Θεωρήστε τώρα τον τετραγωνισμό του διωνύμου και, εφαρμόζοντας την αριθμητική άποψη, θα μιλήσουμε για το τετράγωνο του αθροίσματος, δηλαδή (a + b)² και το τετράγωνο της διαφοράς δύο αριθμών, δηλαδή (a - b)² .
Εφόσον (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
τότε βρίσκουμε: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², δηλ.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Είναι χρήσιμο να θυμάστε αυτό το αποτέλεσμα τόσο με τη μορφή της παραπάνω ισότητας όσο και με λέξεις: το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού συν το γινόμενο του δύο με τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο αριθμό, συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.
Γνωρίζοντας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε να γράψουμε αμέσως, για παράδειγμα:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Ας ρίξουμε μια ματιά στο δεύτερο από αυτά τα παραδείγματα. Πρέπει να τετραγωνίσουμε το άθροισμα δύο αριθμών: ο πρώτος αριθμός είναι 3ab, ο δεύτερος είναι 1. Θα πρέπει να αποδειχθεί: 1) το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, δηλαδή (3ab)², που ισούται με 9a²b². 2) το γινόμενο του δύο με τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο, δηλ. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab. 3) το τετράγωνο του 2ου αριθμού, δηλαδή 1² \u003d 1 - και οι τρεις αυτοί όροι πρέπει να προστεθούν μαζί.
Με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε έναν τύπο για τον τετραγωνισμό της διαφοράς δύο αριθμών, δηλαδή για (a - b)²:
(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².
(a - b)² = a² - 2ab + b²,
Δηλαδή, το τετράγωνο της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, μείον το γινόμενο του δύο από τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο, συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.
Γνωρίζοντας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε να εκτελέσουμε αμέσως τον τετραγωνισμό των διωνύμων που αντιπροσωπεύουν, από αριθμητική άποψη, τη διαφορά δύο αριθμών.
(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2, κ.λπ.
Ας εξηγήσουμε το 2ο παράδειγμα. Εδώ έχουμε μέσα σε αγκύλες τη διαφορά δύο αριθμών: του πρώτου αριθμού 5ab 3 και του δεύτερου αριθμού 3a 2 b. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι: 1) το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, δηλαδή (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) το γινόμενο του δύο με τον 1ο και τον 2ο αριθμό, δηλ. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 και 3) το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού, δηλαδή (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; ο πρώτος και ο τρίτος όρος πρέπει να ληφθούν με ένα συν, και ο 2ος με ένα μείον, παίρνουμε 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Για να διευκρινίσουμε το 4ο παράδειγμα, σημειώνουμε μόνο ότι 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... ο εκθέτης πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 2 και 2) το γινόμενο του δύο με τον 1ο αριθμό και με το 2ο = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Αν πάρουμε την άποψη της άλγεβρας, τότε και οι δύο ισότητες: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² και 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² εκφράζουν το ίδιο πράγμα, δηλαδή: το τετράγωνο του διωνύμου ισούται με το τετράγωνο του πρώτου όρου, συν το γινόμενο του αριθμού (+2) επί τον πρώτο όρο και το δεύτερο, συν το τετράγωνο του δεύτερου μέλους. Αυτό είναι ξεκάθαρο, γιατί οι ισότητες μας μπορούν να ξαναγραφτούν ως εξής:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²
Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να ερμηνεύσουμε τις λαμβανόμενες ισότητες με αυτόν τον τρόπο:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Εδώ το διώνυμο είναι τετράγωνο, ο πρώτος όρος του οποίου = -4a και ο δεύτερος = -3b. Τότε παίρνουμε (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² και τέλος:
(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Θα ήταν επίσης δυνατό να ληφθεί και να απομνημονευτεί ο τύπος για τον τετραγωνισμό ενός τριωνύμου, ενός τετραωνύμου και γενικά οποιουδήποτε πολυωνύμου. Ωστόσο, δεν θα το κάνουμε αυτό, γιατί σπάνια πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους τύπους, και αν χρειαστεί να τετραγωνίσουμε οποιοδήποτε πολυώνυμο (εκτός από ένα διώνυμο), τότε θα αναγάγουμε την ύλη σε πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα:
31. Εφαρμόστε τις 3 ισότητες που προέκυψαν, και συγκεκριμένα:
(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
στην αριθμητική.
Έστω 41 ∙ 39. Στη συνέχεια, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε με τη μορφή (40 + 1) (40 - 1) και να μειώσουμε την ύλη στην πρώτη ισότητα - παίρνουμε 40² - 1 ή 1600 - 1 \u003d 1599. Χάρη σε αυτό , είναι εύκολο να εκτελέσετε πολλαπλασιασμούς όπως 21 ∙ 19. 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 κ.λπ.
