Σκεφτείτε, ως παράδειγμα εφαρμογής των παραγόμενων τύπων, την κίνηση ενός σώματος που εκτοξεύεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα απουσία αντίστασης αέρα. Ας πούμε, σε ένα βουνό, σε ύψος πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, υπάρχει ένα κανόνι που φυλάει τα παράκτια νερά. Αφήστε το βλήμα να εκτοξευθεί υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα με αρχική ταχύτητα από ένα σημείο του οποίου η θέση καθορίζεται από το διάνυσμα της ακτίνας (Εικ. 2.16).
Ρύζι. 2.16. Κίνηση σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα
Πρόσθεση.
Παραγωγή των εξισώσεων κίνησης ενός υλικού σημείου στο πεδίο της βαρύτητας
Ας γράψουμε την εξίσωση της κίνησης (η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα):
Αυτό σημαίνει ότι σώματα - υλικά σημεία - οποιασδήποτε μάζας υπό τις ίδιες αρχικές συνθήκες θα κινούνται σε ένα ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με τον ίδιο τρόπο. Ας προβάλουμε την εξίσωση (2.7.2) στους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Οριζόντιος άξονας OHφαίνεται στο σχ. 13 διακεκομμένος άξονας OYπεράσουν από το σημείο Οκατακόρυφα προς τα πάνω και ο οριζόντιος άξονας ουγκιάπερνώντας επίσης από το σημείο Ο, απευθείας κάθετα στο διάνυσμα σε εμάς. Παίρνουμε:
|
Η κατακόρυφη διεύθυνση, εξ ορισμού, είναι η κατεύθυνση του διανύσματος, άρα οι προβολές του στους οριζόντιους άξονες ΒΟΔΙκαι OYείναι ίσα με μηδέν. Η δεύτερη εξίσωση λαμβάνει υπόψη ότι το διάνυσμα κατευθύνεται προς τα κάτω και ο άξονας OY- πάνω.
.png)
Ρύζι. 2.17. Η κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα.
Ας προσθέσουμε στις εξισώσεις κίνησης τις αρχικές συνθήκες που καθορίζουν τη θέση και την ταχύτητα του σώματος στην αρχική χρονική στιγμή t0, ας είναι t0 = 0. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το Σχ. 2.7.4
Αν η παράγωγος κάποιας συνάρτησης είναι ίση με μηδέν, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή, αντίστοιχα, από την πρώτη και την τρίτη εξίσωση (2.7.3) παίρνουμε:
Στη δεύτερη εξίσωση (2.7.3), η παράγωγος είναι ίση με μια σταθερά, που σημαίνει ότι η συνάρτηση εξαρτάται γραμμικά από το όρισμά της, δηλαδή
Συνδυάζοντας τα (2.7.7) και (2.7.9), λαμβάνουμε τις τελικές εκφράσεις για τις εξαρτήσεις των προβολών ταχύτητας στους άξονες συντεταγμένων στο χρόνο:
Η τρίτη εξίσωση (2.7.11) δείχνει ότι η τροχιά του σώματος είναι επίπεδη, βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο επίπεδο XOY, είναι το κατακόρυφο επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσματα και . Προφανώς, η τελευταία πρόταση είναι γενική: ανεξάρτητα από το πώς επιλέγονται οι κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων, η τροχιά ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία προς τον ορίζοντα είναι επίπεδη, βρίσκεται πάντα στο επίπεδο που καθορίζεται από το διάνυσμα της αρχικής ταχύτητας και τη βαρυτική διάνυσμα επιτάχυνσης.
Αν τρεις εξισώσεις (2.7.10) πολλαπλασιαστούν με τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων , , και προστεθούν, και τότε γίνει το ίδιο με τρεις εξισώσεις (2.7.11), τότε παίρνουμε τη χρονική εξάρτηση του διανύσματος ταχύτητας σωματιδίων και διάνυσμα ακτίνας του. Λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες, έχουμε:
|
|
Οι τύποι (2.7.12) και (2.7.13) θα μπορούσαν να ληφθούν αμέσως, απευθείας από το (2.7.2), δεδομένου ότι η βαρυτική επιτάχυνση είναι ένα σταθερό διάνυσμα. Εάν η επιτάχυνση - η παράγωγος του διανύσματος ταχύτητας - είναι σταθερή, τότε το διάνυσμα της ταχύτητας εξαρτάται γραμμικά από το χρόνο και το διάνυσμα ακτίνας, η χρονική παράγωγος του οποίου είναι το διάνυσμα της ταχύτητας που εξαρτάται γραμμικά από το χρόνο, εξαρτάται τετραγωνικά από το χρόνο. Αυτό γράφεται στις σχέσεις (2.7.12) και (2.7.13) με σταθερές - σταθερά διανύσματα - που επιλέγονται σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες στη μορφή (2.7.4).
