Primitív. A differenciálszámítás feladata, hogy egy adott függvényre vonatkozóan megtalálja a deriváltját. Az integrálszámítás feladata: függvény keresése, deriváltjának ismeretében. Az F(x) függvényt antideriváltnak nevezzük az f(x) függvényre egy adott intervallumon, ha ebből az intervallumból bármely x-re igaz az F ʹ (x)=f(x) egyenlőség.
Tétel. Ha az F(x) függvény az f(x) függvény antideriváltja valamilyen intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antideriváltjának halmaza F(x)+C alakú, ahol C R. yx 0 Geometriailag: F( x)+C egy családgörbe, amelyet mindegyikből az operációs rendszer tengelye mentén párhuzamos transzlációval kapunk. C integrálgörbe
2. példa Keresse meg az összes f(x)=2x antiderivatív függvényt, és ábrázolja őket geometriailag. y x
Az integrandus - az integrandus - a határozatlan integrál jele x - az F (x) + C integrációs változó - az összes antiderivált halmaza C - az integrációs állandó Az antiderivált függvény megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük, és a matematika szakasza. integrálszámításnak nevezzük.
A határozatlan integrál tulajdonságai A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal, a határozatlan integrál deriváltja pedig az integrandusszal:
Az integráció alapvető módszerei. A közvetlen integráció módszere. A közvetlen integráció az integrálok kiszámításának olyan módszere, amelyben azokat táblázatosra redukáljuk egy határozatlan integrál alapvető tulajdonságainak alkalmazásával. Ebben az esetben az integrandus általában megfelelő módon átalakul.
GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" határozatlan idejű integrál. Számítási módszerek
Knidosi Eudoxus c. 408 - kb. Kr.e. 355 e. Az integrálszámítás a matematikai tudomány fejlődésének ókori időszakában jelent meg, és a kimerítés módszerével kezdődött, amelyet az ókori görög matematikusok dolgoztak ki, és egy szabályrendszer volt, amelyet Cnidus Eudoxus fejlesztett ki. E szabályok szerint történt a területek és térfogatok kiszámítása
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) A ∫ szimbólumot Leibniz (1675) vezette be. Ez a jel a latin S betű változata (a summa szó első betűje).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643-1727) Newton és Leibniz egymástól függetlenül fedezték fel a Newton-Leibniz képlet néven ismert tényt.
Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815, 1897) Cauchy és Weierstrass munkája összefoglalta az integrálszámítás évszázados fejlődését.
Orosz matematikusok vettek részt az integrálszámítás kidolgozásában: M.V. Osztrogradszkij (1801-1862) V.Ya. Bunyakovszkij (1804-1889) P.L. Csebisev (1821-1894)
UNMEFINITE INTEGRÁL Egy f(x) folytonos függvény határozatlan integrálja az (a; b) intervallumon annak bármely antiderivatív függvénye. Ahol C egy tetszőleges állandó (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Egyezés. Keresse meg az antiderivált olyan általános formáját, amely megfelel az adott függvénynek! tgx +С
Integrál tulajdonságok
Integrál tulajdonságok
Az integráció alapvető módszerei táblázatos. 2. Az integrandus táblázatos átalakítása összeggé vagy különbözetté. 3. Integrálás változó változtatással (helyettesítés). 4. Integráció részenként.
Keresse meg a függvények antideriváltjait: F(x) = 5 x ² + CF(x) = x ³ + CF(x) = - cos x + 5x + CF(x) = 5 sin x + CF(x) = 2 x ³ + CF(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x
Igaz-e, hogy: a) c) b) d)
Példa 1: A kifejezések összegének integrálja egyenlő ezen kifejezések integráljainak összegével, az integrál előjelből kivehető egy állandó tényező
2. példa Megoldás ellenőrzése Megoldás rögzítése:
3. példa Megoldás ellenőrzése Megoldás rögzítése:
4. példa. Ellenőrizze a megoldást Írja le a megoldást: Vezessen be egy új változót és fejezze ki a differenciálokat:
5. példa: Megoldás ellenőrzése Jegyezze fel a megoldást:
C önálló munka A határozatlan integrál megkeresése A megoldás ellenőrzése "A" szint ("3-mal") "B" szint ("4"-el) "C" szint ("5"-tel)
Feladat Hozzon létre egyezést. Keresse meg az antiderivált olyan általános formáját, amely megfelel az adott függvénynek!