Έστω 41 ∙ 41. είναι το ίδιο με 41² ή (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Επίσης 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Εάν χρειάζεστε 37 ∙ 3 τότε είναι ίσο με (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Τέτοιοι πολλαπλασιασμοί (ή τετραγωνισμός διψήφιων αριθμών) είναι εύκολο να εκτελεστούν, με κάποια ικανότητα, στο μυαλό.
Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού (FSU) χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό και τον πολλαπλασιασμό αριθμών και παραστάσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι σάς επιτρέπουν να κάνετε υπολογισμούς πιο συμπαγή και γρήγορα.
Σε αυτό το άρθρο, θα απαριθμήσουμε τους κύριους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό, θα τους ομαδοποιήσουμε σε έναν πίνακα, θα εξετάσουμε παραδείγματα χρήσης αυτών των τύπων και θα σταθούμε επίσης στις αρχές της απόδειξης συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Για πρώτη φορά εξετάζεται το θέμα του FSU στα πλαίσια του μαθήματος «Άλγεβρα» για την 7η τάξη. Παρακάτω είναι 7 βασικοί τύποι.
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού
- τύπος αθροίσματος τετραγώνου: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- τετράγωνος τύπος διαφοράς: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- τύπος κύβου αθροίσματος: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- τύπος κύβου διαφοράς: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- τύπος διαφοράς τετραγώνων: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- τύπος για το άθροισμα των κύβων: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- τύπος διαφοράς κύβου: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Τα γράμματα a, b, c σε αυτές τις εκφράσεις μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί, μεταβλητές ή εκφράσεις. Για ευκολία στη χρήση, είναι καλύτερο να μάθετε τις επτά βασικές φόρμουλες από την καρδιά. Τα συνοψίζουμε σε έναν πίνακα και τα δίνουμε παρακάτω, κυκλώνοντάς τα με ένα κουτί.
Οι τέσσερις πρώτοι τύποι σας επιτρέπουν να υπολογίσετε, αντίστοιχα, το τετράγωνο ή τον κύβο του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο παραστάσεων.
Ο πέμπτος τύπος υπολογίζει τη διαφορά των τετραγώνων των παραστάσεων πολλαπλασιάζοντας το άθροισμα και τη διαφορά τους.
Ο έκτος και ο έβδομος τύπος είναι, αντίστοιχα, ο πολλαπλασιασμός του αθροίσματος και της διαφοράς των παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς και το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος.
Ο συντετμημένος τύπος πολλαπλασιασμού ονομάζεται μερικές φορές και συντετμημένες ταυτότητες πολλαπλασιασμού. Αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, αφού κάθε ισότητα είναι μια ταυτότητα.
Κατά την επίλυση πρακτικών παραδειγμάτων, οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού χρησιμοποιούνται συχνά με αναδιαταγμένα αριστερά και δεξιά μέρη. Αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου.
Πρόσθετοι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού
Δεν θα περιοριστούμε στο μάθημα της 7ης τάξης στην άλγεβρα και θα προσθέσουμε μερικούς ακόμη τύπους στον πίνακα FSU μας.
Αρχικά, εξετάστε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Εδώ C n k είναι οι διωνυμικοί συντελεστές που βρίσκονται στον αριθμό n της γραμμής στο τρίγωνο του Pascal. Οι διωνυμικοί συντελεστές υπολογίζονται με τον τύπο:
C nk = n ! κ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Όπως μπορείτε να δείτε, το FSU για το τετράγωνο και τον κύβο της διαφοράς και του αθροίσματος είναι μια ειδική περίπτωση του διωνυμικού τύπου του Νεύτωνα για n=2 και n=3, αντίστοιχα.
Αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν περισσότεροι από δύο όροι στο άθροισμα που πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη; Ο τύπος για το τετράγωνο του αθροίσματος τριών, τεσσάρων ή περισσότερων όρων θα είναι χρήσιμος.
α 1 + α 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ένας άλλος τύπος που μπορεί να σας φανεί χρήσιμος είναι ο τύπος για τη διαφορά των ντων δυνάμεων δύο όρων.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Αυτός ο τύπος συνήθως χωρίζεται σε δύο τύπους - αντίστοιχα για ζυγούς και περιττούς βαθμούς.
