Πώς να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο;

Η κατασκευή διαφόρων τριγώνων είναι υποχρεωτικό στοιχείο του μαθήματος της σχολικής γεωμετρίας. Για πολλούς, αυτό το έργο είναι τρομακτικό. Αλλά στην πραγματικότητα, όλα είναι πολύ απλά. Το υπόλοιπο άρθρο περιγράφει πώς να σχεδιάσετε οποιοδήποτε τύπο τριγώνου χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και μια ευθεία.

Τα τρίγωνα είναι

• πολύπλευρος;
• ισοσκελής;
• ισόπλευρος;
• ορθογώνιος;
• κουτός;
• οξεία γωνία?
• εγγεγραμμένο σε κύκλο·
• περιγεγραμμένος γύρω από έναν κύκλο.

Κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου

Ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Από όλους τους τύπους τριγώνων, το να σχεδιάσετε ένα ισόπλευρο είναι το πιο εύκολο.

1. Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, σχεδιάστε μια από τις πλευρές ενός δεδομένου μήκους.
2. Μετρήστε το μήκος του με πυξίδα.
3. Τοποθετήστε το σημείο της πυξίδας στο ένα άκρο της γραμμής και σχεδιάστε έναν κύκλο.
4. Μετακινήστε την άκρη στο άλλο άκρο του τμήματος και σχεδιάστε έναν κύκλο.
5. Έχουμε 2 σημεία τομής των κύκλων. Συνδέοντας οποιοδήποτε από αυτά με τις άκρες του τμήματος, παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου

Αυτός ο τύπος τριγώνων μπορεί να κατασκευαστεί στη βάση και τις πλευρές.

Ισοσκελές τρίγωνο είναι αυτό στο οποίο οι δύο πλευρές είναι ίσες. Για να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο σύμφωνα με αυτές τις παραμέτρους, πρέπει να εκτελέσετε τα ακόλουθα βήματα:

1. Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, αφήστε στην άκρη ένα τμήμα ίσο σε μήκος με τη βάση. Το συμβολίζουμε με τα γράμματα AC.
2. Με πυξίδα μετράμε το απαιτούμενο μήκος της πλευράς.
3. Σχεδιάζουμε από το σημείο Α και μετά από το σημείο Γ κύκλους των οποίων η ακτίνα είναι ίση με το μήκος της πλευράς.
4. Παίρνουμε δύο σημεία τομής. Συνδέοντας ένα από αυτά με τα σημεία Α και Γ, παίρνουμε το απαραίτητο τρίγωνο.

Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου

Ένα τρίγωνο με μία ορθή γωνία ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο. Αν μας δοθεί ένα πόδι και μια υποτείνουσα, δεν θα είναι δύσκολο να σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μπορεί να χτιστεί κατά μήκος του ποδιού και της υποτείνουσας.

Κατασκευή αμβλείας γωνίας τριγώνου με γωνία και δύο παρακείμενες πλευρές

Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 μοίρες), ονομάζεται αμβλεία γωνία. Για να σχεδιάσετε ένα αμβλύ τρίγωνο σύμφωνα με τις καθορισμένες παραμέτρους, πρέπει να κάνετε τα εξής:

1. Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, αφήστε στην άκρη ένα τμήμα ίσο σε μήκος με μία από τις πλευρές του τριγώνου. Ας το ονομάσουμε Α και Δ.
2. Εάν μια γωνία έχει ήδη σχεδιαστεί στην εργασία και πρέπει να σχεδιάσετε την ίδια, τότε στην εικόνα της αφήστε στην άκρη δύο τμήματα, και τα δύο άκρα των οποίων βρίσκονται στην κορυφή της γωνίας και το μήκος είναι ίσο με τις καθορισμένες πλευρές . Ενωσε τις τελείες. Έχουμε το απαιτούμενο τρίγωνο.
3. Για να το μεταφέρετε στο σχέδιό σας, πρέπει να μετρήσετε το μήκος της τρίτης πλευράς.

Κατασκευή οξέος τριγώνου

Ένα οξύ τρίγωνο (όλες οι γωνίες μικρότερες από 90 μοίρες) είναι χτισμένο με την ίδια αρχή.

1. Σχεδιάστε δύο κύκλους. Το κέντρο μιας από αυτές βρίσκεται στο σημείο D και η ακτίνα είναι ίση με το μήκος της τρίτης πλευράς, ενώ το κέντρο της δεύτερης βρίσκεται στο σημείο Α και η ακτίνα είναι ίση με το μήκος της πλευράς που καθορίζεται στην εργασία .
2. Συνδέστε ένα από τα σημεία τομής του κύκλου με τα σημεία Α και Δ. Κατασκευάζεται το επιθυμητό τρίγωνο.

εγγεγραμμένο τρίγωνο

Για να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο σε κύκλο, πρέπει να θυμάστε το θεώρημα, το οποίο λέει ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στη τομή των κάθετων διχοτόμων:

Για ένα αμβλύ τρίγωνο, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται έξω από το τρίγωνο και για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, βρίσκεται στο μέσο της υποτείνουσας.

Σχεδιάστε ένα περιγεγραμμένο τρίγωνο

Το περιγραφόμενο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο κέντρο του οποίου σχεδιάζεται ένας κύκλος που αγγίζει όλες τις πλευρές του. Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στη διασταύρωση των διχοτόμων. Για την κατασκευή τους χρειάζεστε:

Πώς να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με μια πυξίδα Η πυξίδα δεν είναι μόνο ένα εργαλείο για την κατασκευή ενός κύκλου. Σας επιτρέπει επίσης να παραμερίσετε ίσα τμήματα ενός δεδομένου μήκους. Αυτό θα μας βοηθήσει να φτιάξουμε ένα τρίγωνο με αυτό.

Θα χρειαστείτε: ένα φύλλο χαρτιού, μια πυξίδα, έναν χάρακα. Εντολή. 1. Πάρτε οποιοδήποτε κομμάτι χαρτί. Βάλτε μια τελεία στο κέντρο του φύλλου. Αυτή θα είναι η πρώτη κορυφή Α του τριγώνου που δημιουργείται. ΕΝΑ

Οδηγία 2. Ανοίξτε την πυξίδα σε απόσταση που αντιστοιχεί στην επιθυμητή πλευρά του τριγώνου που δημιουργείται. Στερεώστε σταθερά τα πόδια της πυξίδας σε αυτή τη θέση.

Οδηγίες 3. Τοποθετήστε τη βελόνα της πυξίδας στο σημειωμένο σημείο. Σχεδιάστε έναν κύκλο με μια γραφίδα με μετρημένη ακτίνα.

Οδηγία 4. Βάλτε μια τελεία οπουδήποτε κατά μήκος της περιφέρειας του τραβηγμένου τόξου. Αυτή θα είναι η δεύτερη κορυφή Β του τριγώνου που δημιουργείται.

Οδηγία 5. Με τον ίδιο τρόπο, βάλτε το πόδι στη δεύτερη κορυφή. Σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο έτσι ώστε να τέμνεται με τον πρώτο.

Οδηγία 6. Η τρίτη κορυφή Γ του δημιουργημένου τριγώνου βρίσκεται στο σημείο τομής και των δύο συρόμενων τόξων. Σημειώστε το στην εικόνα.

Δημοτικό δημοσιονομικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

λυκείου Νο 34 με εις βάθος μελέτη επιμέρους μαθημάτων

ΑΝΘΡΩΠΟΣ, Τμήμα Φυσικής και Μαθηματικών

"Γεωμετρικές κατασκευές με πυξίδα και ευθεία"

Συμπλήρωσε: μαθητής 7 «Α» τάξης

Μπατίσσεβα Βικτόρια

Επικεφαλής: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Κατασκευή γωνίας ίσης με δεδομένη.