Από την (2.7.13), ειδικότερα, μπορεί να φανεί ότι το διάνυσμα ακτίνας είναι το άθροισμα τριών διανυσμάτων που προστίθενται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες, που φαίνεται ξεκάθαρα στο Σχ. 2.18.
Ρύζι. 2.18. Αναπαράσταση του διανύσματος ακτίνας r(t) σε αυθαίρετο χρόνο t ως άθροισμα τριών διανυσμάτων
Αυτά τα διανύσματα είναι:
Εδώ η αρχή της ανεξαρτησίας της κίνησης, γνωστή σε άλλους τομείς της φυσικής ως αρχή της υπέρθεσης(επικαλύψεις). Σε γενικές γραμμές, σύμφωνα με την αρχή της υπέρθεσης, το καθαρό αποτέλεσμα πολλών ενεργειών είναι το άθροισμα των επιπτώσεων κάθε ενέργειας που λαμβάνεται χωριστά. Είναι συνέπεια της γραμμικότητας των εξισώσεων κίνησης.
Βίντεο 2.3. Ανεξαρτησία οριζόντιων και κάθετων κινήσεων κατά την κίνηση στο πεδίο βαρύτητας.
Ας τοποθετήσουμε την προέλευση στο σημείο πτώσης. Τώρα =0 , οι άξονες, όπως και πριν, θα περιστραφούν έτσι ώστε ο άξονας 0xήταν οριζόντια, ο άξονας 0 ε- κατακόρυφο και η αρχική ταχύτητα βρισκόταν στο επίπεδο x0y(Εικ. 2.19).
Ρύζι. 2.19. Προβολές της αρχικής ταχύτητας στους άξονες συντεταγμένων
Προβάλλουμε στους άξονες συντεταγμένων (βλ. (2.7.11)):
Διαδρομή πτήσης. Εάν ο χρόνος εξαιρεθεί από το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν t, τότε παίρνουμε την εξίσωση τροχιάς:
|
Αυτή είναι η εξίσωση μιας παραβολής, οι κλάδοι της οποίας είναι στραμμένοι προς τα κάτω.
Εύρος πτήσης όταν πυροβολείτε από ύψος η . Τη στιγμή που το σώμα πέφτει (το βλήμα προσκρούει σε στόχο που βρίσκεται στην επιφάνεια της θάλασσας). Η οριζόντια απόσταση από το όπλο στον στόχο είναι ίση με . Αντικατάσταση ; στην εξίσωση τροχιάς, λαμβάνουμε μια τετραγωνική εξίσωση για το εύρος πτήσης:
Μια τετραγωνική εξίσωση έχει δύο λύσεις (σε αυτή την περίπτωση, θετική και αρνητική). Χρειαζόμαστε μια θετική απόφαση. Η τυπική έκφραση για τη ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης του προβλήματός μας μπορεί να μειωθεί στη μορφή:
επιτυγχάνεται σε , εάν h = 0.
Μέγιστη εμβέλεια πτήσης. Όταν πυροβολείται από ψηλό βουνό, αυτό δεν ισχύει πλέον. Βρείτε τη γωνία στην οποία επιτυγχάνεται η μέγιστη εμβέλεια πτήσης. Η εξάρτηση του εύρους πτήσης από τη γωνία είναι αρκετά περίπλοκη και αντί να διαφοροποιούμε για να βρούμε το μέγιστο, θα κάνουμε τα εξής. Ας φανταστούμε ότι αυξάνουμε την αρχική γωνία . Πρώτον, το εύρος πτήσης αυξάνεται (βλ. τύπο (2.7.15)), φτάνει στη μέγιστη τιμή του και αρχίζει να πέφτει ξανά (στο μηδέν όταν εκτοξεύεται κάθετα προς τα πάνω). Έτσι, για κάθε εύρος πτήσης, εκτός από το μέγιστο, υπάρχουν δύο κατευθύνσεις της αρχικής ταχύτητας.
