скорости и радиус-вектора , проведенного от заряда в точку наблюдения (рис. 5).
Магнитная индукция обращается в нуль на линии, проходящей через заряд параллельно вектору скорости (), и максимальна в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно вектору ().
Направление вектора магнитной индукции перпендикулярно вектору скорости и радиус-вектору (рис. 5).
Если, сохраняя угол a и длину вектора, повернуть радиус-вектор вокруг вектора скорости, то его конец опишет окружность. В каждой точке этой окружности вектор будет направлен по касательной к ней. Следовательно, такая окружность будет являться линией вектора (силовой линией магнитного поля).
Опыт показывает, что для магнитного поля выполняется принцип суперпозиции полей
Магнитная индукция результирующего поля в некоторой точке равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых различными источниками в этой точке.
2. Рассмотрим теперь магнитное поле, создаваемое в произвольной точке бесконечно малым отрезком тонкого проводника длины , по которому идет ток силой I .
Величина называется элементом тока. Направление вектора совпадает с направлением тока. Так как сила тока по определению , где S является площадью поперечного сечения проводника, то элемент тока можно выразить через плотность тока , где является объемом выделенного участка проводника. Здесь учтено, что векторы и совпадают по направлению.
Все носители заряда, находящиеся в этом элементе тока, движутся упорядоченно со средней скоростью и создают в данной точке пространства одинаковую магнитную индукцию. Поэтому результирующую магнитную индукцию, создаваемую всеми носителями заряда в произвольной точке, можем получить, умножив число носителей в элементе тока , где n – концентрация носителей заряда в проводнике, на магнитную индукцию , создаваемую одним носителем в этой точке
Здесь плотность тока выражена через среднюю скорость упорядоченного движения носителей заряда. Радиус–вектор проводится от элемента тока в точку наблюдения.
Полученное выражение называется законом Био-Савара-Лапласа. Оно позволяет рассчитать магнитное поле любой системы проводников, используя принцип суперпозиции
Штрихованные переменные относятся к точке интегрирования.
Сравнение формул (8) и (9) показывает, что конфигурация и распределение в пространстве магнитных полей элемента тока и движущегося заряда идентичны (рис. 6). Величина вектора магнитной индукции, создаваемого элементом тока, пропорциональна величине элемента тока, синусу угла между направлением тока и направлением на точку наблюдения и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника до точки наблюдения
Элемент тока создает максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной элементу тока, и не создает на прямой, проходящей через элемент тока, параллельно вектору . Линии вектора напряженности – суть окружности вокруг этой прямой.
Выводы.
1) Магнитное поле движущегося заряда является следствием движения заряженной частицы и ее электрического поля.
2) Магнитное поле элемента тока и движущегося заряда имеют одинаковое распределение силовой характеристики в пространстве. Это обусловлено тем, что электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц.
3) Элемент тока и движущийся заряд создают максимальную магнитную индукцию в плоскости, перпендикулярной направлению движения зарядов. Силовые линии в обеих случаях представляют собой окружности, перпендикулярные касательной к траектории движения. Магнитное поле не создается на прямой, касательной к траектории движения зарядов.
4) Магнитная индукция обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Это обусловлено распределением в пространстве электрического поля заряженной частицы и преобразованием его в магнитное поле при движении.