Π σχεδιάστε έναν αυθαίρετο κύκλο με κέντρο την κορυφή Α της δεδομένης γωνίας (Εικ. 3). Έστω Β και Γ τα σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της γωνίας. Με ακτίνα ΑΒ, σχεδιάζουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο Ο, το σημείο εκκίνησης της δεδομένης ημιευθείας. Το σημείο τομής αυτού του κύκλου με τη δεδομένη ημιευθεία συμβολίζεται με C 1 . Περιγράψτε έναν κύκλο με κέντρο C 1 και Σχ.3

ακτίνα π.Χ. Σημείο Β 1 η τομή των κατασκευασμένων κύκλων στο καθορισμένο ημιεπίπεδο βρίσκεται στην πλευρά της επιθυμητής γωνίας.

6. Κατασκευή κάθετων γραμμών.

Σχεδιάζουμε έναν κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα r με κέντρο στο σημείο Ο Σχ.6. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στα σημεία Α και Β.Από τα σημεία Α και Β σχεδιάζουμε κύκλους με ακτίνα ΑΒ. Έστω η μελαγχολία C το σημείο τομής αυτών των κύκλων. Πήραμε τα σημεία Α και Β στο πρώτο βήμα, όταν κατασκευάζαμε έναν κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα.

Η επιθυμητή ευθεία διέρχεται από τα σημεία C και O.

Εικ.6

Γνωστά προβλήματα

1.Το καθήκον του Μπραμαγκούπτα

Κατασκευάστε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο με τέσσερις πλευρές. Μια λύση χρησιμοποιεί τον κύκλο του Απολλώνιου.Ας λύσουμε το πρόβλημα του Απολλώνιου χρησιμοποιώντας την αναλογία μεταξύ τρίκυκλου και τριγώνου. Πώς βρίσκουμε έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο: χτίζουμε το σημείο τομής των διχοτόμων, ρίχνουμε τις κάθετες από αυτό στις πλευρές του τριγώνου, τις βάσεις των καθέτων (τα σημεία τομής της κάθετης με την πλευρά στην οποία είναι χαμηλωμένο) και δώστε μας τρεις πόντους που βρίσκονται στον επιθυμητό κύκλο. Σχεδιάζουμε έναν κύκλο μέσα από αυτά τα τρία σημεία - η λύση είναι έτοιμη. Το ίδιο θα κάνουμε και με το πρόβλημα του Απολλώνιου.

2. Το πρόβλημα του Απολλώνιου

Χρησιμοποιήστε μια πυξίδα και μια ευθεία για να κατασκευάσετε έναν κύκλο που να εφάπτεται στους τρεις δεδομένους κύκλους. Σύμφωνα με το μύθο, το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Απολλώνιο από την Πέργα γύρω στο 220 π.Χ. μι. στο βιβλίο «Άγγιγμα», που χάθηκε, αλλά αποκαταστάθηκε το 1600 από τον Φρανσουά Βιέτα, «Γαλικός Απολλώνιος», όπως τον αποκαλούσαν οι σύγχρονοί του.

Εάν κανένας από τους δεδομένους κύκλους δεν βρίσκεται μέσα στον άλλο, τότε αυτό το πρόβλημα έχει 8 ουσιαστικά διαφορετικές λύσεις.

Κατασκευή κανονικών πολυγώνων.

Π

σωστός (ή ισόπλευρος ) τρίγωνο - αυτό είναι κανονικό πολύγωνομε τρεις πλευρές, η πρώτη από τα κανονικά πολύγωνα. Ολαπλευρές ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσοι και όλοιοι γωνίες είναι 60°. Για να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, πρέπει να χωρίσετε τον κύκλο σε 3 ίσα μέρη. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ένα τόξο με ακτίνα R αυτού του κύκλου μόνο από το ένα άκρο της διαμέτρου, παίρνουμε την πρώτη και τη δεύτερη διαίρεση. Η τρίτη διαίρεση βρίσκεται στο αντίθετο άκρο της διαμέτρου. Συνδέοντας αυτά τα σημεία, παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Κανονικό εξάγωνο μπορώχτίστε με πυξίδα και ευθεία. Παρακάτωδίνεται ο τρόπος κατασκευήςχωρίζοντας τον κύκλο σε 6 μέρη. Χρησιμοποιούμε την ισότητα των πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου στην ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Από τα απέναντι άκρα μιας από τις διαμέτρους του κύκλου, περιγράφουμε τόξα ακτίνας R. Τα σημεία τομής αυτών των τόξων με έναν δεδομένο κύκλο θα τον χωρίσουν σε 6 ίσα μέρη. Συνδέοντας σταθερά τα σημεία που βρέθηκαν, προκύπτει ένα κανονικό εξάγωνο.

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου.

Π
κανονικό πεντάγωνο μπορεί να είναικατασκευασμένο με χρήση πυξίδας και ίσιας γραμμής ή με την προσαρμογή του σε ένα δεδομένοκύκλο, ή χτίζοντας με βάση μια δεδομένη πλευρά. Αυτή η διαδικασία περιγράφεται από τον Ευκλείδηστα Στοιχεία του, περίπου το 300 π.Χ. μι.

Εδώ είναι μια μέθοδος για την κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου σε έναν δεδομένο κύκλο:

Κατασκευάστε έναν κύκλο στον οποίο θα εγγραφεί το πεντάγωνο και ορίστε το κέντρο του ωςΟ . (Αυτός είναι ο πράσινος κύκλος στο διάγραμμα στα δεξιά).

Επιλέξτε ένα σημείο στον κύκλοΕΝΑ , που θα είναι μια από τις κορυφές του πενταγώνου. Τραβήξτε μια γραμμήΟ καιΕΝΑ .

Κατασκευάστε μια ευθεία κάθετη στην ευθείαΟΑ περνώντας από το σημείοΟ . Προσδιορίστε μια από τις τομές του με τον κύκλο ως σημείοσι .

Χτίστε ένα σημείοντο ενδιάμεσαΟ καισι .

ντο μέσα από ένα σημείοΕΝΑ . Σημειώστε την τομή του με τη γραμμήOB (μέσα στον αρχικό κύκλο) ως ένα σημείορε .

Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντροΕΝΑ μέσω του σημείου Δ, σημειώστε την τομή αυτού του κύκλου με τον αρχικό (πράσινος κύκλος) ως σημείαμι καιφά .

Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντρομι μέσα από ένα σημείοΕΝΑ σολ .

Σχεδιάστε έναν κύκλο με κέντροφά μέσα από ένα σημείοΕΝΑ . Προσδιορίστε την άλλη τομή του με τον αρχικό κύκλο ως σημείοH .

Κατασκευάστε ένα κανονικό πεντάγωνοAEGHF .

Άλυτα προβλήματα

Τα ακόλουθα τρία κατασκευαστικά καθήκοντα είχαν τεθεί στην αρχαιότητα:

Τριτομή γωνίας - χωρίστε μια αυθαίρετη γωνία σε τρία ίσα μέρη.

Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν οι τρίτομοι της γωνίας - οι ακτίνες που χωρίζουν τη γωνία σε τρία ίσα μέρη. Ο P. L. Vanzel απέδειξε το 1837 ότι το πρόβλημα είναι επιλύσιμο μόνο όταν, για παράδειγμα, η τριτομή είναι εφικτή για γωνίες α = 360°/n, με την προϋπόθεση ότι ο ακέραιος αριθμός n δεν διαιρείται με το 3. Ωστόσο, στον τύπο δημοσιεύεται κατά καιρούς (λανθασμένες) μέθοδοι τριτοτομής γωνίας με πυξίδα και ευθεία.

Διπλασιασμός του κύβου - ένα κλασικό αρχαίο πρόβλημα για την κατασκευή ενός κύβου με πυξίδα και χάρακα, ο όγκος του οποίου είναι διπλάσιος από τον όγκο ενός δεδομένου κύβου.

Στη σύγχρονη σημειογραφία, το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση της εξίσωσης. Όλα καταλήγουν στο πρόβλημα της κατασκευής ενός τμήματος μήκους. Ο P. Wanzel απέδειξε το 1837 ότι αυτό το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια πυξίδας και ευθυγράμμισης.

Τετράγωνο του κύκλου - το έργο της εύρεσης μιας κατασκευής χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα ενός τετραγώνου που είναι ίσο σε εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο.