Ας στραφούμε ξανά στην τετραγωνική εξίσωση για τη σχετικότητα της απόστασης πτήσης και ας τη θεωρήσουμε ως εξίσωση για τη γωνία. Δεδομένου ότι
ας το ξαναγράψουμε με τη μορφή:
Πήραμε πάλι μια τετραγωνική εξίσωση, αυτή τη φορά για άγνωστη ποσότητα. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες, οι οποίες αντιστοιχούν σε δύο γωνίες στις οποίες είναι το εύρος πτήσης. Αλλά όταν , και οι δύο ρίζες πρέπει να ταιριάζουν. Αυτό σημαίνει ότι η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ίση με μηδέν:
από πού προκύπτει το αποτέλεσμα
Με αυτό το αποτέλεσμα αναπαράγει τον τύπο (2.7.16)
Συνήθως το ύψος είναι πολύ μικρότερο από το εύρος πτήσης στην πεδιάδα. Για , η τετραγωνική ρίζα μπορεί να προσεγγιστεί με τους πρώτους όρους της επέκτασης της σειράς Taylor και λαμβάνουμε την κατά προσέγγιση έκφραση
δηλαδή η εμβέλεια της βολής αυξάνεται κατά περίπου το ύψος του όπλου.
Πότε l = l μέγ.και α = μέγιστο,όπως ήδη σημειώθηκε, η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ίση με μηδέν, αντίστοιχα, η λύση της έχει τη μορφή:
Εφόσον η εφαπτομένη είναι μικρότερη από μία, η γωνία στην οποία επιτυγχάνεται η μέγιστη εμβέλεια πτήσης είναι μικρότερη.
Το μέγιστο ύψος ανάβασης πάνω από το σημείο εκκίνησης.Αυτή η τιμή μπορεί να προσδιοριστεί από την ισότητα προς το μηδέν της συνιστώσας της κατακόρυφης ταχύτητας στην κορυφή της τροχιάς
Σε αυτή την περίπτωση, η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας δεν είναι ίση με το μηδέν, επομένως
Έμειναν 3 δευτερόλεπτα για το τέλος του τελικού αγώνα του τουρνουά μπάσκετ των Ολυμπιακών Αγώνων του Μονάχου το 1972. Οι Αμερικανοί -η ομάδα των ΗΠΑ- πανηγύριζαν ήδη τη νίκη! Η ομάδα μας - η εθνική ομάδα της ΕΣΣΔ - κέρδισε περίπου 10 βαθμούς απέναντι στη μεγάλη ονειρική ομάδα...
Λίγα λεπτά πριν το τέλος του αγώνα. Όμως, έχοντας χάσει όλο το πλεονέκτημα στο τέλος, έχανε ήδη έναν πόντο 49:50. Αυτό που έγινε στη συνέχεια ήταν απίστευτο! Ο Ivan Edeshko ρίχνει τη μπάλα πίσω από την τελική γραμμή σε όλη την περιοχή κάτω από το στεφάνι των Αμερικανών, όπου ο σέντερ μας Alexander Belov δέχεται τη μπάλα περικυκλωμένος από δύο αντιπάλους και τη βάζει στο καλάθι. 51:50 - είμαστε ολυμπιονίκες!!!
Εγώ, που ήμουν παιδί τότε, βίωσα τα πιο δυνατά συναισθήματα - πρώτα απογοήτευση και αγανάκτηση, μετά τρελή απόλαυση! Η συναισθηματική ανάμνηση αυτού του επεισοδίου είναι χαραγμένη στο μυαλό μου για το υπόλοιπο της ζωής μου! Δείτε το βίντεο στο Διαδίκτυο για το αίτημα "Η χρυσή ρίψη του Αλέξανδρου Μπέλοφ", δεν θα το μετανιώσετε.
Οι Αμερικανοί τότε δεν παραδέχτηκαν την ήττα και αρνήθηκαν να λάβουν ασημένια μετάλλια. Είναι δυνατόν να κάνουμε σε τρία δευτερόλεπτα αυτό που έκαναν οι παίκτες μας; Ας θυμηθούμε τη φυσική!
Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε την κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία προς τον ορίζοντα, θα δημιουργήσουμε ένα πρόγραμμα Excel για την επίλυση αυτού του προβλήματος με διάφορους συνδυασμούς δεδομένων εισόδου και θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην παραπάνω ερώτηση.