Закрепляем навыки решения и визуализации дифференциальных уравнений на примере одного из самых распространенных эволюционных уравнений, вспоминаем о старом-добром Scilab и пытаемся понять, а надо ли оно нам… Под катом картинки (килобайт на семьсот)
Удостоверимся в свежести софта
julia>] (v1.0) pkg>update #успеете заварить чаю (v1.0) pkg> status Status `C:\Users\Игорь\.julia\environments\v1.0\Project.toml` AbstractPlotting v0.9.0 Blink v0.8.1 Cairo v0.5.6 Colors v0.9.5 Conda v1.1.1 DifferentialEquations v5.3.1 Electron v0.3.0 FileIO v1.0.2 GMT v0.5.0 GR v0.35.0 Gadfly v1.0.0+ #master (https://github.com/GiovineItalia/Gadfly.jl.git) Gtk v0.16.4 Hexagons v0.2.0 IJulia v1.14.1+ [`C:\Users\Игорь\.julia\dev\IJulia`] ImageMagick v0.7.1 Interact v0.9.0 LaTeXStrings v1.0.3 Makie v0.9.0+ #master (https://github.com/JuliaPlots/Makie.jl.git) MeshIO v0.3.1 ORCA v0.2.0 Plotly v0.2.0 PlotlyJS v0.12.0+ #master (https://github.com/sglyon/PlotlyJS.jl.git) Plots v0.21.0 PyCall v1.18.5 PyPlot v2.6.3 Rsvg v0.2.2 StatPlots v0.8.1 UnicodePlots v0.3.1 WebIO v0.4.2 ZMQ v1.0.0
и приступим к постановке задачи
Движение заряженных частиц в электромагнитном поле
На заряженую частицу с зарядом движущуюся в ЭМП со скоростью действует сила Лоренца: . Данная формула справедлива при ряде упрощений. Пренебрегая поправками на теорию относительности, считаем массу частицы постоянной, так что уравнение движения имеет вид:
Направим ось Y вдоль электрического поля, ось Z - вдоль магнитного поля и предположим для простоты, что начальная скорость частицы лежит в плоскости XY. В этом случае вся траектория частицы также будет лежать в этой плоскости. Уравнения движения примут вид:
Обезразмерим: . Звёздочками обозначены размерные величины, а - характерный размер рассматриваемой физической системы. Получим безразмерную систему уравнений движения заряженной частицы в магнитном поле:
Понизим порядок:
В качестве начальной конфигурации модели выберем: Тл, В/м, м/с. Для численного решения воспользуемся пакетом DifferentialEquations :
Код и графики
using DifferentialEquations, Plots
pyplot()
M = 9.11e-31 # kg
q = 1.6e-19 # C
C = 3e8 # m/s
λ = 1e-3 # m
function modelsolver(Bo = 2., Eo = 5e4, vel = 7e4)
B = Bo*q*λ / (M*C)
E = Eo*q*λ / (M*C*C)
vel /= C
A =
syst(u,p,t) = A * u + # ODE system
u0 = # start cond-ns
tspan = (0.0, 6pi) # time period
prob = ODEProblem(syst, u0, tspan) # problem to solve
sol = solve(prob, Euler(), dt = 1e-4, save_idxs = , timeseries_steps = 1000)
end
Solut = modelsolver()
plot(Solut)
Здесь используется метод Эйлера, для которого задаётся количество шагов. Также сохраняется в матрицу ответов не всё решение системы, а только 1 и 2 индексы, то есть координаты икс и игрек (скорости нам не нужны).
X = for i in eachindex(Solut.u)] Y = for i in eachindex(Solut.u)] plot(X, Y, xaxis=("X"), background_color=RGB(0.1, 0.1, 0.1)) title!("Траектория частицы") yaxis!("Y") savefig("XY1.png")#сохраним график в папку с проектом
Проверим результат. Введем вместо х новую переменную . Таким образом осуществляется переход в новую систему координат, движущуюся относительно исходной со скоростью u в направлении оси Х :
Если выбрать и обозначить , то система упростится:
Электрическое поле исчезло из последних равенств, и они представляют собой уравнения движения частицы, находящейся под действием однородного магнитного поля. Таким образом, частица в новой системе координат (х, у)
должна двигаться по окружности. Так как эта новая система координат сама перемещается относительно исходной со скоростью , то результирующее движение частицы будет складываться из равномерного движения по оси X
и вращения по окружности в плоскости XY
. Как известно, траектория, возникающая при сложении таких двух движений, в общем случае представляет собой трохоиду
. В частности, если начальная скорость равна нулю, реализуется простейший случай движения такого рода - по циклоиде
.
Удостоверимся, что скорость дрейфа вышла действительно равной Е/В
. Для этого:
- подпортим матрицу ответов, поставив вместо первого элемента (максимального) заведомо меньшее значение
- найдем номер максимального элемента во втором столбце матрицы ответов, который откладывается по ординате
- вычислим безразмерную скорость дрейфа, разделив значение абсциссы в максимуме на соответствующее значение времени
Out: 8.334546850446588e-5
B = 2*q*λ / (M*C) E = 5e4*q*λ / (M*C*C) E/B
Out:
8.333333333333332e-5
С точностью до седьмого порядка!