Όπως γνωρίζετε, με τη βοήθεια μιας πυξίδας και ενός χάρακα, μπορείτε να εκτελέσετε και τις 4 αριθμητικές πράξεις και να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα. Επομένως, προκύπτει ότι ο τετραγωνισμός ενός κύκλου είναι δυνατός εάν και μόνο εάν, με τη βοήθεια ενός πεπερασμένου αριθμού τέτοιων πράξεων, είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα τμήμα μήκους π. Έτσι, το άλυτο αυτού του προβλήματος προκύπτει από τη μη αλγεβρική φύση (υπέρβαση) του αριθμού π, που αποδείχθηκε το 1882 από τον Lindemann.

Ένα άλλο γνωστό πρόβλημα που δεν μπορεί να λυθεί με τη βοήθεια πυξίδας και χάρακα είναικατασκευή τριγώνου με τρία δεδομένα μήκη διχοτόμων .

Επιπλέον, αυτό το πρόβλημα παραμένει άλυτο ακόμη και με την παρουσία τριτομέα.

Μόνο τον 19ο αιώνα αποδείχθηκε ότι και τα τρία προβλήματα ήταν άλυτα χρησιμοποιώντας μόνο μια πυξίδα και μια ευθεία. Το ζήτημα της δυνατότητας κατασκευής λύνεται πλήρως με αλγεβρικές μεθόδους που βασίζονται στη θεωρία Galois.

ΞΕΡΕΙΣ ΟΤΙ...

(από την ιστορία των γεωμετρικών κατασκευών)

Μια φορά κι έναν καιρό, μια μυστικιστική έννοια επενδύθηκε στην κατασκευή κανονικών πολυγώνων.

Έτσι, οι Πυθαγόρειοι, οπαδοί των θρησκευτικών και φιλοσοφικών διδασκαλιών που ίδρυσε ο Πυθαγόρας και έζησαν στην αρχαία Ελλάδα (VΙ-Ι Vαιώνες προ ΧΡΙΣΤΟΥ π.Χ.), υιοθέτησαν ως σημάδι της ένωσής τους ένα αστρικό πολύγωνο που σχηματίζεται από τις διαγώνιους ενός κανονικού πενταγώνου.

Οι κανόνες για την αυστηρή γεωμετρική κατασκευή ορισμένων κανονικών πολυγώνων ορίζονται στο βιβλίο «Αρχές» του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού Ευκλείδη, ο οποίος έζησε στοIIIσε. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. Για την εκτέλεση αυτών των κατασκευών, ο Ευκλείδης πρότεινε τη χρήση μόνο χάρακα και πυξίδας, η οποία εκείνη την εποχή δεν είχε αρθρωτή συσκευή για τη σύνδεση των ποδιών (ένας τέτοιος περιορισμός στα εργαλεία ήταν απαραίτητη προϋπόθεση των αρχαίων μαθηματικών).

Τα κανονικά πολύγωνα χρησιμοποιούνταν ευρέως στην αρχαία αστρονομία. Αν ο Ευκλείδης ενδιαφερόταν για την κατασκευή αυτών των μορφών από την άποψη των μαθηματικών, τότε για τον αρχαίο Έλληνα αστρονόμο Κλαύδιο Πτολεμαίο (περίπου 90 - 160 μ.Χ.) αποδείχθηκε ότι ήταν απαραίτητο ως βοηθητικό εργαλείο για την επίλυση αστρονομικών προβλημάτων. Έτσι, στο 1ο βιβλίο της Αλμαγέστης, ολόκληρο το δέκατο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην κατασκευή κανονικών πενταγώνων και δεκάγωνων.

Ωστόσο, εκτός από τα καθαρά επιστημονικά έργα, η κατασκευή κανονικών πολυγώνων ήταν αναπόσπαστο μέρος των βιβλίων για οικοδόμους, τεχνίτες και καλλιτέχνες. Η ικανότητα απεικόνισης αυτών των μορφών απαιτείται από καιρό στην αρχιτεκτονική, το κόσμημα και τις καλές τέχνες.

Τα «Δέκα Βιβλία για την Αρχιτεκτονική» του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου (που έζησε γύρω στο 63-14 π.Χ.) λέει ότι τα τείχη της πόλης πρέπει να μοιάζουν με κανονικό πολύγωνο σε κάτοψη και οι πύργοι του φρουρίου «πρέπει να είναι στρογγυλοί ή πολυγωνικοί, γιατί το τετράπλευρο μάλλον καταστράφηκε από πολιορκητικά όπλα.

Ο σχεδιασμός των πόλεων είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τον Βιτρούβιο, ο οποίος πίστευε ότι ήταν απαραίτητο να σχεδιαστούν οι δρόμοι έτσι ώστε οι κύριοι άνεμοι να μην φυσούν κατά μήκος τους. Υποτίθεται ότι υπήρχαν οκτώ τέτοιοι άνεμοι και ότι φυσούσαν προς ορισμένες κατευθύνσεις.

Κατά την Αναγέννηση, η κατασκευή κανονικών πολυγώνων, και συγκεκριμένα του πενταγώνου, δεν ήταν ένα απλό μαθηματικό παιχνίδι, αλλά ήταν απαραίτητη προϋπόθεση για την κατασκευή φρουρίων.

Το κανονικό εξάγωνο αποτέλεσε αντικείμενο ειδικής μελέτης του μεγάλου Γερμανού αστρονόμου και μαθηματικού Johannes Kepler (1571-1630), για την οποία μιλάει στο βιβλίο του Δώρο Πρωτοχρονιάς, ή για τις εξαγωνικές νιφάδες χιονιού. Συζήτησε τους λόγους για τους οποίους οι νιφάδες χιονιού έχουν εξαγωνικό σχήμα, σημειώνει, συγκεκριμένα, τα εξής: «... το επίπεδο μπορεί να καλυφθεί χωρίς κενά μόνο από τα ακόλουθα σχήματα: ισόπλευρα τρίγωνα, τετράγωνα και κανονικά εξάγωνα. Μεταξύ αυτών των σχημάτων, το κανονικό εξάγωνο καλύπτει τη μεγαλύτερη περιοχή.

Ένας από τους πιο διάσημους επιστήμονες που ασχολήθηκαν με τις γεωμετρικές κατασκευές ήταν ο μεγάλος Γερμανός καλλιτέχνης και μαθηματικός Άλμπρεχτ Ντύρερ (1471-1528), ο οποίος τους αφιέρωσε ένα σημαντικό μέρος του βιβλίου του «Guidelines ...». Πρότεινε κανόνες για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων με 3. 4, 5 ... 16 πλευρές. Οι μέθοδοι για τη διαίρεση του κύκλου που προτείνει ο Dürer δεν είναι καθολικές· σε κάθε περίπτωση, χρησιμοποιείται μια μεμονωμένη τεχνική.

Ο Durer εφάρμοσε τις μεθόδους κατασκευής κανονικών πολυγώνων στην καλλιτεχνική πρακτική, για παράδειγμα, όταν δημιουργούσε διάφορα είδη στολιδιών και μοτίβων για παρκέ. Σκίτσα τέτοιων μοτίβων έφτιαξε ο ίδιος κατά τη διάρκεια ενός ταξιδιού του στην Ολλανδία, όπου βρέθηκαν παρκέ δάπεδα σε πολλά σπίτια.

Ο Ντύρερ κατασκεύασε στολίδια από κανονικά πολύγωνα, τα οποία συνδέονται σε δαχτυλίδια (δαχτυλίδια έξι ισόπλευρων τριγώνων, τέσσερα τετράγωνα, τρία ή έξι εξάγωνα, δεκατέσσερα επτάγωνα, τέσσερα οκτάγωνα).

συμπέρασμα

Ετσι,γεωμετρικές κατασκευές είναι μια μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος στο οποίο η απάντηση λαμβάνεται γραφικά. Οι κατασκευές πραγματοποιούνται με εργαλεία σχεδίασης με μέγιστη ακρίβεια και ακρίβεια εργασίας, αφού από αυτό εξαρτάται η ορθότητα της απόφασης.