Αυτό είναι ένα αρκετά γνωστό πρόβλημα στη φυσική. Στην περίπτωσή μας, το σώμα που ρίχνεται υπό γωνία προς τον ορίζοντα είναι μια μπάλα του μπάσκετ. Θα υπολογίσουμε την αρχική ταχύτητα, τον χρόνο και την τροχιά της μπάλας που πέταξε σε όλο το γήπεδο από τον Ivan Edeshko και πέφτει στα χέρια του Alexander Belov.
Μαθηματικά και φυσική πτήσης μπάσκετ.
Οι παρακάτω τύποι και ο υπολογισμός σεπροέχωείναι καθολικά για ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων σχετικά με σώματα που εκτοξεύονται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα και πετούν κατά μήκος μιας παραβολικής τροχιάς χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της τριβής του αέρα.
Το σχήμα υπολογισμού φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εκκινήστε το MS Excel ή το OOo Calc.
Αρχικά δεδομένα:
1. Δεδομένου ότι βρισκόμαστε στον πλανήτη Γη και εξετάζουμε ένα βαλλιστικό πρόβλημα - την κίνηση των σωμάτων στο πεδίο βαρύτητας της Γης, τότε πρώτα απ 'όλα γράφουμε το κύριο χαρακτηριστικό του βαρυτικού πεδίου - την επιτάχυνση ελεύθερης πτώσης σολσε m/s 2
στο κελί D3: 9,81
2. Το μέγεθος του γηπέδου μπάσκετ είναι 28 μέτρα μήκος και 15 μέτρα πλάτος. Η απόσταση πτήσης της μπάλας σχεδόν κατά μήκος του γηπέδου μέχρι το ρινγκ από την αντίθετη τελική γραμμή οριζόντια Χγράψτε σε μέτρα
στο κελί D4: 27,000
3. Αν υποθέσουμε ότι ο Edeshko έκανε τη ρίψη από ύψος περίπου δύο μέτρων και ο Belov έπιασε τη μπάλα κάπου στο επίπεδο του ρινγκ, τότε με ύψος στεφάνης μπάσκετ 3,05 μέτρα, η απόσταση μεταξύ των σημείων αναχώρησης και άφιξης η μπάλα θα είναι κάθετα 1 μέτρο. Ας γράψουμε την κατακόρυφη μετατόπιση yσε μέτρα
στο κελί D5: 1,000
4. Σύμφωνα με τις μετρήσεις μου στο βίντεο, η γωνία αναχώρησης της μπάλας α 0 από τα χέρια του Edeshko δεν ξεπέρασε τις 20 °. Εισαγάγετε αυτήν την τιμή
στο κελί D6: 20,000
Αποτελέσματα υπολογισμού:
Βασικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αντίσταση του αέρα:
Χ =v0* συν α 0 *t
y =v0*αμαρτία α 0 *t -g *t 2 /2
5. Ας εκφράσουμε την ώρα tαπό την πρώτη εξίσωση, αντικαταστήστε τη δεύτερη και υπολογίστε την αρχική ταχύτητα της μπάλας v 0 σε m/s
στο κελί D8: =(D3*D4^2/2/COS (RADIANS(D6))^2/(D4*TAN (RADIANS(D6))-D5))^0,5 =21,418
v0 =(g *x 2 /(2*(συνα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y)) 0,5
6. Χρόνος πτήσης της μπάλας από τα χέρια του Edeshko στα χέρια του Belov tυπολογίστε σε δευτερόλεπτα, γνωρίζοντας τώρα v 0 , από την πρώτη εξίσωση
στο κελί D9: =D4/D8/COS (RADIANS(D6)) =1,342
t = Χ /(v 0 * συνα 0 )
7. Βρείτε τη γωνία κατεύθυνσης της ταχύτητας της μπάλας α Εγώστο σημείο που μας ενδιαφέρει. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το αρχικό ζεύγος εξισώσεων με την ακόλουθη μορφή:
y =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*v 0 2*(συνα 0 ) 2)
Αυτή είναι η εξίσωση μιας παραβολής - η διαδρομή πτήσης.