Για ζυγούς εκθέτες 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Για περιττούς εκθέτες 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Οι τύποι για τη διαφορά των τετραγώνων και τη διαφορά των κύβων, το μαντέψατε, είναι ειδικές περιπτώσεις αυτού του τύπου για n = 2 και n = 3, αντίστοιχα. Για τη διαφορά των κύβων, το b αντικαθίσταται επίσης από - b .
Πώς να διαβάσετε συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού;
Θα δώσουμε τα αντίστοιχα σκευάσματα για κάθε τύπο, αλλά πρώτα θα ασχοληθούμε με την αρχή της ανάγνωσης τύπων. Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι με ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε τον πρώτο τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Λένε: το τετράγωνο του αθροίσματος δύο παραστάσεων α και β είναι ίσο με το άθροισμα του τετραγώνου της πρώτης παράστασης, διπλάσιο του γινόμενου των παραστάσεων και του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης.
Όλοι οι άλλοι τύποι διαβάζονται παρόμοια. Για την τετραγωνική διαφορά a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 γράφουμε:
το τετράγωνο της διαφοράς δύο παραστάσεων α και β είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων αυτών των παραστάσεων μείον το διπλάσιο του γινόμενου της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων.
Ας διαβάσουμε τον τύπο a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ο κύβος του αθροίσματος δύο παραστάσεων a και b είναι ίσος με το άθροισμα των κύβων αυτών των παραστάσεων, τρεις φορές το γινόμενο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης και τρεις φορές το γινόμενο του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης και η πρώτη έκφραση.
Προχωράμε στην ανάγνωση του τύπου για τη διαφορά των κύβων a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ο κύβος της διαφοράς δύο παραστάσεων a και b είναι ίσος με τον κύβο της πρώτης παράστασης μείον το τριπλάσιο του τετραγώνου της πρώτης παράστασης και της δεύτερης, συν τριπλάσιο του τετραγώνου της δεύτερης παράστασης και της πρώτης παράστασης, μείον τον κύβο της δεύτερης έκφρασης.
Ο πέμπτος τύπος a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (διαφορά τετραγώνων) έχει ως εξής: η διαφορά των τετραγώνων δύο παραστάσεων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς και το άθροισμα των δύο παραστάσεων.
Εκφράσεις όπως a 2 + a b + b 2 και a 2 - a b + b 2 για ευκολία ονομάζονται, αντίστοιχα, το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος και το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς.
Έχοντας αυτό υπόψη, οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων διαβάζονται ως εξής:
Το άθροισμα των κύβων δύο παραστάσεων είναι ίσο με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των παραστάσεων και το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς τους.
Η διαφορά των κύβων δύο παραστάσεων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των παραστάσεων με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος τους.
Απόδειξη FSU
Η απόδειξη του FSU είναι αρκετά απλή. Με βάση τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, θα πραγματοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό των μερών των τύπων σε αγκύλες.
Για παράδειγμα, εξετάστε τον τύπο για το τετράγωνο της διαφοράς.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Για να αυξηθεί μια έκφραση στη δεύτερη δύναμη, η έκφραση πρέπει να πολλαπλασιαστεί από μόνη της.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Ας επεκτείνουμε τις αγκύλες:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Η φόρμουλα έχει αποδειχθεί. Τα άλλα FSOs αποδεικνύονται παρόμοια.
Παραδείγματα εφαρμογής του FSO
Ο σκοπός της χρήσης τύπων μειωμένου πολλαπλασιασμού είναι ο γρήγορος και συνοπτικός πολλαπλασιασμός και η εκθέτηση παραστάσεων. Ωστόσο, αυτό δεν είναι ολόκληρο το πεδίο εφαρμογής του FSO. Χρησιμοποιούνται ευρέως στη μείωση των εκφράσεων, στη μείωση των κλασμάτων, στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Ας δώσουμε παραδείγματα.
Παράδειγμα 1. FSO
Ας απλοποιήσουμε την έκφραση 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Εφαρμόστε τον τύπο του αθροίσματος των τετραγώνων και λάβετε:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Παράδειγμα 2. FSO
Μειώστε το κλάσμα 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Παρατηρούμε ότι η έκφραση στον αριθμητή είναι η διαφορά των κύβων και στον παρονομαστή - η διαφορά των τετραγώνων.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Μειώνουμε και παίρνουμε:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Τα FSU βοηθούν επίσης στον υπολογισμό των τιμών των εκφράσεων. Το κύριο πράγμα είναι να μπορείτε να παρατηρήσετε πού να εφαρμόσετε τον τύπο. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας τετραγωνίσουμε τον αριθμό 79. Αντί για δυσκίνητους υπολογισμούς, γράφουμε:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Φαίνεται ότι ένας πολύπλοκος υπολογισμός πραγματοποιήθηκε γρήγορα με τη χρήση μόνο συντετμημένων τύπων πολλαπλασιασμού και ενός πίνακα πολλαπλασιασμού.
