ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.
§έντεκα. ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ ΓΩΝΙΕΣ.
Αν συνεχίσουμε την πλευρά κάποιας γωνίας πέρα από την κορυφή της, θα έχουμε δύο γωνίες (Εικ. 72): / Ένας ήλιος και / SVD, στην οποία η μία πλευρά BC είναι κοινή, και οι άλλες δύο AB και BD σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.
Δύο γωνίες που έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες δύο σχηματίζουν ευθεία ονομάζονται γειτονικές γωνίες.
Οι γειτονικές γωνίες μπορούν επίσης να ληφθούν με αυτόν τον τρόπο: αν σχεδιάσουμε μια ακτίνα από κάποιο σημείο σε μια ευθεία γραμμή (όχι σε μια δεδομένη ευθεία), τότε έχουμε γειτονικές γωνίες.
Για παράδειγμα, /
ADF και /
FDВ - παρακείμενες γωνίες (Εικ. 73).
Οι παρακείμενες γωνίες μπορούν να έχουν μεγάλη ποικιλία θέσεων (Εικ. 74).
Οι γειτονικές γωνίες αθροίζονται σε μια ευθεία γωνία, έτσι το umma δύο γειτονικών γωνιών είναι 2ρε.
Ως εκ τούτου, μια ορθή γωνία μπορεί να οριστεί ως μια γωνία ίση με τη γειτονική γωνία της.
Γνωρίζοντας την τιμή μιας από τις διπλανές γωνίες, μπορούμε να βρούμε την τιμή της άλλης διπλανής γωνίας.
Για παράδειγμα, εάν μία από τις διπλανές γωνίες είναι 3/5 ρε, τότε η δεύτερη γωνία θα είναι ίση με:
2ρε- 3 / 5 ρε= l 2 / 5 ρε.
2. Κάθετες γωνίες.
Αν επεκτείνουμε τις πλευρές μιας γωνίας πέρα από την κορυφή της, έχουμε κατακόρυφες γωνίες. Στο σχέδιο 75, οι γωνίες EOF και AOC είναι κάθετες. Οι γωνίες AOE και COF είναι επίσης κάθετες.
Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης γωνίας.
Ας είναι / 1 = 7 / 8 ρε(Εικ. 76). Δίπλα σε αυτό / 2 θα ισούται με 2 ρε- 7 / 8 ρε, δηλαδή 1 1/8 ρε.
Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε τι ισούται με /
3 και /
4.
/
3 = 2ρε - 1 1 / 8 ρε = 7 / 8 ρε; /
4 = 2ρε - 7 / 8 ρε = 1 1 / 8 ρε(Εικ. 77).
Το βλέπουμε αυτό / 1 = / 3 και / 2 = / 4.
Μπορείτε να λύσετε πολλά περισσότερα από τα ίδια προβλήματα και κάθε φορά να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα: οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Ωστόσο, για να βεβαιωθείτε ότι οι κατακόρυφες γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους, δεν αρκεί να εξετάσουμε μεμονωμένα αριθμητικά παραδείγματα, καθώς τα συμπεράσματα που προκύπτουν από συγκεκριμένα παραδείγματα μπορεί μερικές φορές να είναι λανθασμένα.
Είναι απαραίτητο να επαληθευτεί η εγκυρότητα της ιδιότητας των κατακόρυφων γωνιών με συλλογισμό, με απόδειξη.
Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί ως εξής (Εικ. 78):
/
ένα +/
ντο = 2ρε;
/
β +/
ντο = 2ρε;
(αφού το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 2 ρε).
/ ένα +/ ντο = / β +/ ντο
(αφού η αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίση με 2 ρε, και η δεξιά πλευρά του είναι επίσης ίση με 2 ρε).
Αυτή η ισότητα περιλαμβάνει την ίδια γωνία με.
Αν αφαιρέσουμε ισόποσα από ίσες τιμές, τότε θα παραμείνει ίσο. Το αποτέλεσμα θα είναι: / ένα = / σι, δηλαδή, οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Όταν εξετάζουμε το ζήτημα των κατακόρυφων γωνιών, αρχικά εξηγήσαμε ποιες γωνίες ονομάζονται κάθετες, δηλ. ορισμόςκάθετες γωνίες.