Для удобства определим функцию, принимающую параметры модели и подпись графика, которая будет также служить названием файла png
, создаваемого в папке с проектом (работает в Juno/Atom и Jupyter). В отличии от Gadfly
, где графики создавались в слоях
, а потом выводились функцией plot()
, в Plots, чтобы в одном фрейме наделать разных графиков, первый из них создается функцией plot()
, а последующие добавляются использованием plot!()
. Названия функций меняющих принимаемые объекты в Джулии принято оканчивать восклицательным знаком.
function plotter(ttle = "qwerty", Bo = 2, Eo = 4e4, vel = 7e4) Ans = modelsolver(Bo, Eo, vel) X = for i in eachindex(Ans.u)] Y = for i in eachindex(Ans.u)] plot!(X, Y) p = title!(ttle) savefig(p, ttle * ".png") end
При нулевой начальной скорости, как и предполагалось, получаем циклоиду :
plot() plotter("Zero start velocity", 2, 4e4, 7e4)
Получим траекторию частицы при занулении индукции, напряженности и при смене знака заряда. Напомню, что точка значит поочередное выполнение функции со всеми элементами массива
Упрятано
plot()
plotter.("B занулено Е варьируется", 0, )
plot() plotter.("E занулено B варьируется", , 0)
q = -1.6e-19 # C plot() plotter.("Отрицательный заряд")
И посмотрим, как влияет на траекторию частицы изменение начальной скорости:
plot()
plotter.("Варьирование скорости", 2, 5e4, )
Немного о Scilab
На Хабре уже есть достаточно информации о Сайлабе, например , поэтому ограничимся ссылками на Википедию и на домашнюю страницу .
От себя добавлю, про наличие удобного создания интерфейса с флажками кнопками и выводом графиков и довольно интересного инструмента визуального моделирования Xcos. Последний можно использовать, например, для моделирования сигнала в электротехнике:
Собственно, нашу задачу вполне можно решить и в Scilab:
Код и картинки
clear
function du = syst(t, u, A, E)
du = A * u + // ODE system
endfunction
function = modelsolver(Bo, Eo, vel)
B = Bo*q*lambda / (M*C)
E = Eo*q*lambda / (M*C*C)
vel = vel / C
u0 = // start cond-ns
t0 = 0.0
tspan = t0:0.1:6*%pi // time period
A =
U = ode("rk", u0, t0, tspan, list(syst, A, E))
endfunction
M = 9.11e-31 // kg
q = 1.6e-19 // C
C = 3e8 // m/s
lambda = 1e-3 // m
= modelsolver(2, 5e4, 7e4)
plot(cron, Ans1)
xtitle ("Безразмерные координаты и скорости","t","x, y, dx/dt, dy/dt");
legend ("x", "y", "Ux", "Uy");
scf(1)//создание нового графического окна
plot(Ans1(1, :), Ans1(2, :))
xtitle ("Траектория частицы","x","y");
xs2png(0,"graf1");// можно сохранять графики в разных форматах
xs2jpg(1,"graf2");// правда, работает через-раз
Информация по функции для решения дифуров ode . В принципе напрашивается вопрос
А зачем нам Julia?
… если и так есть такие замечательные штуки как Scilab, Octave и Numpy, Scipy?
Про последние два не скажу - не пробовал. Да и вообще вопрос сложный, так что прикинем навскидку:
Scilab
На харде займет чуть больше 500 Мб, запускается быстро и сходу доступно и дифуросчитание, и графика и всё остальное. Хорош для начинающих: отличное руководство (по большей части локализованное), есть много книг на русском. Про внутренние ошибки уже было сказано и , и так как продукт очень нишевый, сообщество вялое, и дополнительные модули весьма скудны.