Πρέπει να βρούμε τη γωνία κλίσης της εφαπτομένης στην παραβολή στο σημείο που μας ενδιαφέρει - αυτή θα είναι η γωνία α Εγώ. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την παράγωγο, η οποία είναι η εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης:
εσυ =tgα 0 -g *x /(v 0 2*(συνα 0 ) 2)
Υπολογίστε τη γωνία άφιξης της μπάλας στα χέρια του Μπέλοφ α Εγώσε βαθμούς
στο κελί D10: =ATAN (TAN (RADIANS(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (RADIANS(D6))^2)/PI()*180 =-16,167
α Εγώ = arctgy ’ = arctg(tgα 0 — σολ * Χ /(v 0 2 *(συνα 0 ) 2))
Ο υπολογισμός στο excel, κατ' αρχήν, έχει ολοκληρωθεί.
Άλλες επιλογές πληρωμής:
Χρησιμοποιώντας το γραπτό πρόγραμμα, μπορείτε γρήγορα και εύκολα να εκτελέσετε υπολογισμούς με άλλους συνδυασμούς αρχικών δεδομένων.
Αφήστε, δεδομένου ενός οριζόντιου Χ = 27 μέτρα , κατακόρυφος y = Εμβέλεια πτήσης 1 μέτρο και αρχική ταχύτητα v 0 = 25 m/s.
Απαιτείται η εύρεση του χρόνου πτήσης tκαι γωνίες αναχώρησης α 0 και άφιξη α Εγώ
Ας χρησιμοποιήσουμε την υπηρεσία MS Excel "Επιλογή παραμέτρου". Έχω επανειλημμένα περιγράψει λεπτομερώς σε αρκετά άρθρα ιστολογίου πώς να το χρησιμοποιήσω. Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα σχετικά με τη χρήση αυτής της υπηρεσίας.
Ορίσαμε την τιμή στο κελί D8 σε 25.000 αλλάζοντας την επιλογή της τιμής στο κελί D6. Το αποτέλεσμα είναι στο παρακάτω σχήμα.
Τα αρχικά δεδομένα σε αυτήν την έκδοση του υπολογισμού στο excel (όπως, μάλιστα, στην προηγούμενη) επισημαίνονται με μπλε πλαίσια και τα αποτελέσματα κυκλώνονται σε κόκκινα ορθογώνια πλαίσια!
Στρώνοντας το τραπέζιπροέχωκάποια τιμή ενδιαφέροντος σε ένα από τα κελιά με ανοιχτό κίτρινο γέμισμα, επιλέγοντας μια αλλαγμένη τιμή σε ένα από τα κελιά με ανοιχτό τιρκουάζ γέμισμα, στη γενική περίπτωση, μπορείτε να λάβετε δέκα διαφορετικές επιλογές για την επίλυση του προβλήματος της κίνησης του ένα σώμα ριγμένο υπό γωνία προς τον ορίζοντα με δέκα διαφορετικά σύνολα πηγή δεδομένων!!!
Απάντηση στην ερώτηση:
Ας απαντήσουμε στο ερώτημα που τέθηκε στην αρχή του άρθρου. Η μπάλα που έστειλε ο Ivan Edeshko πέταξε στον Belov, σύμφωνα με τους υπολογισμούς μας, σε 1.342 δευτερόλεπτα. Ο Alexander Belov έπιασε τη μπάλα, προσγειώθηκε, πήδηξε και την πέταξε. Για όλα αυτά είχε «θάλασσα» χρόνου - 1.658s! Αυτό είναι πραγματικά αρκετό με ένα περιθώριο χρόνου! Η αναλυτική προβολή των καρέ του βίντεο επιβεβαιώνει τα παραπάνω. Τρία δευτερόλεπτα ήταν αρκετά για τους παίκτες μας να παραδώσουν την μπάλα από την πρώτη γραμμή τους στο ταμπλό των αντιπάλων και να την πετάξουν στο ρινγκ, γράφοντας με χρυσό τα ονόματά τους στην ιστορία του μπάσκετ!
παρακαλώ σχετικά με έργο του συγγραφέα λήψη αρχείου μετά την εγγραφή για ανακοινώσεις άρθρων!
Η κινηματική είναι εύκολη!
Μετά τη ρίψη, κατά την πτήση, η βαρύτητα δρα στο σώμα Ftκαι τη δύναμη της αντίστασης του αέρα Fs.
Εάν το σώμα κινείται με χαμηλές ταχύτητες, τότε συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη η δύναμη της αντίστασης του αέρα κατά τον υπολογισμό.
Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι μόνο η βαρύτητα δρα στο σώμα, πράγμα που σημαίνει ότι η κίνηση του εκτοξευόμενου σώματος είναι ελεύθερη πτώση.