Ένα άλλο σημαντικό σημείο είναι η επιλογή του τετραγώνου του διωνύμου. Η έκφραση 4 x 2 + 4 x - 3 μπορεί να μετατραπεί σε 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Τέτοιοι μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στην ολοκλήρωση.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
>>Μαθηματικά: Μειωμένοι τύποι πολλαπλασιασμού
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού
Υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός ενός πολυωνύμου με ένα άλλο οδηγεί σε ένα συμπαγές, εύκολο στην απομνημόνευση αποτέλεσμα. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι προτιμότερο να μην πολλαπλασιάζονται μία φορά κάθε φορά πολυώνυμοςαπό την άλλη και χρησιμοποιήστε το τελικό αποτέλεσμα. Ας εξετάσουμε αυτές τις περιπτώσεις.
1. Το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς:
Παράδειγμα 1Ανοίξτε αγκύλες σε μια έκφραση:
α) (3x + 2) 2 ;
β) (5a 2 - 4b 3) 2
α) Χρησιμοποιούμε τον τύπο (1),λαμβάνοντας υπόψη ότι ο ρόλος του a παίζεται από το 3x και ο ρόλος του b είναι ο αριθμός 2.
Παίρνουμε:
(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.
β) Χρησιμοποιούμε τον τύπο (2), λαμβάνοντας υπόψη ότι στον ρόλο αλλάμιλάει 5α 2, και στον ρόλο σιμιλάει 4β 3. Παίρνουμε:
(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Όταν χρησιμοποιείτε τους τύπους για το τετράγωνο του αθροίσματος ή το τετράγωνο της διαφοράς, να έχετε κατά νου ότι
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(β-α) 2 = (α-β) 2 .
Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι (- a) 2 = a 2 .
Σημειώστε ότι ορισμένα μαθηματικά κόλπα βασίζονται στους τύπους (1) και (2), επιτρέποντάς σας να κάνετε υπολογισμούς στο μυαλό σας.
Για παράδειγμα, μπορεί κανείς πρακτικά να τετραγωνίσει λεκτικά αριθμούς που τελειώνουν σε 1 και 9. Πράγματι
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.
Μερικές φορές μπορείτε επίσης να τετραγωνίσετε γρήγορα έναν αριθμό που τελειώνει σε 2 ή 8. Για παράδειγμα,
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Αλλά το πιο κομψό κόλπο περιλαμβάνει τον τετραγωνισμό των αριθμών που τελειώνουν σε 5.
Ας πραγματοποιήσουμε τον αντίστοιχο συλλογισμό για το 85 2 .
Εχουμε:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Σημειώνουμε ότι για να υπολογίσετε το 85 2 αρκούσε να πολλαπλασιάσετε το 8 με το 9 και να προσθέσετε 25 δεξιά στο αποτέλεσμα που προέκυψε. Ομοίως, μπορείτε να κάνετε το ίδιο και σε άλλες περιπτώσεις. Για παράδειγμα, 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 και 25 προστέθηκαν στον αριθμό που προκύπτει στα δεξιά).
65 2 = 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 και 25 προστέθηκαν στον αριθμό που προέκυψε στα δεξιά).
Δεδομένου ότι μιλάμε για διάφορες περίεργες περιστάσεις που σχετίζονται με βαρετούς (με την πρώτη ματιά) τύπους (1) και (2), θα συμπληρώσουμε αυτή τη συζήτηση με τον ακόλουθο γεωμετρικό συλλογισμό. Έστω α και β θετικοί αριθμοί. Θεωρήστε ένα τετράγωνο με πλευρά a + b και κόψτε τετράγωνα με πλευρές ίσες με a και b, αντίστοιχα, σε δύο από τις γωνίες του (Εικ. 4).
Το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά a + b είναι (a + b) 2 . Αλλά κόβουμε αυτό το τετράγωνο σε τέσσερα μέρη: ένα τετράγωνο με την πλευρά a (το εμβαδόν του είναι a 2), ένα τετράγωνο με την πλευρά b (το εμβαδόν του είναι b 2), δύο ορθογώνια με τις πλευρές a και b (το εμβαδόν καθενός από αυτά ορθογώνιο είναι αβ). Ως εκ τούτου, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, δηλαδή, έχουμε τον τύπο (1).