Julia
По мере добавления пакетов (особенно всякой питонщины а-ля Jupyter и Mathplotlib) разрастается от 376 Мб до вполне-таки шести с лишним гигабайт. Оперативку она тоже не щадит: на старте 132 Мб и после того, как в Юпитере намалевать графиков, до 1 ГБ спокойно дойдёт. Если работать в Juno
, то всё почти как в Scilab
: можно выполнять код сразу в интерпретаторе, можно печатать во встроенном блокноте и сохранять как файл, есть обозреватель переменных, журнал команд и интерактивная справка. Лично у меня вызывает возмущение отсутствие clear() , т. е. запустил я код, потом начал там поправлять и переименовывать, а старые переменные-то остались (в Юпитере нет обозревателя переменных).
Но всё это не критично. Scilab подходит вполне на первых парах, сделать лабу, курсач или посчитать чего промежуточного - очень даже подручный инструмент. Хоть здесь тоже есть поддержка параллельного вычисления и вызов сишных/фортрановских функций, для чего серьезного его использовать не получается. Большие массивы повергают его в ужас, чтоб задать многомерные, приходится заниматься всяким мракобесием , а вычисления за рамками классических задач вполне могут обронить всё вместе с операционкой.
И вот после всех этих болей и разочарований можно смело переходить на Julia , чтоб огрести ещё и здесь. Будем учиться дальше, благо комьюнити очень отзывчивое, проблемы утрясаются быстро, да и у Джулии есть еще много интересных особенностей, которые превратят процесс обучения в увлекательное путешествие!
Осаждение взвешенных в газе твердых и жидких частиц под действием электрического поля имеет преимущества по сравнению с другими способами осаждения. Действие электрического поля на заряженную частицу определяется величиной ее электрического заряда. При электроосаждении частицам небольших размеров удается сообщить значительный электрический заряд и, благодаря этому, осуществить процесс осаждения очень малых частиц, который невозможно провести под действием силы тяжести или центробежной силы.
Принцип электрической очистки воздуха (газов) от взвешенных частиц заключается в зарядке частиц с последующим их выделением из взвешивающей среды под воздействием электрического поля.
Физическая сущность электроосаждения состоит в том, что газовый поток, содержащий взвешенные частицы, предварительно ионизируют, при этом содержащиеся в газе частицы приобретают электрический заряд. Зарядка частиц в поле коронного разряда происходит под воздействием электрического поля и вследствие диффузии ионов. Максимальная величина заряда частиц размером более 0,5 мкм пропорциональна квадрату диаметра частиц, а частиц размером меньше 0,2 мкм - диаметру частиц.
При обычных условиях большая часть молекул газа нейтральна, т. е. не
несет электрического заряда того или иного знака; вследствие действия различных физических факторов в газе всегда имеется некоторое количество носителей электрических зарядов. К таким факторам относится сильный нагрев, радиоактивное излучение, трение, бомбардировка газа быстродвижущимися электронами или ионами и др.
Ионизация газа осуществляется двумя способами:
1) самостоятельно , при достаточно высокой разности потенциалов на электродах;
2) несамостоятельн о - в результате воздействия излучения радиоактивных веществ, рентгеновских лучей.
В промышленности электроосаждение взвешенных частиц из газа проводится таким образом, что газовый поток направляется внутрь трубчатых (или между пластинчатыми) положительных электродов, которые заземляются (рис. 2.6). Внутри трубчатых электродов натягиваются тонкие проволочные или стержневые электроды, являющиеся катодами.
Если в электрическом поле между электродами создать определенное напряжение, то носители зарядов, т. е. ионы и электроны, получают значительное ускорение, и при их столкновении с молекулами происходит ионизация последних. Ионизация заключается в том, что с орбиты нейтральной молекулы выбивается один или несколько внешних электронов. В результате происходит превращение нейтральной молекулы в положительный ион и свободные электроны. Этот процесс называется ударной ионизацией.
Рис. 2.6. Схемы электродов газоочистки
При прохождении ионизированного потока газа в электрическом поле между двумя электродами заряженные частицы под действием электрического поля перемещаются к противоположно заряженным электродам и оседают на них.
Часть межэлектродного пространства, прилегающая к коронирующему электроду, в которой происходит ударная ионизация, называется коронирующей областью. Остальная часть межэлектродного пространства, т. е. между коронирующим и осадительным электродами - называется внешней областью.