Χάρη σε αυτό το έργο, εξοικειώθηκα με την ιστορία της προέλευσης της πυξίδας, γνώρισα τους κανόνες για την εκτέλεση γεωμετρικών κατασκευών με περισσότερες λεπτομέρειες, απέκτησα νέες γνώσεις και τις έβαλα στην πράξη.
Η επίλυση προβλημάτων κατασκευής με πυξίδα και χάρακα είναι μια χρήσιμη ενασχόληση που σας επιτρέπει να ρίξετε μια νέα ματιά στις γνωστές ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και των στοιχείων τους.Σε αυτή την εργασία, εξετάζουμε τα πιο επείγοντα προβλήματα που σχετίζονται με γεωμετρικές κατασκευές χρησιμοποιώντας πυξίδα και ευθεία. Εξετάζονται οι κύριες εργασίες και δίνονται οι λύσεις τους. Οι παραπάνω εργασίες παρουσιάζουν σημαντικό πρακτικό ενδιαφέρον, ενοποιούν τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στη γεωμετρία και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πρακτική εργασία.
Έτσι, ο στόχος της εργασίας επιτυγχάνεται, οι εργασίες που έχουν τεθεί εκπληρώνονται.

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε εργασίες για την κατασκευή γεωμετρικών αντικειμένων χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα.

Για την επίλυση διαφόρων πρακτικών προβλημάτων, οι άνθρωποι έχουν βρει πολλά εργαλεία.

Για να μετρήσουμε το μήκος ενός τμήματος ή να σχεδιάσουμε ένα τμήμα ενός δεδομένου μήκους, χρησιμοποιούμε έναν χάρακα. Για την επίλυση παρόμοιου προβλήματος για γωνίες, υπάρχει ένα μοιρογνωμόνιο.

Αποδεικνύοντας θεωρήματα και λύνοντας προβλήματα, δεν έχουμε δώσει ακόμη προσοχή σε πράγματα όπως: «θα σχεδιάσουμε (κατασκευάσουμε) τη διάμεσο ενός τριγώνου ...».

Η διάμεσος είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Πού είναι η κορυφή; Πού είναι η μέση της απέναντι πλευράς; Εάν έχουμε έναν χάρακα στο χέρι, τότε σίγουρα δεν θα είναι δύσκολο να λύσουμε αυτό το πρόβλημα: μετρήσαμε το μήκος της πλευράς, διαιρούμενο με 2, βρήκαμε τη μέση. Με ένα μοιρογνωμόνιο με τον ίδιο τρόπο, δεν είναι δύσκολο να κατασκευαστεί μια διχοτόμος γωνίας.
Τι γίνεται όμως αν δεν υπάρχουν εργαλεία; Ας πούμε ότι υπάρχει μόνο ένα σχοινί. Τι μπορούμε να κάνουμε με αυτό; Σχεδιάστε μια γραμμή (αν τεντωθεί, τότε μια ευθεία) και μετρήστε με αυτήν ένα τμήμα ίσο με το δεδομένο, μπορούμε ακόμη και να σχεδιάσουμε έναν κύκλο (βλ. Εικ. 1). Αντί για σχοινί, θα μπορούσαμε να κάνουμε αυτές τις λειτουργίες με χάρακα (χωρίς χωρίσματα) και πυξίδα.

Ρύζι. 1. Χρησιμοποιώντας ένα σχοινί, μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο

Στη γεωμετρία, μιλούν για κατασκευαστικά προβλήματα με τη βοήθεια πυξίδας και ευθυγράμμισης. Υπάρχουν εργασίες που μπορούν να λυθούν με αυτά τα δύο εργαλεία, και υπάρχουν και εκείνες που δεν μπορούν. Θα μιλήσουμε για αυτό στο σημερινό μάθημα.

Αλλά πρώτα, ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα: γιατί μια πυξίδα και ένας χάρακας χωρίς διαιρέσεις; Γιατί ήταν αδύνατο να διαλέξουμε χάρακα με τμήματα, μοιρογνωμόνιο ή κάποια άλλα εργαλεία; Και γιατί πρέπει να είστε σε θέση να λύσετε τέτοια προβλήματα καθόλου (μπορούμε να αποκαλύψουμε ένα τρομερό μυστικό: ακόμη και φοιτητές μαθηματικών σχολών και επαγγελματίες μαθηματικοί δεν σπουδάζουν και δεν λύνουν τέτοια προβλήματα μετά την αποφοίτησή τους).

Μια σκέψη που έχουμε ήδη εκφράσει είναι ότι ό,τι μπορεί να γίνει με πυξίδα και χάρακα (από προεπιλογή σε αυτό το μάθημα θα εννοούμε ότι εννοούμε χάρακα χωρίς διαιρέσεις) μπορεί να γίνει και με κανονικό σχοινί. Και σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, σήμανση ενός ιστότοπου), αυτές οι δεξιότητες μπορούν να φανούν χρήσιμες.

Αλλά ένα πιο σημαντικό επιχείρημα είναι ένα παράδειγμα εργασιών που επιλύονται χρησιμοποιώντας τον ελάχιστο δυνατό πόρο. Στη ζωή, αντιμετωπίζουμε συχνά τέτοια καθήκοντα: να κατασκευάσουμε έναν κινητήρα για να διανύσουμε τη μέγιστη απόσταση για 100 λίτρα βενζίνης ή να αφιερώνουμε τον λιγότερο δυνατό χρόνο για το σπίτι, αλλά να παίρνουμε τουλάχιστον 4 για αυτό, κλπ. Δηλαδή. συχνά επιλύουν προβλήματα βελτιστοποίησης με περιορισμένους πόρους. Στις κατασκευαστικές εργασίες, τα εργαλεία που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι περιορισμένα.

Γιατί να μάθουμε να λύνουμε κτιριακά προβλήματα;

Μερικοί μπορεί να βρουν τα επιχειρήματα που παρουσιάζονται μη πειστικά. Πράγματι, υπάρχουν σοβαρές αμφιβολίες για την ανάγκη μελέτης αυτού του θέματος. Ωστόσο, θα δώσουμε μερικές ακόμη σκέψεις που μπορούν να βοηθήσουν στην απάντηση των διατυπωμένων ερωτήσεων.

Τα μαθηματικά λειτουργούν με απόλυτα ακριβή μοντέλα (ιδανικός κύκλος δεν υπάρχει στη ζωή, αλλά τα μαθηματικά μελετούν τις ιδιότητες ενός τέτοιου κύκλου, ώστε να μπορούν να εφαρμοστούν για να περιγράψουν κύκλους της πραγματικής ζωής που είναι κοντά στο ιδανικό).

Οποιαδήποτε μέτρηση (χρησιμοποιώντας χάρακα, μοιρογνωμόνιο και άλλο όργανο) θα περιέχει μια ανακρίβεια (στρογγυλοποιούμε σε μια ακρίβεια που καθορίζεται από τον σκοπό της μέτρησης). Επομένως, από την άποψη των μαθηματικών, η λύση στο πρόβλημα - να χωρίσετε το τμήμα σε δύο μέρη, μετρώντας το με χάρακα, δεν είναι σωστή.

Στα μαθηματικά, ένα τμήμα μήκους 1 πρέπει να χωριστεί σε δύο τμήματα μήκους 0,5. Αλλά αν αρχίσουμε να μετράμε το μήκος αυτού του τμήματος με έναν χάρακα, δεν μπορεί να είναι ακριβώς ίσο με 1. Και τα μήκη των μισών θα διαφέρουν από 0,5. Επομένως, για να δουλέψετε με ιδανικά αφηρημένα αντικείμενα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε αφηρημένα ιδανικά εργαλεία, τα οποία είναι ένας χάρακας χωρίς διαιρέσεις και πυξίδες.