Πολλαπλασιάστε το δυώνυμο a + b με το δυώνυμο a - b. Παίρνουμε:
(α + β) (α - β) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
Έτσι
Οποιαδήποτε ισότητα στα μαθηματικά χρησιμοποιείται τόσο από αριστερά προς τα δεξιά (δηλαδή η αριστερή πλευρά της ισότητας αντικαθίσταται από τη δεξιά πλευρά της) όσο και από τη δεξιά προς την αριστερή (δηλαδή η δεξιά πλευρά της ισότητας αντικαθίσταται από την αριστερή της πλευρά). Εάν ο τύπος C) χρησιμοποιείται από αριστερά προς τα δεξιά, τότε σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε το προϊόν (a + b) (a - b) με το τελικό αποτέλεσμα a 2 - b 2 . Ο ίδιος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί από τα δεξιά προς τα αριστερά και, στη συνέχεια, σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε τη διαφορά των τετραγώνων a 2 - b 2 με το γινόμενο (a + b) (a - b). Στον τύπο (3) στα μαθηματικά δίνεται ένα ειδικό όνομα - η διαφορά των τετραγώνων.
Σχόλιο.
Μην συγχέετε τους όρους "διαφορά τετραγώνων" και "τετράγωνη διαφορά". Η διαφορά των τετραγώνων είναι 2 - b 2, που σημαίνει ότι μιλάμε για τον τύπο (3). το τετράγωνο της διαφοράς είναι (a-b) 2, άρα μιλάμε για τον τύπο (2). Στη συνηθισμένη γλώσσα, ο τύπος (3) διαβάζεται "από δεξιά προς τα αριστερά" ως εξής:
η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών (εκφράσεις) είναι ίση με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των αριθμών (εκφράσεις) και της διαφοράς τους,
Παράδειγμα 2Εκτελέστε πολλαπλασιασμό
(3x-2y)(3x+2y)
Λύση. Εχουμε:
(3x - 2y) (3x + 2y) \u003d (3x) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.
Παράδειγμα 3Εκφράστε το διώνυμο 16x 4 - 9 ως γινόμενο διωνύμων.
Λύση. Έχουμε: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, που σημαίνει ότι το δεδομένο δυώνυμο είναι η διαφορά των τετραγώνων, δηλ. Ο τύπος (3), που διαβάζεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό. Τότε παίρνουμε:
16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - W 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)
Ο τύπος (3), όπως οι τύποι (1) και (2), χρησιμοποιείται για μαθηματικά κόλπα. Βλέπω:
79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Ας ολοκληρώσουμε τη συζήτηση για τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων με έναν περίεργο γεωμετρικό συλλογισμό. Έστω a και b θετικοί αριθμοί, όπου a > b. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο με πλευρές a + b και a - b (Εικ. 5). Το εμβαδόν του είναι (α + β) (α - β). Κόψτε ένα ορθογώνιο με τις πλευρές b και a - b και κολλήστε το στο υπόλοιπο μέρος όπως φαίνεται στο σχήμα 6. Είναι σαφές ότι το σχήμα που προκύπτει έχει την ίδια περιοχή, δηλαδή (a + b) (a - b). Αλλά αυτός ο αριθμός μπορεί
χτίστε ως εξής: από ένα τετράγωνο με την πλευρά a, κόψτε ένα τετράγωνο με την πλευρά b (αυτό φαίνεται καθαρά στο Σχ. 6). Άρα το εμβαδόν του νέου σχήματος είναι 2 - b 2 . Έτσι, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, δηλ., πήραμε τον τύπο (3).
3. Διαφορά κύβων και άθροισμα κύβων
Πολλαπλασιάστε το διώνυμο a - b με το τριώνυμο a 2 + ab + b 2.
Παίρνουμε:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -bb 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.
Ομοίως
(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3
(ελέγξτε το μόνοι σας). Ετσι,
Ο τύπος (4) συνήθως ονομάζεται διαφορά των κύβων, τύπος (5) - το άθροισμα των κύβων. Ας προσπαθήσουμε να μεταφράσουμε τους τύπους (4) και (5) στη συνηθισμένη γλώσσα. Πριν το κάνετε αυτό, σημειώστε ότι η έκφραση a 2 + ab + b 2 είναι παρόμοια με την έκφραση a 2 + 2ab + b 2 που εμφανίστηκε στον τύπο (1) και έδωσε (a + b) 2 ; η έκφραση a 2 - ab + b 2 είναι παρόμοια με την έκφραση a 2 - 2ab + b 2 που εμφανίστηκε στον τύπο (2) και έδωσε (a - b) 2 .