Вокруг коронирующего электрода наблюдается голубовато-фиолетовое свечение (корона). Коронный разряд сопровождается также тихим потрескиванием. При коронном разряде происходит выделение озона и оксидов азота.
Образовавшиеся в результате ударной ионизации ионы и свободные электроны под действием поля также получают ускорение и ионизируют новые молекулы. Таким образом, процесс носит лавинообразный характер. Однако по мере удаления от коронирующего электрода напряженность электрического поля уже недостаточна для поддержания высоких скоростей, и процесс ударной ионизации постепенно затухает.
Носители электрических зарядов, перемещаясь под действием электрического поля, а также в результате броуновского движения, сталкиваются с пылевыми частицами, взвешенными в газовом потоке, проходящем через электрофильтр, и передают им электрический заряд.
При ионизации образуются как положительные, так и отрицательные ионы: положительные ионы остаются вблизи «короны» у катода, а отрицательные направляются с большой скоростью к аноду, встречая и заряжая на своем пути взвешенные в газе частицы.
Большая часть взвешенных частиц, проходящих в межэлектродном пространстве, получает заряд, противоположный знаку осадительных электродов, перемещается к этим электродам и осаждается на них. Некоторая часть пылевых частиц, находящихся в сфере действия короны, получает заряд, противоположный знаку коронирующего электрода, и осаждается на этом электроде.
Если создать на электродах разность потенциалов (4…6) кВ/см, и обеспечить плотность тока (0,05…0,5) мА/м длины катода, то запыленный газ при пропускании его между электродами почти полностью освобождается от взвешенных частиц.
Рассмотрим основные зависимости, характеризующие электрическую очистку газов (воздуха) от пылевых частиц.
Основной закон взаимодействия электрических зарядов - закон Кулона
выражается формулой
F = k 1 (q 1 q 2 /r 2), (2.28)
где q 1 , q 2 - величины взаимодействующих точечных зарядов; r – расстояние между ними; k 1 - коэффициент пропорциональности (k 1 > 0).
Под точечными зарядами понимают заряды, находящиеся на телах любой формы, причем размеры тел малы по сравнению с расстоянием, на котором сказывается их действие.
Коэффициент пропорциональности k 1 зависит от свойств среды. Этот коэффициент может быть представлен в виде отношения двух коэффициентов
k 1 = k /ε (2.29)
где k - коэффициент; ε - безразмерная величина, называемая относительной диэлектрической проницаемостью среды. Для вакуума ε = 1.
Закон Кулона может быть выражен также
Коэффициент k в системе СИ принимают k = 1/4 π.ε 0 ; здесь ε 0 - электрическая постоянная.
Подставим эту величину в формулу (2.52.)
F = q 1 ∙q 2 /(4 π∙ε 0 ∙ε∙r 2), (2.31)
где ε 0 = 8,85∙10 -12 Кл 2 /(Н.м 2).
Для характеристики электрического поля применяют физическую величину - напряженность поля Е . Напряженностью в какой-либо точке электрического поля называют силу, с которой это поле действует на одиночный положительный заряд, помещенный в эту точку.
Коронный разряд возникает при определенной напряженности поля. Эта величина называется критической напряженностью и для отрицательной полярности электрода может быть определена по эмпирической формуле
Екр = 3,04(β + 0,0311 √β / r)10 6 , (2.32)
где r - радиус коронирующего электрода, м; β - отношение плотности газа в
рабочих условиях к плотности газа в стандартных условиях (t = 20 0 С; р = 1,013∙10 5 Па):
Здесь В - барометрическое давление, Па; р r - величина разрежения или абсолютного давления газов, Па; t - температура газов, °С.
Формула (2.54) предназначена для воздуха, но с некоторым приближением может применяться и для дымовых газов.
Напряжение поля на расстоянии x от оси коронирующего электрода:
где U - напряжение, приложенное к электродам; R 1 и R 2 - радиусы коронирующего и осадительного электродов.
Величина заряда q (кА), приобретаемого проводимой частицей сферической формы под воздействием электрического поля, рассчитывают по формуле:
q = 3∙π ∙ d ч 2 ∙ε ∙ E , (2.35)
где ε - диэлектрическая проницаемость среды; d ч - диаметр частицы; Е - напряженность электрического поля коронного разряда.