Αλλά αυτή είναι μια εξήγηση του γιατί τα κατασκευαστικά προβλήματα μελετώνται στα μαθηματικά. Γιατί τα χρειάζονται οι μαθητές; Φαίνεται ότι η πιο ειλικρινής απάντηση είναι για προπόνηση. Σε γενικές γραμμές, όλα αυτά τα προβλήματα έχουν μια ισοδύναμη διατύπωση: υπάρχουν δύο λειτουργίες. Πώς να τα χρησιμοποιήσετε για να πάρετε το απαιτούμενο αντικείμενο από ένα δεδομένο αντικείμενο;

Για μερικούς ανθρώπους, η επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι συναρπαστική (ο Gauss ήταν τόσο περήφανος που ήταν σε θέση να κατασκευάσει ένα κανονικό 17-gon χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και ένα ίσιο που κληροδότησε να το χαράξει στο μνημείο του, αν και αυτή είναι ίσως η λιγότερο χρήσιμη μαθηματική ανακάλυψή του από πρακτική άποψη). Αλλά αυτό δεν είναι εντελώς μαθηματικά, αλλά μάλλον ένα διανοητικό παιχνίδι. Το ίδιο με τη δημιουργία λέξεων από σύνολα γραμμάτων, την επίλυση σταυρόλεξων κ.λπ.

Επομένως, αυτό το μάθημα θα είναι χρήσιμο για όσους απολαμβάνουν την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων και οι υπόλοιποι θα πρέπει απλώς να εξοικειωθούν με την ιδέα και την αρχή της επίλυσης προβλημάτων κτιρίου για να έχουν μια γενική ιδέα για ένα τέτοιο μαθηματικό εργαλείο.

Έτσι, στη γεωμετρία, οι πυξίδες και ο χάρακας θεωρούνται κλασικά εργαλεία κατασκευής. Ο χάρακας έχει άπειρο μήκος. Αυτό σημαίνει ότι αν δεν έχουμε αρκετό μήκος χάρακα για να λύσουμε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα, έχουμε μεγαλύτερο χάρακα, που θα είναι αρκετό. Δηλαδή, το μήκος του χάρακα δεν θα είναι ποτέ πρόβλημα για εμάς.

Με τον ίδιο τρόπο, η απόσταση μεταξύ των ποδιών της πυξίδας δεν θα είναι πρόβλημα - μπορούμε να τα απομακρύνουμε σε οποιαδήποτε απόσταση (δεν αρκεί - παίρνουμε μια μεγαλύτερη πυξίδα). Το ίδιο και το χαρτί. Μπορείτε μόνοι σας να εξηγήσετε τι σημαίνει ένα ατελείωτο φύλλο χαρτιού, ένα ατελείωτο αεροπλάνο.

Λειτουργίες πυξίδας

1. Μπορούμε να μετρήσουμε οποιοδήποτε δεδομένο τμήμα με αυτό και να βάλουμε το ίδιο από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή προς οποιαδήποτε κατεύθυνση, το τμήμα που προκύπτει θα είναι ίσο με το πρώτο (βλ. Εικ. 2).
2. Μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο και ακτίνα ίση με οποιοδήποτε δεδομένο τμήμα (βλ. Εικ. 3).

Ρύζι. 2. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, μπορείτε να μετρήσετε οποιοδήποτε δεδομένο τμήμα και να το αφήσετε στην άκρη από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή προς οποιαδήποτε κατεύθυνση

Ρύζι. 3. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, μπορείτε να σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο και ακτίνα ίση με οποιοδήποτε δεδομένο τμήμα

λειτουργία χάρακα: Εφαρμόζουμε έναν χάρακα σε δύο δεδομένα σημεία και σχεδιάζουμε μια ευθεία που τα περνάει. Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε ένα τμήμα ή μια ακτίνα. Θυμηθείτε ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για χάρακα χωρίς σημάδια (βλ. Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία

Βασικές κατασκευές, που δεν προκαλούν δυσκολίες, αλλά χρειάζονται συνεχώς:

1. Σχεδιάστε μια γραμμή σε δύο δεδομένα σημεία.
2. Σχεδιάστε έναν κύκλο με δεδομένη ακτίνα με κέντρο σε ένα δεδομένο σημείο.
3. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα από ένα δεδομένο σημείο ίσο με το δεδομένο.

Ας περάσουμε σε πιο ενδιαφέρουσες κατασκευές. Το πρόβλημα που αναφέρθηκε ήδη σήμερα είναι η εύρεση της μέσης του τμήματος. Ή, τι είναι το ίδιο, χωρίζοντας μια γραμμή στη μέση.

Ας δοθεί λοιπόν ένα τμήμα. Πρέπει να πάρουμε ένα σημείο, που είναι το μέσο του (βλ. Εικ. 5). Σε κατασκευαστικά προβλήματα, συνήθως παίρνουμε ένα σημείο ως τομή γραμμών, κύκλων ή μιας ευθείας με έναν κύκλο.

Ρύζι. 5. Σημείο που είναι το μέσο ενός τμήματος

Εργασία 1.Κατασκευάστε τη διάμεσο (βρείτε το μέσο του τμήματος).

Λύση

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε ένα σημείο (μέση) ως τομή δύο ευθειών και (βλ. Εικ. 6).

Ρύζι. 6. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Γνωρίζουμε ότι όταν τέμνονται δύο ευθείες, σχηματίζονται δύο ζεύγη γωνιών. Αλλά δεν έχουμε επιπλέον προϋποθέσεις - μόνο ένα τμήμα, στο οποίο αναζητούμε μια μέση. Επομένως, θα ήταν περίεργο να περιμένουμε ότι η ευθεία θα έχει κλίση προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά (βλ. Εικ. 7).

Ρύζι. 7. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Εξετάστε την οριακή περίπτωση όταν η ευθεία είναι κάθετη στο τμήμα (βλ. Εικ. 8).

Ρύζι. 8. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Τότε ξέρουμε τι είναι μέση κάθετηστο κόψιμο. Και έχει μια σημαντική ιδιότητα: όλα τα σημεία του έχουν ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος(βλ. εικ. 9). Αυτό το γεγονός θα το χρησιμοποιήσουμε στην κατασκευή.

Ρύζι. 9. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Για να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή, πρέπει να βρείτε δύο από τα σημεία της (περισσότερο είναι δυνατό, λιγότερο είναι αδύνατο). Και οποιοδήποτε σημείο της διχοτόμου, όπως μόλις ανακαλύψαμε, είναι ίση απόσταση από και. Ας κατασκευάσουμε δύο τέτοια σημεία σε ίση απόσταση (βλ. Εικ. 10).

Ρύζι. 10. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 1

Ας σχεδιάσουμε δύο κύκλους ίδιας ακτίνας με κέντρα στα σημεία και . Οι ακτίνες πρέπει να ληφθούν αρκετά μεγάλες ώστε να τέμνονται οι κύκλοι (βλ. Εικ. 11) (είναι εύκολο να εξακριβωθεί ότι η ακτίνα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το ήμισυ του μήκους του τμήματος· για να πληρούται ακριβώς αυτή η συνθήκη, μπορείτε σχεδιάστε κύκλους με ακτίνα ίση με το μήκος του τμήματος).

Ρύζι. 11. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 1

Τα σημεία τομής ανήκουν και στους δύο κύκλους, δηλαδή απομακρύνονται από και σε αποστάσεις ίσες με τις ακτίνες των κύκλων. Οι ακτίνες τους όμως είναι ίσες.

Ως εκ τούτου, τα σημεία και βρίσκονται σε ίση απόσταση από και (βλ. Εικ. 12). Άρα ανήκουν στην κάθετη διχοτόμο. Απομένει να τα συνδέσουμε και να βρούμε το σημείο τομής και . Αυτό είναι το επιθυμητό σημείο (βλ. Εικ. 13).

Ρύζι. 12. Απεικόνιση για το πρόβλημα 1

Ρύζι. 13. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 1

Το πρόβλημα λύθηκε.

Εργασία 2.Σχεδιάστε μια κάθετη σε μια ευθεία σε ένα δεδομένο σημείο

Λύση

Αφήστε ένα σημείο να σημειωθεί στη γραμμή (βλ. Εικ. 14). Πρέπει να σχεδιάσετε μια κάθετη σε αυτό το σημείο σε αυτή τη γραμμή. Ή, όπως λένε, «επαναφέρετε» την κάθετο στη γραμμή σε ένα δεδομένο σημείο.