Εάν αυτή είναι ελεύθερη πτώση, τότε η επιτάχυνση του εκτοξευόμενου σώματος είναι ίση με την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης σολ.
Σε χαμηλά υψόμετρα σε σχέση με την επιφάνεια της Γης, η δύναμη της βαρύτητας Ft πρακτικά δεν αλλάζει, επομένως το σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση.
Άρα, η κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα είναι μια παραλλαγή ελεύθερης πτώσης, δηλ. κίνηση με σταθερή επιτάχυνση και καμπυλόγραμμη τροχιά(γιατί τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης δεν συμπίπτουν στην κατεύθυνση).
Οι τύποι για αυτή την κίνηση σε διανυσματική μορφή: η τροχιά του σώματος είναι μια παραβολή που βρίσκεται σε ένα επίπεδο που διέρχεται από τα διανύσματα Fт και Vo.
Ως αρχή των συντεταγμένων επιλέγεται συνήθως το σημείο εκκίνησης της κίνησης του εκτοξευόμενου σώματος.
Ανά πάσα στιγμή, η αλλαγή στην ταχύτητα του σώματος προς την κατεύθυνση συμπίπτει με την επιτάχυνση.
Το διάνυσμα ταχύτητας του σώματος σε οποιοδήποτε σημείο της τροχιάς μπορεί να αποσυντεθεί σε 2 συστατικά: το διάνυσμα V x και το διάνυσμα V y .
Ανά πάσα στιγμή, η ταχύτητα του σώματος θα προσδιορίζεται ως το γεωμετρικό άθροισμα αυτών των διανυσμάτων:
Σύμφωνα με το σχήμα, οι προβολές του διανύσματος ταχύτητας στους άξονες συντεταγμένων OX και OY μοιάζουν με αυτό:
Υπολογισμός της ταχύτητας του σώματος ανά πάσα στιγμή:
Υπολογισμός της μετατόπισης του σώματος ανά πάσα στιγμή:
Κάθε σημείο της τροχιάς κίνησης του σώματος αντιστοιχεί σε συντεταγμένες X και Y:
Τύποι υπολογισμού για τις συντεταγμένες του πεταχθέντος σώματος ανά πάσα στιγμή:
Από την εξίσωση κίνησης, μπορούν να προκύψουν τύποι για τον υπολογισμό του μέγιστου εύρους πτήσης L:
και μέγιστο ύψος πτήσης H:
ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.
1. Με ίσες αρχικές ταχύτητες Vo, το εύρος πτήσης:
- αυξάνεται εάν η αρχική γωνία ρίψης αυξηθεί από 0 o σε 45 o,
- Μειώνεται εάν η αρχική γωνία ρίψης αυξηθεί από 45 o σε 90 o.
2. Με ίσες αρχικές γωνίες ρίψης, το εύρος πτήσης L αυξάνεται με αύξηση της αρχικής ταχύτητας Vo. 
3. Μια ειδική περίπτωση της κίνησης ενός σώματος που ρίχνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα είναι κίνηση ενός σώματος που ρίχνεται οριζόντια, ενώ η αρχική γωνία ρίψης είναι μηδέν.
Εάν ένα σώμα εκτινάσσεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, τότε κατά την πτήση επηρεάζεται από τη βαρύτητα και την αντίσταση του αέρα. Εάν η δύναμη αντίστασης παραμεληθεί, τότε η μόνη δύναμη που απομένει είναι η δύναμη της βαρύτητας. Επομένως, λόγω του 2ου νόμου του Νεύτωνα, το σώμα κινείται με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης. προβολές επιτάχυνσης στους άξονες συντεταγμένων ax = 0, ay = - g.
Εικόνα 1. Κινηματικά χαρακτηριστικά σώματος εκτοξευμένου υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα
Οποιαδήποτε σύνθετη κίνηση ενός υλικού σημείου μπορεί να αναπαρασταθεί ως επιβολή ανεξάρτητων κινήσεων κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων και προς την κατεύθυνση διαφορετικών αξόνων, ο τύπος κίνησης μπορεί να διαφέρει. Στην περίπτωσή μας, η κίνηση ενός ιπτάμενου σώματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως υπέρθεση δύο ανεξάρτητων κινήσεων: ομοιόμορφη κίνηση κατά μήκος του οριζόντιου άξονα (άξονας Χ) και ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα (άξονας Υ) (Εικ. 1) .