dia 1
2. dia
Történelmi információk Az integrálszámítás a területek, térfogatok és súlypontok meghatározásának általános módszerének megalkotásának szükségességéből fakadt. Embrionális formájában ezt a módszert Archimedes alkalmazta. A 17. században szisztematikus fejlesztést kapott Cavalieri, Torricelli, Fermam és Pascal műveiben. I. Barrow 1659-ben kapcsolatot teremtett a területkeresés és az érintő megtalálásának problémája között. Newton és Leib-Nitz a 17. század 70-es éveiben ezt a kapcsolatot elterelték az említett konkrét geometriai problémáktól. Így kapcsolat jött létre az integrál- és a differenciálszámítás között. Ezt a kapcsolatot használták fel Newton, Leibniz és tanítványaik az integráció technikájának fejlesztésére. Az integrációs módszerek főként L. Euler munkáiban érték el jelenlegi állapotukat. M. V. Ostrogradsko-Go és P. L. Csebisev munkái fejezték be e módszerek kidolgozását.
3. dia
Az integrál fogalma. Adjuk meg az MN egyenest az egyenlet És meg kell találnunk az aABb görbe vonalú trapéz F területét. Osszuk fel az ab szakaszt n részre (egyenlő vagy egyenlőtlen), és alkossunk egy lépcsőzetes ábrát, amelyet az 1. ábrán sraffozással ábrázolunk. Területe, területe egyenlő (1) Ha bevezetjük a jelölést, akkor az (1) képlet felveszi a forma (3) A kívánt terület a (3) összeg határa végtelenül nagy n esetén. Leibniz bevezette ennek a határnak a megjelölését (4) Ahol (dőlt s) a summa (összeg) szó kezdőbetűje, az E kifejezés az egyes kifejezések tipikus alakját jelzi. Leibniz az integral kifejezést – a latin integralis szóból – integrálnak kezdte nevezni. J. B. Fourier javította Leibniz jelölését, így a formát adta. Itt az x kezdeti és végső értékei explicit módon vannak feltüntetve.
4. dia
Az integráció és a differenciálódás kapcsolata. Tekintsünk egy állandót és egy b változót. Ekkor az integrál b függvénye lesz. Ennek a függvénynek a különbsége az
5. dia
primitív függvény. Legyen egy függvény egy függvény deriváltja, T.S. Van egy függvénydifferenciál: Ekkor a függvényt a függvény antiderivatívájának nevezzük
6. dia
Példa az antiderivatív megtalálására. A függvény a T.S. antideriváltja. A függvénynek van különbsége A függvény a függvény antideriváltja
7. dia
Határozatlan integrál. Egy adott kifejezés határozatlan integrálja az antiderivatív funkciójának legáltalánosabb formája. Egy kifejezés határozatlan integrálját jelöljük A kifejezést szubintegrális kifejezésnek, a függvényt szubintegrális függvénynek, az x változót az integráció változójának nevezzük. Egy adott függvény határozatlan integráljának megtalálását integrációnak nevezzük. Anoshina O.V. Fő irodalom
1. V. S. Shipachev, Felső matematika. Alaptanfolyam: tankönyv ésműhely agglegényeknek [Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériumának bizonyítványa] / V. S.
Shipachev; szerk. A. N. Tikhonova. - 8. kiadás, átdolgozva. és további Moszkva: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. V. S. Shipachev, Felső matematika. Teljes tanfolyam: tankönyv
az akad. Bachelor diploma [UMO bizonyítvány] / V. S. Shipachev; szerk. A.