Ρύζι. 14. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 2

Ας μειώσουμε το πρόβλημα στο προηγούμενο - γνωρίζουμε ήδη πώς να δημιουργήσουμε μια κάθετη στο μέσο του τμήματος. Επομένως, πρέπει να δημιουργήσετε ένα τμήμα σε αυτήν την ευθεία γραμμή, για το οποίο το σημείο θα είναι το μέσο.

Σχεδιάστε έναν κύκλο αυθαίρετης ακτίνας με κέντρο το . Παίρνουμε δύο σημεία τομής του κύκλου και της ευθείας - και (βλ. Εικ. 15).

Ρύζι. 15. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 2

Τώρα η εργασία έχει μειωθεί σε ισοδύναμη - να κατασκευάσουμε μια μέση κάθετη στο τμήμα. Γνωρίζουμε ήδη πώς να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, πράγμα που σημαίνει ότι το αρχικό πρόβλημα έχει λυθεί.

Το πρόβλημα λύθηκε.

Έτσι, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια διάμεσο (να βρούμε το μέσο ενός τμήματος) και να επαναφέρουμε μια κάθετη σε μια ευθεία σε ένα δεδομένο σημείο. Και πώς να χτίσεις ένα ύψος ή, τι είναι το ίδιο, να ρίξεις μια κάθετη σε μια ευθεία από ένα σημείο που δεν της ανήκει;

Εργασία 3.Κατασκευάστε ύψος (κατεβάστε την κάθετο στην ευθεία από σημείο που δεν της ανήκει).

Λύση

Και πάλι, χρησιμοποιούμε το γνωστό σε εμάς εργαλείο - την κατασκευή της κάθετης διχοτόμου. Έτσι, ας υπάρχει μια γραμμή και ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω της (βλ. Εικ. 16). Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία.

Ρύζι. 16. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 3

Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο και ακτίνα επαρκή ώστε αυτός ο κύκλος να τέμνει την ευθεία. Ολόκληρος ο κύκλος συνήθως δεν σχεδιάζεται σε τέτοιες περιπτώσεις, αλλά μόνο ένα μέρος του, ένα τόξο, για να ληφθούν σημεία τομής. Πήραμε και σημεία στην ευθεία (βλ. Εικ. 17).

Ρύζι. 17. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 3

Γιατί τα χρειαζόμαστε; Προφανώς, έχει ίση απόσταση και από τα δύο αυτά σημεία (η απόσταση είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου) (βλ. Εικ. 18).

Ρύζι. 18. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 3

Σημαίνει όμως ότι βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο του τμήματος . Και πάλι πήραμε μια ισοδύναμη διατύπωση του προβλήματος: χτίστε μια κάθετη διχοτόμο στο τμήμα (θα περάσει από το σημείο και αφού μόνο μια κάθετη στη γραμμή μπορεί να σχεδιαστεί από το σημείο, τότε θα είναι η επιθυμητή). Και ξέρουμε πώς να το χτίσουμε.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι το σημείο βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο και να δημιουργήσετε κύκλους με την ίδια ακτίνα (βλ. Εικ. 19). Και μπορείτε να φτιάξετε δύο κύκλους διαφορετικής ακτίνας, δεν πειράζει. Το κύριο πράγμα είναι ότι μπορούμε να φτιάξουμε αυτήν την κάθετη διχοτόμο, και θα είναι η επιθυμητή (βλ. Εικ. 20).

Ρύζι. 19. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 3

Ρύζι. 20. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 3

Το πρόβλημα λύθηκε.

Αυτά τα τρία καθήκοντα ήταν πολύ παρόμοια. Στο πρώτο κατασκευάσαμε μια μέση κάθετη σε ένα υπάρχον τμήμα. Στα άλλα δύο, κατασκευάσαμε ένα τμήμα έτσι ώστε το δεδομένο σημείο να βρίσκεται στην κάθετη διχοτόμο και στη συνέχεια κατασκευάσαμε ξανά την ίδια την κάθετο. Σημειώστε ότι μάθαμε πώς να κατασκευάζουμε την κάθετη διχοτόμο, το ύψος και τη διάμεσο. Για την κατασκευή της τέταρτης αξιοσημείωτης γραμμής σε τρίγωνο, της διχοτόμου, θα μιλήσουμε αργότερα.

Έχουμε μάθει να χτίζουμε μια γραμμή κάθετη σε μια δεδομένη. Είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη σε μια δεδομένη χρησιμοποιώντας πυξίδα και ευθεία;

Εργασία 4.Κατασκευάστε μια ευθεία παράλληλη στη δεδομένη.

Λύση

Ας υπάρχει μια γραμμή και ένα σημείο που δεν βρίσκεται πάνω της (βλ. Εικ. 21). Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια γραμμή παράλληλη προς τη γραμμή μέσω του σημείου. Και πάλι, μειώνουμε το πρόβλημα στα προηγούμενα, χρησιμοποιώντας σημάδι παράλληλων γραμμών: αν δύο ευθείες είναι κάθετες σε μια τρίτη, τότε είναι παράλληλες.

Ρύζι. 21. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 4

Ας ρίξουμε την κάθετο από το σημείο στην ευθεία (μπορούμε να το κάνουμε αυτό) (βλ. Εικ. 22), και στη συνέχεια να σχεδιάσουμε μια άλλη κάθετο μέσα από το σημείο προς την ευθεία που μόλις κατασκευάστηκε (μπορούμε επίσης) (βλ. Εικ. 23). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την επιθυμητή γραμμή (διέρχεται και είναι παράλληλη).

Ρύζι. 22. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 4

Ρύζι. 23. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 4

Το γεγονός ότι μπορεί να υπάρχει μόνο μία τέτοια γραμμή μας εγγυάται Το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη: Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε ευθεία, μόνο μία ευθεία μπορεί να τραβηχτεί παράλληλη στη δεδομένη ευθεία..

Το πρόβλημα λύθηκε.

Τώρα μπορούμε να επιστρέψουμε στο πρόβλημα με τη διαίρεση τμημάτων. Γνωρίζουμε ήδη πώς να χωρίσουμε ένα τμήμα σε δύο ίσα μέρη. Τι θα λέγατε για περισσότερα εξαρτήματα; Είναι σαφές ότι σε τέσσερα μέρη - αυτό είναι στο μισό, και στη συνέχεια κάθε μέρος στο μισό ξανά. Και αν στις 3 ή στις 7;

Έχουμε ήδη εξετάσει αυτό το πρόβλημα όταν μελετήσαμε Θεώρημα Θαλή. Θυμήσου την διατύπωση: εάν οι παράλληλες γραμμές κόβουν ίσα τμήματα στη μία πλευρά της γωνίας, τότε κόβουν ίσα τμήματα από την άλλη πλευρά. Αυτό το θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διαίρεση ενός τμήματος σε οποιοδήποτε αριθμό ίσων μερών.

Εργασία 5.Χωρίστε το τμήμα σε 7 ίσα μέρη.

Λύση

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσετε το τμήμα σε 7 ίσα μέρη. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε μια ακτίνα από το σημείο που δεν συμπίπτει με (βλ. Εικ. 24).

Ρύζι. 24. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 5

Σημειώνουμε πάνω του σημεία σε ίσες αποστάσεις (βλ. Εικ. 25).

Ρύζι. 25. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 5

Συνδέστε και (βλ. Εικ. 26).

Ρύζι. 26. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 5

Μέσα από τα υπόλοιπα 6 σημεία σχεδιάζουμε ευθείες γραμμές που είναι παράλληλες (μόλις μάθαμε πώς να το κάνουμε αυτό). Εφόσον τα τμήματα είναι ίσα στη μία πλευρά της γωνίας, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή, είναι ίσα στην άλλη πλευρά (βλ. Εικ. 27).

Ρύζι. 27. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 5

Το πρόβλημα λύθηκε.

Έτσι, ξέρουμε ήδη πώς:

1. να κατασκευάσει μια κάθετη διχοτόμο σε ένα τμήμα.
2. διαιρέστε το τμήμα στη μέση χρησιμοποιώντας την κάθετη διχοτόμο.
3. διαιρέστε το τμήμα σε έναν αυθαίρετο αριθμό ίσων μερών χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Θαλή.
4. κατασκευάστε μια κάθετη στη γραμμή που διέρχεται από το δεδομένο σημείο (εξάλλου, το σημείο μπορεί να βρίσκεται τόσο στη γραμμή όσο και έξω από αυτήν).
5. κατασκευάστε μια παράλληλη ευθεία μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται στη δεδομένη ευθεία.