Για να διακρίνουμε (στη γλώσσα) αυτά τα ζεύγη εκφράσεων μεταξύ τους, καθεμία από τις εκφράσεις a 2 + 2ab + b 2 και a 2 - 2ab + b 2 ονομάζεται τέλειο τετράγωνο (άθροισμα ή διαφορά) και κάθε μία από τις εκφράσεις a 2 + ab + b 2 και a 2 - ab + b 2 ονομάζεται ημιτελές τετράγωνο (άθροισμα ή διαφορά). Στη συνέχεια, λαμβάνουμε την ακόλουθη μετάφραση των τύπων (4) και (5) (διαβάστε "από δεξιά προς τα αριστερά") στη συνηθισμένη γλώσσα:
η διαφορά των κύβων δύο αριθμών (εκφράσεις) είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς αυτών των αριθμών (εκφράσεις) με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος τους. το άθροισμα των κύβων δύο αριθμών (εκφράσεις) είναι ίσο με το γινόμενο του αθροίσματος αυτών των αριθμών (εκφράσεις) με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς τους.
Σχόλιο. Όλοι οι τύποι (1)-(5) που λαμβάνονται σε αυτήν την ενότητα χρησιμοποιούνται τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από δεξιά προς τα αριστερά, μόνο στην πρώτη περίπτωση (από αριστερά προς τα δεξιά) λένε ότι (1)-(5) είναι συντομευμένος πολλαπλασιασμός τύπους, και στη δεύτερη περίπτωση (από δεξιά προς τα αριστερά) λένε ότι οι (1)-(5) είναι τύποι παραγοντοποίησης.
Παράδειγμα 4Πολλαπλασιάστε (2x-1)(4x2 + 2x+1).
Λύση. Δεδομένου ότι ο πρώτος παράγοντας είναι η διαφορά μεταξύ των μονοωνύμων 2x και 1 και ο δεύτερος παράγοντας είναι το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος τους, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος (4). Παίρνουμε:
(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.
Παράδειγμα 5Να εκφράσετε το διώνυμο 27a 6 + 8b 3 ως γινόμενο πολυωνύμων.
Λύση. Έχουμε: 27а 6 = (Για 2) 3 , 8β 3 = (2β) 3 . Αυτό σημαίνει ότι το δεδομένο δυώνυμο είναι το άθροισμα των κύβων, δηλαδή ο τύπος 95) μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό, διαβάζοντας από τα δεξιά προς τα αριστερά. Τότε παίρνουμε:
27a 6 + 8b 3 = (Για 2) 3 + (2β) 3 = (Για 2 + 2β) ((Για 2) 2 - Για 2 2β + (2β) 2) = (Για 2 + 2β) (9α 4 - 6a 2 b + 4b 2).
Βοηθήστε έναν μαθητή διαδικτυακά, Λήψη μαθηματικών για την 7η τάξη, ημερολόγιο-θεματικός προγραμματισμός
A. V. Pogorelov, Γεωμετρία για τάξεις 7-11, Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα
Περιεχόμενο μαθήματος περίληψη μαθήματοςυποστήριξη πλαισίων παρουσίασης μαθήματος επιταχυντικές μέθοδοι διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις εργαστήρια αυτοεξέτασης, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες γραφικά, πίνακες, σχήματα χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, παραβολές κόμικ, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα τσιπ για περίεργα cheat sheets σχολικά βιβλία βασικά και πρόσθετο γλωσσάρι όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός κομματιού στο σχολικό βιβλίο στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα αντικαθιστώντας τις απαρχαιωμένες γνώσεις με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματαημερολογιακό σχέδιο για το έτος Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα ΜαθήματαΟι συντετμημένοι τύποι έκφρασης χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στην πράξη, επομένως είναι σκόπιμο να τους μάθετε όλους από την καρδιά. Μέχρι αυτή τη στιγμή, θα υπηρετούμε πιστά, το οποίο συνιστούμε να εκτυπώνουμε και να το έχουμε συνεχώς μπροστά στα μάτια μας:
Οι πρώτοι τέσσερις τύποι από τον μεταγλωττισμένο πίνακα των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού σάς επιτρέπουν να τετραγωνίσετε και να βάλετε σε κύβο το άθροισμα ή τη διαφορά δύο παραστάσεων. Το πέμπτο είναι για τον συνοπτικό πολλαπλασιασμό της διαφοράς και του αθροίσματος δύο παραστάσεων. Και ο έκτος και ο έβδομος τύπος χρησιμοποιούνται για να πολλαπλασιάσουμε το άθροισμα δύο παραστάσεων a και b με το ημιτελές τετράγωνο της διαφοράς τους (έτσι ονομάζεται η έκφραση της μορφής a 2 −ab + b 2) και τη διαφορά δύο παραστάσεων a και b με το ημιτελές τετράγωνο του αθροίσματος τους (a 2 + a b+b 2 ) αντίστοιχα.