Στη συνέχεια κάναμε μια κρίση (δήλωση) για την ισότητα των κατακόρυφων γωνιών και πειστήκαμε για την εγκυρότητα αυτής της κρίσης με απόδειξη. Τέτοιες κρίσεις, η εγκυρότητα των οποίων πρέπει να αποδειχθεί, καλούνται θεωρήματα. Έτσι, σε αυτή την ενότητα δώσαμε τον ορισμό των κατακόρυφων γωνιών, καθώς επίσης αναφέραμε και αποδείξαμε ένα θεώρημα για την ιδιότητά τους.
Στο μέλλον, όταν μελετάμε τη γεωμετρία, θα πρέπει συνεχώς να συναντάμε ορισμούς και αποδείξεις θεωρημάτων.
3. Το άθροισμα των γωνιών που έχουν κοινή κορυφή.
Στο σχέδιο 79 /
1, /
2, /
3 και /
Τα 4 βρίσκονται στην ίδια πλευρά μιας ευθείας γραμμής και έχουν κοινή κορυφή σε αυτήν την ευθεία. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια ευθεία γωνία, δηλ.
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2ρε.
Στο σχέδιο 80 / 1, / 2, / 3, / 4 και / 5 έχουν κοινή κορυφή. Συνολικά, αυτές οι γωνίες αποτελούν μια πλήρη γωνία, δηλ. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ρε.
Γυμνάσια.
1. Μία από τις διπλανές γωνίες είναι 0,72 ρε.Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι αυτών των διπλανών γωνιών.
2. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο γειτονικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία.
3. Να αποδείξετε ότι αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε και οι διπλανές τους γωνίες είναι ίσες.
4. Πόσα ζεύγη διπλανών γωνιών υπάρχουν στο σχέδιο 81;
5. Μπορεί ένα ζεύγος γειτονικών γωνιών να αποτελείται από δύο οξείες γωνίες; από δύο αμβλείες γωνίες; από ορθές και αμβλείες γωνίες; από ορθή και οξεία γωνία;
6. Αν μία από τις διπλανές γωνίες είναι ορθή, τότε τι μπορεί να ειπωθεί για την τιμή της γωνίας που γειτνιάζει με αυτήν;
7. Αν στη τομή δύο ευθειών υπάρχει μία ορθή γωνία, τότε τι μπορεί να ειπωθεί για το μέγεθος των υπόλοιπων τριών γωνιών;
ένεσηνα διασταλεί, δηλαδή ίσο με 180 °, επομένως, για να τα βρείτε, αφαιρέστε από αυτό τη γνωστή τιμή της κύριας γωνίας α1 \u003d α2 \u003d 180 ° -α.Από αυτό υπάρχουν . Αν δύο γωνίες είναι και γειτονικές και ίσες ταυτόχρονα, τότε είναι ορθές. Αν μία από τις διπλανές γωνίες είναι ορθή, δηλαδή είναι 90 μοίρες, τότε και η άλλη γωνία είναι ορθή. Εάν μία από τις γειτονικές γωνίες είναι οξεία, τότε η άλλη θα είναι αμβλεία. Ομοίως, εάν μία από τις γωνίες είναι αμβλεία, τότε η δεύτερη, αντίστοιχα, θα είναι οξεία.
Οξεία γωνία είναι αυτή της οποίας το μέτρο είναι μικρότερο από 90 μοίρες αλλά μεγαλύτερο από 0. Η αμβλεία γωνία έχει μέτρο μεγαλύτερο από 90 μοίρες αλλά μικρότερο από 180.
Μια άλλη ιδιότητα των παρακείμενων γωνιών διατυπώνεται ως εξής: αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε και οι γειτονικές γωνίες είναι επίσης ίσες. Αυτό είναι ότι εάν υπάρχουν δύο γωνίες για τις οποίες το μέτρο της μοίρας είναι το ίδιο (για παράδειγμα, είναι 50 μοίρες) και ταυτόχρονα μια από αυτές έχει μια γειτονική γωνία, τότε οι τιμές αυτών των γειτονικών γωνιών συμπίπτουν επίσης (στο παράδειγμα, το μέτρο του βαθμού τους θα είναι 130 μοίρες).