Επομένως, οι προβολές ταχύτητας του σώματος αλλάζουν με το χρόνο ως εξής:
όπου $v_0$ είναι η αρχική ταχύτητα, $(\mathbf \alpha )$ είναι η γωνία ρίψης.
Με την επιλογή προέλευσης, οι αρχικές συντεταγμένες (Εικ. 1) είναι $x_0=y_0=0$. Τότε παίρνουμε:
(1)
Ας αναλύσουμε τους τύπους (1). Ας προσδιορίσουμε τον χρόνο κίνησης του πεταχθέντος σώματος. Για να γίνει αυτό, θέτουμε τη συντεταγμένη y ίση με μηδέν, επειδή τη στιγμή της προσγείωσης, το ύψος του σώματος είναι μηδέν. Από εδώ έχουμε για την ώρα πτήσης:
Η δεύτερη τιμή του χρόνου που το ύψος είναι ίσο με μηδέν ισούται με μηδέν, που αντιστοιχεί στη στιγμή της ρίψης, δηλ. αυτή η τιμή έχει και φυσική σημασία.
Το εύρος πτήσης λαμβάνεται από τον πρώτο τύπο (1). Το εύρος πτήσης είναι η τιμή της συντεταγμένης x στο τέλος της πτήσης, δηλ. τη χρονική στιγμή ίση με $t_0$. Αντικαθιστώντας την τιμή (2) στον πρώτο τύπο (1), παίρνουμε:
Από αυτόν τον τύπο μπορεί να φανεί ότι η μεγαλύτερη εμβέλεια πτήσης επιτυγχάνεται σε γωνία ρίψης 45 μοιρών.
Το υψηλότερο ύψος ανύψωσης του πεταχθέντος σώματος μπορεί να ληφθεί από τον δεύτερο τύπο (1). Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε σε αυτόν τον τύπο την τιμή του χρόνου ίση με το ήμισυ του χρόνου πτήσης (2), επειδή Είναι στο μέσο της τροχιάς που το ύψος πτήσης είναι το μέγιστο. Κάνοντας υπολογισμούς, παίρνουμε
Από τις εξισώσεις (1) προκύπτει η εξίσωση της τροχιάς του σώματος, δηλ. μια εξίσωση που συσχετίζει τις συντεταγμένες x και y ενός σώματος κατά την κίνηση. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε τον χρόνο από την πρώτη εξίσωση (1):
και αντικαταστήστε το στη δεύτερη εξίσωση. Τότε παίρνουμε:
Αυτή η εξίσωση είναι η εξίσωση τροχιάς. Μπορεί να φανεί ότι αυτή είναι η εξίσωση μιας παραβολής με διακλαδώσεις προς τα κάτω, όπως υποδεικνύεται από το σύμβολο "-" μπροστά από τον τετραγωνικό όρο. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η γωνία ρίψης $\alpha $ και οι συναρτήσεις της είναι απλώς σταθερές εδώ, δηλ. σταθερούς αριθμούς.
Ένα σώμα εκτοξεύεται με ταχύτητα v0 υπό γωνία $(\mathbf \alpha )$ ως προς τον ορίζοντα. Χρόνος πτήσης $t = 2 s$. Σε ποιο ύψος Hmax θα ανέβει το σώμα;
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
Ο νόμος της κίνησης του σώματος είναι:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Το διάνυσμα αρχικής ταχύτητας σχηματίζει μια γωνία $(\mathbf \alpha )$ με τον άξονα OX. Ως εκ τούτου,
\ \ \
Μια πέτρα ρίχνεται από την κορυφή ενός βουνού υπό γωνία = 30$()^\circ$ προς τον ορίζοντα με αρχική ταχύτητα $v_0 = 6 m/s$. Γωνία κεκλιμένου επιπέδου = 30$()^\circ$. Σε ποια απόσταση από το σημείο της ρίψης θα πέσει η πέτρα;
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Ας τοποθετήσουμε την αρχή των συντεταγμένων στο σημείο ρίψης, OX - κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου προς τα κάτω, OY - κάθετα στο κεκλιμένο επίπεδο προς τα πάνω. Κινηματικά χαρακτηριστικά κίνησης:
Νόμος της κίνησης:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
Αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή του $t_B$, βρίσκουμε το $S$:
Φόρτωση...