Αξίζει να σημειωθεί ξεχωριστά ότι κάθε ισότητα στον πίνακα είναι μια ταυτότητα. Αυτό εξηγεί γιατί οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού ονομάζονται επίσης συντετμημένες ταυτότητες πολλαπλασιασμού.
Κατά την επίλυση παραδειγμάτων, ειδικά στα οποία λαμβάνει χώρα η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου, το FSU χρησιμοποιείται συχνά στη μορφή με το αριστερό και το δεξί μέρος αναδιάταξη:
Οι τρεις τελευταίες ταυτότητες στον πίνακα έχουν τα δικά τους ονόματα. Ο τύπος a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) ονομάζεται τύπος διαφοράς τετραγώνων, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - τύπος αθροίσματος κύβων, αλλά a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - τύπος διαφοράς κύβου. Λάβετε υπόψη ότι δεν ονομάσαμε τους αντίστοιχους τύπους με αναδιαταγμένα μέρη από τον προηγούμενο πίνακα FSU.
Πρόσθετοι τύποι
Δεν βλάπτει να προσθέσετε μερικές ακόμη ταυτότητες στον πίνακα των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
Πεδίο εφαρμογής συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού (FSU) και παραδείγματα
Ο κύριος σκοπός των συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού (FSU) εξηγείται από το όνομά τους, δηλαδή συνίσταται σε έναν σύντομο πολλαπλασιασμό εκφράσεων. Ωστόσο, το πεδίο εφαρμογής του FSO είναι πολύ ευρύτερο και δεν περιορίζεται σε σύντομο πολλαπλασιασμό. Ας απαριθμήσουμε τις κύριες κατευθύνσεις.
Αναμφίβολα, η κεντρική εφαρμογή του τύπου μειωμένου πολλαπλασιασμού βρέθηκε στην εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών εκφράσεων. Τις περισσότερες φορές, αυτοί οι τύποι χρησιμοποιούνται στη διαδικασία απλοποιήσεις έκφρασης.
Παράδειγμα.
Απλοποιήστε την παράσταση 9·y−(1+3·y) 2 .
Λύση.
Σε αυτήν την έκφραση, ο τετραγωνισμός μπορεί να εκτελεστεί συντομογραφικά, έχουμε 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Μένει μόνο να ανοίξουμε τις αγκύλες και να δώσουμε παρόμοιους όρους: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.
Ανάμεσα στις διάφορες εκφράσεις που εξετάζονται στην άλγεβρα, τα αθροίσματα των μονώνυμων κατέχουν σημαντική θέση. Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων εκφράσεων:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Το άθροισμα των μονοωνύμων ονομάζεται πολυώνυμο. Οι όροι σε ένα πολυώνυμο ονομάζονται μέλη του πολυωνύμου. Τα μονοώνυμα αναφέρονται επίσης ως πολυώνυμα, θεωρώντας ένα μονώνυμο ως πολυώνυμο που αποτελείται από ένα μέλος.
Για παράδειγμα, πολυώνυμο
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
μπορεί να απλοποιηθεί.
Αντιπροσωπεύουμε όλους τους όρους ως μονώνυμα της τυπικής φόρμας:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Δίνουμε παρόμοιους όρους στο πολυώνυμο που προκύπτει:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Το αποτέλεσμα είναι ένα πολυώνυμο, όλα τα μέλη του οποίου είναι μονώνυμα της τυπικής μορφής και μεταξύ τους δεν υπάρχουν παρόμοια. Τέτοια πολυώνυμα ονομάζονται πολυώνυμα τυπικής μορφής.
Πίσω πολυωνυμικό βαθμότυποποιημένη μορφή λαμβάνουν τη μεγαλύτερη από τις εξουσίες των μελών της. Άρα, το διώνυμο \(12a^2b - 7b \) έχει τον τρίτο βαθμό και το τριώνυμο \(2b^2 -7b + 6 \) έχει τον δεύτερο.
Συνήθως, τα μέλη πολυωνύμων τυπικής μορφής που περιέχουν μία μεταβλητή είναι διατεταγμένα σε φθίνουσα σειρά των εκθετών της. Για παράδειγμα:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Το άθροισμα πολλών πολυωνύμων μπορεί να μετατραπεί (απλοποιηθεί) σε ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής.