Величина заряда, приобретаемого электронепроводящей частицей:
где εч - относительная диэлектрическая проницаемость частицы.
Предельный заряд частиц диаметром более 1 мкм определяют по формуле
q пред =n e=0.19∙10 -9 r 2 E , (2.37)
где n - число элементарных зарядов; e - величина элементарного заряда, равная 1,6∙10 -19 Кл; r - радиус частицы, м; E - напряженность электрического поля, В/м.
Формула (2.59.) непосредственно применима, если диэлектрическая проницаемость вещества пыли е равна 2,5. Для многих веществ значение е значительно отличается: для газов е = 1; для гипса е = 4; для окислов металлов e =12. ..18; для металлов e = ∞.
Если е ≠2,5, то значение q пред, полученное по формуле (2.38.), умножают на поправку, представляющую собой отношение
D e =m/D e =2.5 , (2.39)
где De=m - значение D = 1 + 2(ε - 1)/(ε + 2) при e = m ; при ε = 2,5, D = 1,66; при ε = 1, D = 1.
В электрофильтре зарядка частиц происходит очень быстро: за время менее секунды заряд частиц приближается к своему предельному значению (табл. 2.5).
Таблица 2.4
Соотношение заряда частиц от времени зарядки
Скорость движения заряженных частиц пыли диаметром более 1 мкм в электрическом поле, м/с, можно определить по формуле
w ч = 10 -11 E 2 r/μ 0 (2.40)
где Е - напряженность электрического поля, В/м; r - радиус частицы, м; μ 0 - динамическая вязкость газа (воздуха), Па.с.
Скорость движения заряженных частиц пыли диаметром менее 1 мкм в электростатическом поле, м/с, может быть определена по формуле
w ч = 0,17.10 -11 E/μ 0 (2.41)
Скорость движения взвешенных частиц, получивших заряд, зависит от размера частиц и гидравлического сопротивления газовой среды.
Скорость осаждения частицы в электрическом поле при ламинарном режиме движения:
w ч = n∙ e 0 ∙ E x /(3π d ч ∙ μ 0) , (2.42)
где n - число зарядов, полученных частицей; e 0 - величина элементарного заряда; μ 0 - коэффициент динамической вязкости газового потока.
Время осаждения может быть найдено из уравнения:
где R - расстояние от оси коронирующего электрода до поверхности осадительного электрода; R 1 – радиус коронирующего электрода.
Величина w ч изменяется с изменением величины x .
Степень эффективности очистки в электрофильтре может быть определена по формуле полученной теоретическим путем
η = 1 – exp(- w Д f) , (2.44)
где w д - скорость движения (дрейфа) заряженных частиц к осадительному электроду, м/с; f - удельная поверхность осаждения, т. е. поверхность осадительных электродов, приходящаяся на 1 м 3 /с очищаемого газа (воздуха), м 2 .
Пыль с малой электрической проводимостью вызывает явление обратной «короны», которое сопровождается образованием положительно заряженных ионов, частично нейтрализирующих отрицательный заряд частиц, вследствие чего они теряют способность перемещаться к осадительному электроду и осаждаться. На проводимость пыли оказывает влияние состав газа и пыли. С повышением влажности газов удельное электрическое сопротивление пыли снижается. При высоких температурах газа понижается электрическая прочность межэлектродного пространства, что приводит к ухудшению улавливания пыли.