N. Tikhonova. - 4. kiadás, Rev. és további - Moszkva: Yurayt, 2015. - 608
tól től
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. felsőbb matematika
gyakorlatokban és feladatokban. [Szöveg] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozsevnyikov. 2 órakor - M .: Felsőiskola, 2007. - 304 + 415c.
Jelentés
1.Teszt. Az alábbiak szerint végezve:
A vizsgálatok elvégzésének feladatai, útmutatói
az "ALKALMAZOTT MATEMATIKA" tudományágban, Jekatyerinburg, FGAOU
VO "Orosz Állami Szakképzési Pedagógiai
Egyetem", 2016 - 30-as évek.
A szám utolsó számjegyével válassza ki a vezérlési munka opciót
rekordkönyv.
2.
Vizsga
Határozatlan integrál, tulajdonságai és számítása Antiderivatív és határozatlan integrál
Meghatározás. Az F x függvényt hívjukantiderivatív függvény f x meghatározott on
néhány intervallum, ha F x f x for
minden x ebből az intervallumból.
Például a cos x függvény az
antiderivatív függvény sin x , mivel
cos x sin x. Nyilvánvalóan, ha F x egy antiderivált
f x függvények, akkor F x C, ahol C valamilyen állandó, szintén az
antiderivatív függvény f x .
Ha F x valamilyen antiderivált
f x függvény, akkor az alak bármely függvénye
F x F x C is az
antiderivatív függvény f x és bármely
primitív ábrázolható ebben a formában. Meghatározás. Mindennek összessége
az f x függvény antideriváltjai,
egyeseken meghatározott
között hívják
határozatlan integrálja
f x függvények ezen az intervallumon és
f x dx jelöléssel. Ha F x a függvény valamilyen antideriváltja
f x , akkor f x dx F x C -t írnak, bár
helyesebb lenne f x dx F x C -t írni.
A kialakult hagyomány szerint mi fogunk írni
f x dx F x C .
Tehát ugyanaz a szimbólum
f x dx az egészet jelöli
az f x függvény antideriváltjainak halmaza,
és ennek a készletnek bármely eleme.
Integrál tulajdonságok
A határozatlan integrál deriváltja azintegrand, és annak differenciálja az integrandustól. Igazán:
1. (f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.
Integrál tulajdonságok
3. Határozatlan integráljadifferenciálmű folyamatosan (x)
differenciálható függvény önmagával egyenlő
ez a függvény egy állandóig:
d (x) (x) dx (x) C,
mivel (x) az (x) antideriváltja.
Integrál tulajdonságok
4. Ha az f1 x és f 2 x függvényeknek vanantiderivatívek, akkor az f1 x f 2 x függvény
antiderivatíve is van, és
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C.
1. dx x C .
egy 1
x
2. x a dx
C, (a 1).
egy 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
bűn x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
Határozatlan integrálok táblázata
11.dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arctan C .
a
a
egy x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
egy x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x
A differenciálművek tulajdonságai
Integráláskor kényelmes a használatatulajdonságai: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3
Példák
Példa. Számítsa ki a cos 5xdx-et.Megoldás. Az integrálok táblázatában azt találjuk
cos xdx sin x C .
Alakítsuk át ezt az integrált táblázatossá,
kihasználva azt a tényt, hogy d ax adx .
Azután:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5
Példák
Példa. Számítsd ki x-et3 x 1 dx.
Megoldás. Mivel az integráljel alatt
akkor négy tag összege
bontsa ki az integrált négy összegeként
integrálok:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x 4 x 2
3
x C
3
4
2
A változó típusának függetlensége
Az integrálok kiszámításakor kényelmeshasználja a következő tulajdonságokat
integrálok:
Ha f x dx F x C , akkor
f x b dx F x b C .
Ha f x dx F x C , akkor
1
f ax b dx F ax b C .
a
Példa
Kiszámít1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5
Integrációs módszerek Integrálás részenként
Ez a módszer az udv uv vdu formulán alapul.A következő integrálokat veszik a részenkénti integráció módszerével:
a) x n sin xdx, ahol n 1,2...k;
b) x n e x dx , ahol n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , ahol n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , ahol n 0, 1, 2,... k .