Μερικές φορές τα μέλη ενός πολυωνύμου χρειάζεται να χωριστούν σε ομάδες, περικλείοντας κάθε ομάδα σε παρένθεση. Δεδομένου ότι οι παρενθέσεις είναι αντίθετες από τις παρενθέσεις, είναι εύκολο να διατυπωθούν κανόνες ανοίγματος παρενθέσεων:
Εάν το σύμβολο + τοποθετηθεί πριν από τις αγκύλες, τότε οι όροι που περικλείονται σε αγκύλες γράφονται με τα ίδια πρόσημα.
Εάν τοποθετηθεί ένα σύμβολο "-" μπροστά από τις αγκύλες, τότε οι όροι που περικλείονται σε αγκύλες γράφονται με αντίθετα σημάδια.
Μετασχηματισμός (απλοποίηση) του γινομένου ενός μονοωνύμου και ενός πολυωνύμου
Χρησιμοποιώντας την κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού, μπορεί κανείς να μετατρέψει (απλοποιήσει) το γινόμενο ενός μονωνύμου και ενός πολυωνύμου σε πολυώνυμο. Για παράδειγμα:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Το γινόμενο ενός μονοωνύμου και ενός πολυωνύμου είναι πανομοιότυπα ίσο με το άθροισμα των γινομένων αυτού του μονοωνύμου και καθενός από τους όρους του πολυωνύμου.
Αυτό το αποτέλεσμα συνήθως διατυπώνεται κατά κανόνα.
Για να πολλαπλασιάσουμε ένα μονώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το μονώνυμο με κάθε έναν από τους όρους του πολυωνύμου.
Έχουμε χρησιμοποιήσει επανειλημμένα αυτόν τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό με ένα άθροισμα.
Το γινόμενο των πολυωνύμων. Μετασχηματισμός (απλούστευση) του γινομένου δύο πολυωνύμων
Γενικά, το γινόμενο δύο πολυωνύμων είναι πανομοιότυπα ίσο με το άθροισμα του γινομένου κάθε όρου ενός πολυωνύμου και κάθε όρου του άλλου.
Συνήθως χρησιμοποιείτε τον ακόλουθο κανόνα.
Για να πολλαπλασιάσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και να προσθέσετε τα γινόμενα που προκύπτουν.
Συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού. Άθροισμα, Διαφορά και Τετράγωνα Διαφοράς
Ορισμένες εκφράσεις σε αλγεβρικούς μετασχηματισμούς πρέπει να αντιμετωπίζονται πιο συχνά από άλλες. Ίσως οι πιο συνηθισμένες εκφράσεις είναι \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) και \(a^2 - b^2 \), δηλαδή το τετράγωνο του αθροίσματος, το τετράγωνο της διαφοράς και τετραγωνική διαφορά. Παρατηρήσατε ότι τα ονόματα των υποδεικνυόμενων παραστάσεων φαίνεται να είναι ελλιπή, έτσι, για παράδειγμα, το \((a + b)^2 \) δεν είναι, φυσικά, μόνο το τετράγωνο του αθροίσματος, αλλά το τετράγωνο του αθροίσματος α και β. Ωστόσο, το τετράγωνο του αθροίσματος των α και β δεν είναι τόσο κοινό, κατά κανόνα, αντί για τα γράμματα α και β, περιέχει διάφορες, μερικές φορές αρκετά σύνθετες εκφράσεις.
Οι εκφράσεις \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) είναι εύκολο να μετατραπούν (απλοποιηθούν) σε πολυώνυμα της τυπικής μορφής, στην πραγματικότητα, έχετε ήδη συναντήσει μια τέτοια εργασία κατά τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Οι ταυτότητες που προκύπτουν είναι χρήσιμο να θυμούνται και να εφαρμόζονται χωρίς ενδιάμεσους υπολογισμούς. Οι σύντομες λεκτικές διατυπώσεις βοηθούν σε αυτό.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - το τετράγωνο του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων και του διπλού γινόμενου.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - το τετράγωνο της διαφοράς είναι το άθροισμα των τετραγώνων χωρίς να διπλασιαστεί το γινόμενο.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - η διαφορά των τετραγώνων είναι ίση με το γινόμενο της διαφοράς και του αθροίσματος.
Αυτές οι τρεις ταυτότητες επιτρέπουν στους μετασχηματισμούς να αντικαταστήσουν τα αριστερά τους μέρη με τα δεξιά και αντίστροφα - τα δεξιά με τα αριστερά. Το πιο δύσκολο σε αυτή την περίπτωση είναι να δεις τις αντίστοιχες εκφράσεις και να καταλάβεις τι αντικαθίστανται σε αυτές οι μεταβλητές a και b. Ας δούμε μερικά παραδείγματα χρήσης συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.
Φόρτωση...