Τα κύρια στοιχεία των πολυγώνων είναι τα τμήματα και οι γωνίες. Με τα τμήματα, έχουμε ήδη μάθει πολλά. Ας μιλήσουμε για γωνίες.

Το πρώτο καθήκον που προκύπτει για εμάς είναι η κατασκευή μιας γωνίας ίσης με μια δεδομένη. Για τα τμήματα, ένα παρόμοιο πρόβλημα επιλύθηκε απευθείας χρησιμοποιώντας μια πυξίδα. Οι γωνίες είναι λίγο πιο δύσκολες.

Εργασία 6.Αφαιρέστε μια γωνία από τη δέσμη ίση με τη δεδομένη.

Λύση

Συνήθως χρειαζόμαστε μια ίση γωνία όχι σε ένα αυθαίρετο μέρος, αλλά σε ένα συγκεκριμένο, δηλαδή μια από τις πλευρές του είναι ήδη γνωστή. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: να αναβληθεί η γωνία από τη δέσμη ίση με τη δεδομένη.

Λοιπόν, εδώ είναι η γωνία με την κορυφή (βλ. Εικ. 28). Οι ακτίνες είναι οι πλευρές του.

Ρύζι. 28. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 6

Υπάρχει μια ακτίνα με κορυφή (βλ. Εικ. 29). Είναι απαραίτητο να αναβληθεί από αυτή τη δέσμη μια γωνία ίση με την πρώτη γωνία.

Ρύζι. 29. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 6

Συνήθως συναντούσαμε ίσες γωνίες όταν αποδεικνύουμε την ισότητα των τριγώνων. Χρησιμοποιούμε αυτή την ιδέα «αντίθετα» - κατασκευάζουμε ίσα τρίγωνα με γωνίες στις κορυφές και από την ισότητά τους αποδεικνύουμε την ισότητα των γωνιών.

Σχεδιάστε έναν κύκλο αυθαίρετης ακτίνας από ένα σημείο. Παίρνουμε σημεία στις πλευρές της γωνίας και ένα τρίγωνο (βλ. Εικ. 30).

Ρύζι. 30. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 6

Ας κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ίσο με . Σχεδιάστε έναν κύκλο από την ίδια ακτίνα. Ας πάρουμε ένα σημείο (βλ. Εικ. 31).

Ρύζι. 31. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 6

Στο πρώτο τρίγωνο, «μετράμε» το τμήμα με μια πυξίδα και σχεδιάζουμε έναν κύκλο από το σημείο με αυτήν την ακτίνα. Παίρνουμε το σημείο τομής δύο κύκλων - (βλ. Εικ. 32).

Ρύζι. 32. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 6

Ας συγκρίνουμε τα δύο τρίγωνα που προκύπτουν (βλ. Εικ. 33).

Ρύζι. 33. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 6

(όλα αυτά είναι ίσες ακτίνες δύο κύκλων)

(το σημείο βρίσκεται σε κύκλο με ακτίνα ίση με )

Αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα είναι ίσα στις τρεις πλευρές (το τρίτο σημάδι της ισότητας των τριγώνων). Άρα, οι γωνίες που χρειαζόμαστε είναι επίσης ίσες.

Το πρόβλημα λύθηκε.

Γιατί υπάρχουν δύο τελείες;?

Αν τέμνονται δύο κύκλοι, τότε σε δύο σημεία (βλ. Εικ. 34). Επιλέξαμε μόνο ένα για να φτιάξουμε τη γωνία. Γιατί δεν μας άρεσε το δεύτερο;

Ρύζι. 34. Δύο κύκλοι τέμνονται σε σημεία και

Το γεγονός είναι ότι η συνθήκη δεν έλεγε σε ποια κατεύθυνση από αυτήν τη δέσμη πρέπει να παραμεριστεί μια ίση γωνία (αυτό μπορεί να γίνει δεξιόστροφα και αριστερόστροφα). Αντίστοιχα, είναι δυνατό να κατασκευαστούν δύο γωνίες που ικανοποιούν αυτήν την προϋπόθεση (βλ. Εικ. 35). Επιλέξαμε τυχαία ένα από αυτά. Αλλά το δεύτερο δεν είναι χειρότερο, μπορείτε να το επιλέξετε (εξαρτάται από πρόσθετους όρους).

Ρύζι. 35. Δύο ίσες γωνίες δεξιόστροφα και αριστερόστροφα από μια δεδομένη ακτίνα

Για να προσδιοριστεί πόσες λύσεις έχει ένα κατασκευαστικό πρόβλημα, συνήθως πραγματοποιείται ένα ερευνητικό στάδιο. Θα μιλήσουμε περισσότερα για αυτό στο τέλος του μαθήματος.

Το έργο της κατασκευής της διάμεσης τιμής περιορίστηκε στη διαίρεση του τμήματος στο μισό. Για να φτιάξετε μια διχοτόμο, πρέπει να μάθετε πώς να διχοτομείτε μια γωνία.

Εργασία 7.Κατασκευάστε μια διχοτόμο (διαιρέστε τη γωνία στη μέση).

Λύση

Θεωρήστε μια γωνία με κορυφή σε ένα σημείο (βλ. Εικ. 36). Ας φτιάξουμε ξανά δύο ίσα τρίγωνα για να έχουμε ίσες γωνίες.

Ρύζι. 36. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 7

Σχεδιάστε έναν κύκλο με αυθαίρετη ακτίνα με κέντρο στο σημείο . Παίρνουμε σημεία στις πλευρές της γωνίας και , όπου (βλ. Εικ. 37).

Ρύζι. 37. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 7

Από τα σημεία και σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο ίσης ακτίνας (μπορεί να είναι το ίδιο, μπορεί να είναι διαφορετικό). Η τομή των κύκλων θα δώσει ένα σημείο (βλ. Εικ. 38). Θα υπάρχουν δύο σημεία, αλλά μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε. αν σχεδιάσατε κύκλους της ίδιας ακτίνας όπως στο πρώτο βήμα, τότε το δεύτερο σημείο θα συμπέσει με - δεν θα υπάρχει επιλογή.

Ρύζι. 38. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 7

Το καταλαβαίνουμε. Συνδέστε τις τελείες και (βλ. Εικ. 39).

Ρύζι. 39. Εικονογράφηση για το πρόβλημα 7

Τα δύο τρίγωνα που προκύπτουν είναι ίσα. Γιατί, απαντήστε μόνοι σας. Λοιπόν, αφού είναι ίσες, τότε οι γωνίες είναι ίσες , είναι η διχοτόμος.

Το πρόβλημα λύθηκε.

Κατ' αναλογία με τη διαίρεση ενός τμήματος, θέλω να προχωρήσω αμέσως στη διαίρεση της γωνίας σε έναν αυθαίρετο ίσο αριθμό μερών. Και πάλι, είναι ξεκάθαρο πώς να χωρίσετε τη γωνία σε μέρη κ.λπ. Είναι δυνατόν να χωρίσουμε μια γωνία σε τρία ίσα μέρη χρησιμοποιώντας πυξίδα και ευθεία; Περισσότερα για αυτό παρακάτω.

Χωρίζοντας μια γωνία σε τρία μέρη

Αποδεικνύεται ότι στη γενική περίπτωση, η διαίρεση μιας γωνίας σε τρία ίσα μέρη δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας μόνο μια πυξίδα και μια ευθεία. Τι σημαίνει «γενικά»; Για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις, για παράδειγμα, για μια ορθή γωνία, το πρόβλημα έχει λυθεί: μπορείτε απλά να κατασκευάσετε μια γωνία ίση με (χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ενός ορθογωνίου τριγώνου - ένα σκέλος που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία 2 φορές μικρότερη από την υποτείνουσα).