Πηγές:
- Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό - Παρακείμενες γωνίες
- Γωνία 180 μοιρών
Η λέξη "" έχει διάφορες ερμηνείες. Στη γεωμετρία, μια γωνία είναι ένα μέρος ενός επιπέδου που οριοθετείται από δύο ακτίνες που βγαίνουν από ένα σημείο - μια κορυφή. Όταν πρόκειται για ευθείες, αιχμηρές, ανεπτυγμένες γωνίες, εννοούνται οι γεωμετρικές γωνίες.
Όπως κάθε σχήμα στη γεωμετρία, οι γωνίες μπορούν να συγκριθούν. Η ισότητα των γωνιών καθορίζεται από την κίνηση. Μια γωνία είναι εύκολο να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη. Η διαίρεση σε τρία μέρη είναι λίγο πιο δύσκολη, αλλά μπορεί ακόμα να γίνει με χάρακα και πυξίδα. Παρεμπιπτόντως, αυτό το έργο φαινόταν αρκετά δύσκολο. Είναι γεωμετρικά εύκολο να περιγράψουμε ότι μια γωνία είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μια άλλη.
Η μονάδα μέτρησης για τις γωνίες είναι 1/180
Εισαγωγή στις γωνίες
Ας μας δοθούν δύο αυθαίρετες ακτίνες. Ας τα βάλουμε το ένα πάνω στο άλλο. Τότε
Ορισμός 1
Γωνία είναι το όνομα που δίνεται σε δύο ακτίνες που έχουν την ίδια προέλευση.
Ορισμός 2
Το σημείο, που είναι η αρχή των ακτίνων στο πλαίσιο του ορισμού 3, ονομάζεται κορυφή αυτής της γωνίας.
Μια γωνία θα συμβολίζεται με τα ακόλουθα τρία σημεία της: μια κορυφή, ένα σημείο σε μια από τις ακτίνες και ένα σημείο στην άλλη ακτίνα, με την κορυφή της γωνίας γραμμένη στο μέσο του χαρακτηρισμού της (Εικ. 1).
Τώρα ας ορίσουμε ποια είναι η τιμή της γωνίας.
Για να γίνει αυτό, πρέπει να επιλέξετε κάποιο είδος γωνίας "αναφοράς", το οποίο θα λάβουμε ως μονάδα. Τις περισσότερες φορές, μια τέτοια γωνία είναι μια γωνία που ισούται με $\frac(1)(180)$ ενός τμήματος μιας ευθείας γωνίας. Αυτή η τιμή ονομάζεται βαθμός. Αφού επιλέξουμε μια τέτοια γωνία, συγκρίνουμε τις γωνίες με αυτήν, η τιμή της οποίας πρέπει να βρεθεί.
Υπάρχουν 4 τύποι γωνιών:
Ορισμός 3
Μια γωνία ονομάζεται οξεία εάν είναι μικρότερη από $90^0$.
Ορισμός 4
Μια γωνία ονομάζεται αμβλεία αν είναι μεγαλύτερη από $90^0$.
Ορισμός 5
Μια γωνία ονομάζεται ευθεία αν είναι ίση με $180^0$.
Ορισμός 6
Μια γωνία ονομάζεται ορθή γωνία αν είναι ίση με $90^0$.
Εκτός από τέτοιους τύπους γωνιών, που περιγράφονται παραπάνω, είναι δυνατό να διακριθούν τύποι γωνιών σε σχέση μεταξύ τους, δηλαδή κάθετες και παρακείμενες γωνίες.
Παρακείμενες γωνίες
Θεωρήστε μια ευθεία γωνία $COB$. Σχεδιάστε μια ακτίνα $OA$ από την κορυφή της. Αυτή η ακτίνα θα χωρίσει την αρχική σε δύο γωνίες. Τότε
Ορισμός 7
Δύο γωνίες θα ονομάζονται γειτονικές αν το ένα ζεύγος των πλευρών τους είναι ευθεία γωνία και το άλλο ζεύγος συμπίπτει (Εικ. 2).
Σε αυτήν την περίπτωση, οι γωνίες $COA$ και $BOA$ είναι γειτονικές.
Θεώρημα 1
Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι $180^0$.
Απόδειξη.
Εξετάστε το σχήμα 2.