Как известно, сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле, имеет вид F=q(E+rxB). (12.1) При заданных полях Е и В задача о движении заряда в поле -это обычная задача классической механики о движении частицы под действием известных сил. Строго говоря, движущаяся с ускорением заряженная частица излучает электромагнитные волны и испытывает с их стороны ответное воздействие. Но этот эффект, вообще говоря, мал, и во многих случаях им можно полностью пренебречь. Но даже и тогда задача остается очень сложной, если заданные внешние поля неоднородны. В однородных электрическом и магнитном полях движение заряженной частицы происходит достаточно просто и может быть изучено элементарными методами. Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле совершенно аналогично движению материальной точки в однородном поле тяжести. Оно происходит с постоянным по модулю и направлению Ускорением, равным произведению удельного заряда частицы qjm на напряженность поля Е. Траектория такого движения в общем случае представляет собой параболу. Именно так движутся электроны в пространстве между отклоняющими пластинами в электроннолучевой трубке осциллографа с электростатическим управлением. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца qvxB происходит следующим образом. В плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля, частица равномерно обращается по окружности. Радиус этой окружности пропорционален перпендикулярной магнитному полю составляющей скорости частицы, а частота обращения от скорости не зависит и равна произведению удельного заряда частицы на индукцию магнитного поля. Если при этом частица имеет еще и составляющую скорости вдоль магнитного поля, то на такое вращение накладывается равномерное движение вдоль поля, так что траектория результирующего движения представляет собой винтовую линию. Сила Лоренца, действующая перпендикулярно скорости частицы, не меняет модуль скорости и, следовательно, кинетическую энергию частицы. Интересно отметить, что при небольшом разбросе значений продольной составляющей скорости частиц движение в однородном магнитном поле обладает замечательным свойством фокусировки: выходящий из одной точки и направленный вдоль поля слегка расходящийся пучок заряженных частиц на некотором расстоянии вновь собирается в одну точку. Это свойство продольной фокусировки было использовано в 1922 г. Бушем для точного измерения удельного заряда электрона. Разберем опыт Буша подробно. Рассмотрим устройство, изображенное на рис. 12.1: электронно-лучевая трубка без управляющих пластин помещена внутрь соленоида, создающего однородное магнитное поле, направленное вдоль оси трубки. В отсутствие магнитного поля электроны летят прямолинейно и образуют на флуоресцирующем экране широкое светящееся пятно, регулируя силу тока в соленоиде и тем самым изменяя индукцию магнитного поля, можно добиться того, что электроны соберутся на экране в яркую светящуюся точку. Выясним причину фокусировки электронов. Из электронной пушки электроны вылетают с приблизительно одинаковыми по модулю скоростями, но с некоторым разбросом по направлению. Скорость электрона v можно определить с помощью закона сохранения энергии: ^ = (12.2) где е - абсолютная величина заряда электрона, a U- ускоряющее напряжение между катодом и ускоряющим анодом электронной пушки. На электрон, летящий вдоль магнитного поля, сила Лоренца не действует. Поэтому электрон, вылетевший из пушки вдоль оси трубки, движется прямолинейно и попадает в центр экрана. Если же электрон вылетел под некоторым углом ос к оси трубки и, следовательно, у него есть составляющая начальной скорости, перпендикулярная магнитному полю, то, как мы видели, траектория электрона представляет собой винтовую линию: его движение есть результат сложения равномерного движения вдоль оси трубки со"скоростью v ц = v cos а и равномерного обращения по окружности в плоскости, перпендикулярной оси трубки, со скоростью tfj^Dsina. Угловая скорость вращения электрона по окружности определяется с помощью второго закона Ньютона: ^=eBv±, (12.3) к где R - радиус окружности. Учитывая связь между линейной и угловой скоростями v± = (ocR, с помощью (12.3) найдем еВ сос = -. (12.4) т Замечательно, что угловая скорость и, следовательно, период обращения не зависят от скорости. Поэтому электроны, вылетевшие из пушки под разными углами, совершают полный оборот за одно и то же время. Поскольку электроны вылетают из пушки под малыми углами к оси трубки (cosa« 1), то все они движутся вдоль оси трубки практически с одной и той же скоростью v^v и за время одного оборота Г=2л/юс проходят вдоль оси трубки одно и то же расстояние L; L = -. (12.5) Это означает, что все винтовые линии, по которым движутся электроны, пересекают ось трубки практически в одной и той же точке, отстоящей на расстояние L от пушки. Такая же фокусировка происходит и после совершения электронами двух, трех и т. д. оборотов, т. е. на