Μιλάμε όμως για μια αυθαίρετη γωνία (το μέτρο της μοίρας της οποίας δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων). Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα δεν λύνεται. Αυτή η εργασία ονομάζεται πρόβλημα τριτοτομής γωνίας. Και δεν είναι το μόνο από τα κατασκευαστικά προβλήματα που δεν μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας πυξίδα και χάρακα (σημείωση: η διαίρεση μιας γωνίας σε τρία μέρη είναι γενικά και κατ 'αρχήν δεν είναι δύσκολη - απλά πάρτε ένα μοιρογνωμόνιο).

Παράδειγμα άλλου τόσο γνωστού άλυτου προβλήματος είναι πρόβλημα τετραγωνισμού κύκλου. Απαιτεί την κατασκευή ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν θα είναι ίσο με το εμβαδόν του δεδομένου κύκλου. Αν πάρουμε έναν κύκλο ακτίνας 1, τότε το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή τετραγώνου με πλευρά ίση με . Αποδεικνύεται ότι επίσης δεν μπορεί να λυθεί με πυξίδα και ευθεία.

Σημειώστε ότι δεν πρόκειται για το γεγονός ότι αυτή τη στιγμή δεν έχουν καταλάβει πώς να το κάνουν αυτό, αλλά έχουν αποδείξει ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει. Δηλαδή απέδειξαν ότι, όσο κι αν προσπάθησαν να χρησιμοποιήσουν πυξίδα και χάρακα, δεν θα ήταν δυνατό να λυθούν αυτά τα προβλήματα.

Τώρα εξασκηθείτε μόνοι σας. Χτίστε ένα τρίγωνο σε τρεις πλευρές. Σας δίνονται τρία τμήματα (βλ. Εικ. 40).

Ρύζι. 40. Τμήματα δεδομένων

Κατασκευάστε ένα τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι ίσες με αυτά τα τρία τμήματα. Η απόφαση βρίσκεται παρακάτω.

Χτίζοντας ένα τρίγωνο με τρεις πλευρές

Μια εργασία.Κατασκευάστε ένα τρίγωνο σε τρεις πλευρές (βλ. Εικ. 41).

Ρύζι. 41. Εικονογράφηση για το πρόβλημα

Λύση

Για να ξεκινήσουμε από κάπου, ας σχεδιάσουμε μια αυθαίρετη ευθεία γραμμή και ας σχεδιάσουμε την πρώτη πλευρά του τριγώνου πάνω της (βλ. Εικ. 42). Ποια πλευρά να πάρεις πρώτη δεν έχει σημασία, ας είναι η πλευρά.

Ρύζι. 42. Εικονογράφηση για το πρόβλημα

Από τα άκρα του αναβαλλόμενου τμήματος σχεδιάζουμε δύο κύκλους με ακτίνες και . Η τομή των κύκλων θα μας δώσει το τρίτο σημείο (βλ. Εικ. 43).

Ρύζι. 43. Εικονογράφηση για το πρόβλημα

Υπάρχουν δύο σημεία τομής - μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε. Κατασκευάστε και τις δύο εκδοχές των τριγώνων και βεβαιωθείτε ότι είναι τα ίδια τρίγωνα, συμμετρικά μεταξύ τους ως προς τη γραμμή (βλ. Εικ. 44).

Ρύζι. 44. Εικονογράφηση για το πρόβλημα

Επάνω απέναντι πλευρά έναδηλώνεται ως τυπικό. Συνδέστε με τα άκρα του τμήματος σε ευθεία γραμμή. Προφανώς, οι πλευρές του τριγώνου που προκύπτει είναι ίσες με τα δεδομένα τρία τμήματα. Απομένει να ορίσουμε τις δύο εναπομείνασες κορυφές. Απέναντι από την πλευρά είναι η κορυφή, απέναντι από την πλευρά είναι η κορυφή (βλ. Εικ. 45).

1. Ποιο σχήμα ονομάζεται τρίγωνο;
2. Τι είδη τριγώνων γνωρίζετε;
3. Τι είναι η τριγωνική ανισότητα;
4. Οι πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι γνωστές
6 εκ. και 8 εκ. Ποια είναι η τρίτη πλευρά του τριγώνου;
5. Υπάρχουν τρίγωνα με πλευρές
10 cm; 15 cm; 30 cm?
6. Υπάρχουν τρίγωνα με πλευρές
11 cm; 5 cm; 6 cm?

Κατασκευή τριγώνου επί τρία
στοιχεία ανάγεται στην επίλυση τριών
κύριες εργασίες
1 εργασία - κατασκευή τριγώνου κατά δύο
πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.
2 εργασία - κατασκευή τριγώνου κατά δύο
γωνίες και την πλευρά μεταξύ τους.
3 εργασία - χτίζοντας ένα τρίγωνο στα τρία
κόμματα.

Εργασία 1
Κατασκευή τριγώνου με δύο πλευρές και γωνία
μεταξυ τους

Δίνονται: τμήματα
ένα
ένα
σι
γωνία hp
σι
η
Π
Χτίζω:
ABC από
δύο πλευρές και μια γωνία
μεταξυ τους

Αλγόριθμος κατασκευής
σι
1. Σχεδιάστε μια γραμμή d.
ένα
2. Το αφήνουμε στην άκρη με
τμήμα πυξίδας AB, ίσο με
Μ
τμήμα α.
η
3. Ας κατασκευάσουμε μια γωνία BAM ίση με
δεδομένη γωνία hp.
ντο
4. Στην ακτίνα ΑΜ παραμερίζουμε το τμήμα
Π
AC, ίσο με το τμήμα β.
5. Σχεδιάστε το τμήμα BC.
6. Κατασκευασμένο τρίγωνο
ABC - επιθυμητό.
ΑΛΛΑ
ΣΤΟ
ρε

Εργασία 2
Κατασκευή τριγώνου με πλευρά και δύο
παρακείμενες γωνίες

Δίνεται: τμήμα
ένα
η
Π
Μ
n
ένα
γωνία hp
γωνία mn,
Χτίζω:
ABC από
δύο γωνίες και μια πλευρά

Αλγόριθμος κατασκευής
1. Σχεδιάστε μια γραμμή d.
2. Το αφήνουμε στην άκρη με
τμήμα πυξίδας AB, ίσο με
τμήμα α.
3. Ας κατασκευάσουμε μια γωνία BAM ίση με
δεδομένη γωνία hp.
4. Κατασκευάστε τη γωνία ΑΒΚ ίση με
δεδομένη γωνία μν.
5. Σημείο τομής
Οι ακτίνες AM και BK δηλώνουν C
6. Κατασκευασμένο τρίγωνο
ρε
ABC - επιθυμητό.
Μ
n
Π
Μ
κ
ΑΠΟ
ΑΛΛΑ
ένα
ΣΤΟ

10.

Εργασία 3
Χτίζοντας ένα τρίγωνο με τρεις πλευρές

11.

Δίνεται: τμήμα α
τμήμα β
τμήμα γ
ένα
σι
Με
Χτίζω:
ABC από
τρία κόμματα

12.

Αλγόριθμος κατασκευής
1. Σχεδιάστε μια γραμμή α.
ένα
2. Το αφήνουμε στην άκρη με
τμήμα πυξίδας AB, ίσο με
κόβω α.
3. Ας φτιάξουμε έναν κύκλο με
κέντρο Α και ακτίνα ίση με β.
4. Ας φτιάξουμε έναν κύκλο με
κέντρο Β και ακτίνα ίση με c.
5. Ένα από τα σημεία τομής
αυτοί οι κύκλοι θα συμβολίζονται
ΑΛΛΑ
σημείο Γ.
6. Σχεδιάστε τα τμήματα AC και BC.
7. Κατασκευασμένο τρίγωνο
ABC - επιθυμητό.
σι
Με
ΑΠΟ
ένα
ΣΤΟ

13.

Είναι αυτό το καθήκον πάντα
θα έχει λύση;
Η εργασία 3 δεν έχει πάντα
λύση.
Εάν κάποιο από τα
τμήματα μεγαλύτερα ή ίσα
το άθροισμα των άλλων δύο τμημάτων,
μετά χτίστε ένα τρίγωνο
δεν θα είναι δυνατό.
σι