Σύμφωνα με τον ορισμό 7, η γωνία $COB$ σε αυτό θα είναι ίση με $180^0$. Εφόσον το δεύτερο ζεύγος πλευρών γειτονικών γωνιών συμπίπτει, τότε η ακτίνα $OA$ θα διαιρέσει την ευθεία γωνία με το 2, επομένως
$∠COA+∠BOA=180^0$
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Εξετάστε τη λύση του προβλήματος χρησιμοποιώντας αυτήν την έννοια.
Παράδειγμα 1
Βρείτε τη γωνία $C$ από το παρακάτω σχήμα
Με τον ορισμό 7, παίρνουμε ότι οι γωνίες $BDA$ και $ADC$ είναι γειτονικές. Επομένως, με το Θεώρημα 1, λαμβάνουμε
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Με το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο, θα έχουμε
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Απάντηση: $40^0$.
Κάθετες γωνίες
Εξετάστε τις αναπτυγμένες γωνίες $AOB$ και $MOC$. Ας αντιστοιχίσουμε τις κορυφές τους μεταξύ τους (δηλαδή, βάλουμε το σημείο $O"$ στο σημείο $O$) έτσι ώστε καμία από τις πλευρές αυτών των γωνιών να μην συμπίπτει. Τότε
Ορισμός 8
Δύο γωνίες θα ονομάζονται κάθετες αν τα ζεύγη των πλευρών τους είναι ευθύγραμμες και οι τιμές τους είναι ίδιες (Εικ. 3).
Σε αυτήν την περίπτωση, οι γωνίες $MOA$ και $BOC$ είναι κάθετες και οι γωνίες $MOB$ και $AOC$ είναι επίσης κάθετες.
Θεώρημα 2
Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Απόδειξη.
Εξετάστε το σχήμα 3. Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι η γωνία $MOA$ είναι ίση με τη γωνία $BOC$.
Δύο γωνίες ονομάζονται γειτονικές αν έχουν μια κοινή πλευρά και οι άλλες πλευρές αυτών των γωνιών είναι συμπληρωματικές ακτίνες. Στο σχήμα 20, οι γωνίες AOB και BOC είναι γειτονικές.
Το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180°
Θεώρημα 1. Το άθροισμα των διπλανών γωνιών είναι 180°.
Απόδειξη. Η δέσμη OB (βλ. Εικ. 1) διέρχεται μεταξύ των πλευρών της αναπτυγμένης γωνίας. Έτσι ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.
Από το Θεώρημα 1 προκύπτει ότι αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι γωνίες που γειτνιάζουν με αυτές είναι ίσες.
Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες
Δύο γωνίες ονομάζονται κάθετες αν οι πλευρές της μιας γωνίας είναι συμπληρωματικές ακτίνες των πλευρών της άλλης. Οι γωνίες AOB και COD, BOD και AOC, που σχηματίζονται στη διασταύρωση δύο ευθειών, είναι κάθετες (Εικ. 2).
Θεώρημα 2. Οι κάθετες γωνίες είναι ίσες.
Απόδειξη. Εξετάστε τις κατακόρυφες γωνίες AOB και COD (βλ. Εικ. 2). Η γωνία BOD είναι δίπλα σε καθεμία από τις γωνίες AOB και COD. Με το θεώρημα 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Επομένως συμπεραίνουμε ότι ∠ AOB = ∠ COD.
Συμπέρασμα 1. Μια γωνία δίπλα σε μια ορθή γωνία είναι μια ορθή γωνία.
Εξετάστε δύο τεμνόμενες ευθείες AC και BD (Εικ. 3). Σχηματίζουν τέσσερις γωνίες. Εάν μία από αυτές είναι ορθή (η γωνία 1 στο Σχ. 3), τότε οι άλλες γωνίες είναι επίσης ορθές (οι γωνίες 1 και 2, 1 και 4 είναι γειτονικές, οι γωνίες 1 και 3 είναι κάθετες). Σε αυτή την περίπτωση, αυτές οι ευθείες λέγεται ότι τέμνονται σε ορθή γωνία και ονομάζονται κάθετες (ή αμοιβαία κάθετες). Η καθετότητα των ευθειών AC και BD συμβολίζεται ως εξής: AC ⊥ BD.
Η κάθετη διχοτόμος ενός τμήματος είναι μια ευθεία κάθετη σε αυτό το τμήμα και διέρχεται από το μέσο του.