расстояниях 2L, 3L и т. д. от пушки. Если положение одной из этих точек совпадет с плоскостью экрана, то пятно на экране сожмется в яркую точку. Разумеется, расстояние от электронной пушки до экрана определяется конструкцией трубки и не изменяется во время опыта, но мы можем изменять шаг винтовой линии L, регулируя индукцию магнитного поля В или ускоряющее напряжение U. Подставляя скорость электронов v из (12.2) и угловую скорость вращения шс из (12.4) в формулу (12.5), получаем соотношение е 8я2 U (12.6) L В Если при неизменном ускоряющем напряжении U мы добьемся фокусировки пучка электронов, постепенно увеличивая индукцию магнитного поля В от нуля, то формула (12.6) может быть использована для вычисления отношения е/т. Для этого в правую часть нужно подставить значения U и В, при которых произошла фокусировка, а в качестве L взять расстояние от электронной пушки до экрана трубки. Если теперь продолжать увеличивать индукцию магнитного поля, то пятно на экране будет сначала расплываться, а затем снова сожмется в яркую точку. Ясно, что теперь электроны успевают совершить два полных оборота по винтовой линии до того, как попадают на экран. Для нахождения е/га в формулу (12.6) в качестве L в этом случае следует подставлять половину расстояния от пушки до экрана. Отметим, что достигнутая этим методом точность измерения удельного заряда электрона составляет величину порядка десятой доли процента. В настоящее время явление фокусировки пучка электронов продольным магнитным полем используется во многих электронно-оптических приборах. Перейдем теперь к рассмотрению движения заряженной частицы в постоянных однородных взаимно перпендикулярных (так называемых скрещенных) электрическом и магнитном полях. Будем считать, что в начальный момент частица покоится. На первый взгляд кажется, что движение частицы будет весьма замысловатым. В самом деле, на неподвижную частицу магнитное поле не действует, но, как только под действием электрического поля она приобретает некоторую скорость, так немедленно магнитное поле будет искривлять ее траекторию. Однако, несмотря на кажущуюся сложность, в данном случае удается полностью исследовать движение частицы с помощью,весьма простых рассуждений. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось 7 была направлена вдоль вектора индукции магнитного поля В, а ось у - вдоль вектора напряженности электрического поля Е. Начало системы координат поместим в ту точку, где в начальный момент времени покоилась частица (рис. 12.2). Пусть для определенности заряд частицы q положителен. Прежде всего убедимся, что траектория представляет собой плоскую кривую. Первоначально покоившейся частице электрическое поле сообщает ускорение и, следовательно, скорость вдоль оси у. Поскольку сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, перпендикулярна как индукции поля, так и скорости частицы, то и эта сила также действует в плоскости ху. Другими словами, ускорение частицы, а следовательно, и скорость вдоль оси z равны нулю: частица никогда не сможет покинуть плоскость ху. Но и в плоскости ху первоначально покоившаяся положительно заряженная частица может двигаться только в верхней полуплоскости (у 5=0). В этом проще всего убедиться из энергетических соображений. В самом деле, постоянное магнитное поле, действуя перпендикулярно скорости, работы не совершает, а посто- \ янное электрическое поле потенциально. В рассматриваемом однородном электрическом поле потенциальная энергия заряженной частицы зависит только от координаты у, и наша частица, оказавшись ниже оси дс, имела бы полную энергию большую, чем в начальный момент. Самое большее - частица сможет только дойти до оси л:, но при этом скорость ее должна обратиться в нуль. Чтобы продвинуться дальше в выяснении вопроса о форме траектории, забудем на время о начальных условиях и задумаемся над таким вопросом: может: ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться с постоянной скоростью? Очевидно, что для этого полная сила, действующая на частицу, должна быть равна нулю, т. е. магнитная и электрическая силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Электрическая сила, действующая на положительно заряженную частицу, направлена вдоль оси у, следовательно, магнитная должна быть направлена в отрицательном направлении этой оси. Нетрудно убедиться, что для этого скорость частицы должна быть направлена вдоль оси х. Модуль скорости определяется из соотношения qE=qvB, (12.7). откуда » = (12-8) Поскольку скорость частицы не может превышать скорости света в вакууме с, то из формулы (12.8) видно, что движение заряженной частицы в "скрещенных полях с постоянной скоростью возможно только при Ея 7. Объясните возможность использования электродвигателя постоянного тока в качестве электрогенератора, основываясь на законе сохранения энергии. 8. Может ли заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях двигаться прямолинейно и равномерно?
Loading...