Az a) és b) integrálok kiszámításakor írjuk be
n 1
jelölése: x n u , majd du nx dx , és pl
sin xdx dv , majd v cos x .
A c), d) integrálok kiszámításakor jelölje u a függvényt
arctgx , ln x és dv esetén x n dx .
Példák
Példa. Számítsa ki x cos xdx .Megoldás.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Példák
Példa. Kiszámítjax ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2
Változó helyettesítési módszer
Legyen szükséges megtalálni f x dx , ésközvetlenül vegye fel a primitívet
f x esetén nem tudjuk, de ezt tudjuk
ő létezik. Gyakran megtalálható
antiderivatív egy új változó bevezetésével,
képlet szerint
f x dx f t t dt , ahol x t és t az új
változó
Négyzetes trinomit tartalmazó függvények integrálása
Tekintsük az integráltaxb
dx ,
x px q
in négyzetes trinomit tartalmaz
az integrandus nevezője
kifejezéseket. Egy ilyen integrált is veszünk
a változók módszerének megváltoztatása,
korábban azonosított
a nevező egy teljes négyzet.
2
Példa
Kiszámítjadx
.
x4x5
Megoldás. Alakítsuk át x 2 4 x 5-et,
2
teljes négyzet kiválasztása a b 2 a 2 2ab b 2 képlet szerint.
Akkor kapjuk:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.
Példa
megtalálja1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
Határozott integrál, főbb tulajdonságai. Newton-Leibniz képlet. Határozott integrál alkalmazásai.
A határozott integrál fogalma oda vezeta görbe területének megtalálásának problémája
trapéz alakú.
Adjunk meg bizonyos intervallumot
folytonos függvény y f (x) 0
Feladat:
Ábrázolja a grafikonját, és keresse meg az ábra F területét,
e görbe által határolt két egyenes x = a és x
= b, és alulról - az abszcissza tengely szegmense a pontok között
x = a és x = b. Az aABb alakot nevezzük
görbe vonalú trapéz
Meghatározás
bf(x)dx
Határozott integrál alatt
a
adott f(x) folytonos függvénytől tovább
ez a szegmens érthető
a megfelelő növekményt
primitív, vagyis
F (b) F (a) F (x) /
b
a
Az a és b számok az integráció határai,
az integráció intervalluma.
Szabály:
A határozott integrál egyenlő a különbséggelaz antiderivatív integrandus értékei
funkciók a felső és alsó határértékekhez
integráció.
A különbség jelölésének bemutatása
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Newton-Leibniz képlet.
Határozott integrál alapvető tulajdonságai.
1) Egy határozott integrál értéke nem függ attólintegrációs változó jelölése, azaz.
b
b
a
a
f (x)dx f (t)dt
ahol x és t tetszőleges betűk.
2) Határozott integrál ugyanazzal
kívül
az integráció nulla
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a 3) Az integráció határainak átrendezésekor
a határozott integrál megfordítja az előjelét
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
a
b
(additív tulajdonság)
4) Ha az intervallumot véges számra osztjuk
parciális intervallumok, majd a határozott integrál,
átvett intervallum egyenlő a definiált összegével
integrálok átvették annak összes parciális intervallumát.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx 5) Kivehető egy állandó szorzó
határozott integrál jelére.
6) Az algebrai meghatározott integrálja
véges számú folytonos összegei
függvények megegyeznek ugyanazzal az algebraival
ezek határozott integráljainak összege
funkciókat.
3. Változó változása egy meghatározott integrálban.
3. Változó cseréje egy bizonyosbanintegrál.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
ahol
t[; ] , a (t) és (t) függvények folyamatosan bekapcsolva vannak;
5
Példa:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Nem megfelelő integrálok.
Nem megfelelő integrálok.Meghatározás. Legyen az f(x) függvény definiálva
végtelen intervallum , ahol b< + . Если
létezik
b
lim
f(x)dx,
b
a
akkor ezt a határt nem megfelelőnek nevezzük
az f(x) függvény integrálja az intervallumon
}
Betöltés...