AN - κάθετη στη γραμμή
Θεωρήστε μια ευθεία α και ένα σημείο Α που δεν βρίσκονται πάνω της (Εικ. 4). Συνδέστε το σημείο Α με τμήμα στο σημείο Η με ευθεία α. Ένα τμήμα ΑΗ λέγεται κάθετο που σχεδιάζεται από το σημείο Α στην ευθεία a εάν οι ευθείες AN και a είναι κάθετες. Το σημείο Η ονομάζεται βάση της κάθετης.
Τετράγωνο σχεδίασης
Το παρακάτω θεώρημα είναι αληθές.
Θεώρημα 3. Από οποιοδήποτε σημείο που δεν βρίσκεται σε ευθεία, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια κάθετη σε αυτή την ευθεία, και επιπλέον, μόνο μία.
Για να σχεδιάσετε μια κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή στο σχέδιο, χρησιμοποιείται ένα τετράγωνο σχεδίου (Εικ. 5).
Σχόλιο. Η δήλωση του θεωρήματος συνήθως αποτελείται από δύο μέρη. Ένα μέρος μιλάει για αυτό που δίνεται. Αυτό το μέρος ονομάζεται συνθήκη του θεωρήματος. Το άλλο μέρος μιλάει για το τι πρέπει να αποδειχθεί. Αυτό το μέρος ονομάζεται συμπέρασμα του θεωρήματος. Για παράδειγμα, η συνθήκη του Θεωρήματος 2 είναι οι κατακόρυφες γωνίες. συμπέρασμα - αυτές οι γωνίες είναι ίσες.
Οποιοδήποτε θεώρημα μπορεί να εκφραστεί λεπτομερώς με λέξεις, έτσι ώστε η κατάστασή του να ξεκινά με τη λέξη «αν» και το συμπέρασμα με τη λέξη «τότε». Για παράδειγμα, το Θεώρημα 2 μπορεί να διατυπωθεί αναλυτικά ως εξής: «Αν δύο γωνίες είναι κάθετες, τότε είναι ίσες».
Παράδειγμα 1Μία από τις παρακείμενες γωνίες είναι 44°. Με τι ισούται το άλλο;
Απόφαση.
Να συμβολίσετε το μέτρο μοίρας μιας άλλης γωνίας με x, στη συνέχεια σύμφωνα με το Θεώρημα 1.
44° + x = 180°.
Λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει, βρίσκουμε ότι x \u003d 136 °. Επομένως, η άλλη γωνία είναι 136°.
Παράδειγμα 2Έστω η γωνία COD στο σχήμα 21 45°. Τι είναι οι γωνίες AOB και AOC;
Απόφαση.
Οι γωνίες COD και AOB είναι κάθετες, επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα 1.2 είναι ίσες, δηλ. ∠ AOB = 45°. Η γωνία AOC είναι γειτονική με τη γωνία COD, επομένως, από το Θεώρημα 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Παράδειγμα 3Βρείτε διπλανές γωνίες αν η μία από αυτές είναι 3 φορές η άλλη.
Απόφαση.
Να συμβολίσετε το μέτρο μοίρας της μικρότερης γωνίας με x. Τότε το μέτρο μοίρας της μεγαλύτερης γωνίας θα είναι Zx. Εφόσον το άθροισμα των παρακείμενων γωνιών είναι 180° (Θεώρημα 1), τότε x + 3x = 180°, από όπου x = 45°.
Άρα οι διπλανές γωνίες είναι 45° και 135°.
Παράδειγμα 4Το άθροισμα δύο κάθετων γωνιών είναι 100°. Βρείτε την τιμή καθεμιάς από τις τέσσερις γωνίες.
Απόφαση.
Έστω ότι το σχήμα 2 αντιστοιχεί στην συνθήκη του προβλήματος. Οι κατακόρυφες γωνίες COD προς AOB είναι ίσες (Θεώρημα 2), που σημαίνει ότι τα μέτρα βαθμών τους είναι επίσης ίσα. Επομένως, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (το άθροισμά τους είναι 100° κατά συνθήκη). Η γωνία BOD (επίσης η γωνία AOC) γειτνιάζει με τη γωνία COD και, επομένως, από το Θεώρημα 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.
Στη διαδικασία της μελέτης του μαθήματος της γεωμετρίας, οι έννοιες της «γωνίας», «κάθετων γωνιών», «γειτονικών γωνιών» συναντώνται αρκετά συχνά. Η κατανόηση καθενός από τους όρους θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε την εργασία και να την λύσετε σωστά. Τι είναι οι γειτονικές γωνίες και πώς να τις προσδιορίσετε;
Παρακείμενες γωνίες - ορισμός της έννοιας
Ο όρος "γειτονικές γωνίες" χαρακτηρίζει δύο γωνίες που σχηματίζονται από μια κοινή ακτίνα και δύο επιπλέον ημιευθείες που βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Και τα τρία δοκάρια προέρχονται από το ίδιο σημείο. Η κοινή ημι-γραμμή είναι ταυτόχρονα η πλευρά και της μιας και της δεύτερης γωνίας.
Παρακείμενες γωνίες - βασικές ιδιότητες
1. Με βάση τη διατύπωση των παρακείμενων γωνιών, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι το άθροισμα τέτοιων γωνιών σχηματίζει πάντα μια ευθεία γωνία, το μέτρο της μοίρας της οποίας είναι 180 °:
- Αν οι μ και η είναι γειτονικές γωνίες, τότε μ + η = 180°.
- Γνωρίζοντας την τιμή μιας από τις γειτονικές γωνίες (για παράδειγμα, μ), μπορεί κανείς να υπολογίσει εύκολα το μέτρο της μοίρας της δεύτερης γωνίας (η) χρησιμοποιώντας την έκφραση η = 180° - μ.
2. Αυτή η ιδιότητα των γωνιών μας επιτρέπει να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα: μια γωνία δίπλα σε μια ορθή γωνία θα είναι επίσης ορθή.
3. Λαμβάνοντας υπόψη τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin, cos, tg, ctg), με βάση τους τύπους αναγωγής για γειτονικές γωνίες μ και η, ισχύει το εξής:
- sini = sin(180° - μ) = sinμ,
- cos = cos(180° - μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° - μ) = -ctgμ.
Παρακείμενες γωνίες - παραδείγματα
Παράδειγμα 1
Δίνεται τρίγωνο με κορυφές M, P, Q – ΔMPQ. Να βρείτε τις γειτονικές γωνίες ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Ας επεκτείνουμε κάθε πλευρά του τριγώνου ως ευθεία γραμμή.
- Γνωρίζοντας ότι οι γειτονικές γωνίες αλληλοσυμπληρώνονται σε ευθεία γωνία, διαπιστώνουμε ότι:
δίπλα στη γωνία ∠QMP είναι ∠LMP,
δίπλα στη γωνία ∠MPQ είναι ∠SPQ,
η διπλανή γωνία για το ∠PQM είναι ∠HQP.
Παράδειγμα 2
Η τιμή μιας διπλανής γωνίας είναι 35°. Ποιο είναι το μέτρο της μοίρας της δεύτερης διπλανής γωνίας;
- Δύο γειτονικές γωνίες αθροίζονται έως και 180°.
- Αν ∠μ = 35°, τότε γειτονικά ∠η = 180° – 35° = 145°.
Παράδειγμα 3
Προσδιορίστε τις τιμές των παρακείμενων γωνιών, εάν είναι γνωστό ότι το μέτρο μοίρας μιας από τις κάτω είναι τρεις φορές μεγαλύτερο από το μέτρο μοιρών της άλλης γωνίας.
- Ας υποδηλώσουμε την τιμή μιας (μικρότερης) γωνίας μέσω – ∠μ = λ.
- Τότε, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, η τιμή της δεύτερης γωνίας θα είναι ίση με ∠η = 3λ.
- Με βάση τη βασική ιδιότητα των διπλανών γωνιών, ακολουθεί μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Άρα η πρώτη γωνία είναι ∠μ = λ = 45° και η δεύτερη γωνία είναι ∠η = 3λ = 135°.
Η ικανότητα προσφυγής στην ορολογία, καθώς και η γνώση των βασικών ιδιοτήτων των παρακείμενων γωνιών, θα βοηθήσει στην αντιμετώπιση πολλών γεωμετρικών προβλημάτων.
Φόρτωση...