Παρουσίαση με θέμα αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα. Παρουσίαση για το μάθημα «Αόριστο ολοκλήρωμα

διαφάνεια 1

διαφάνεια 2

Ιστορικές πληροφορίες Ο ολοκληρωτικός λογισμός προέκυψε από την ανάγκη δημιουργίας μιας γενικής μεθόδου εύρεσης περιοχών, όγκων και κέντρων βάρους. Στην εμβρυϊκή της μορφή, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη. Έλαβε συστηματική ανάπτυξη τον 17ο αιώνα στα έργα των Καβαλιέρι, Τοριτσέλι, Φερμάμ και Πασκάλ. Το 1659, ο I. Barrow δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ του προβλήματος της εύρεσης μιας περιοχής και του προβλήματος της εύρεσης μιας εφαπτομένης. Ο Newton και ο Leib-Nitz στη δεκαετία του '70 του 17ου αιώνα παρέκκλισαν αυτή τη σύνδεση από τα αναφερόμενα συγκεκριμένα γεωμετρικά προβλήματα. Έτσι, δημιουργήθηκε μια σύνδεση μεταξύ ολοκληρωτικού και διαφορικού λογισμού. Αυτή η σύνδεση χρησιμοποιήθηκε από τους Newton, Leibniz και τους μαθητές τους για να αναπτύξουν την τεχνική της ολοκλήρωσης. Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης έφτασαν στη σημερινή τους κατάσταση κυρίως στα έργα του L. Euler. Οι εργασίες των M.V. Ostrogradsko-Go και P.L. Chebyshev ολοκλήρωσαν την ανάπτυξη αυτών των μεθόδων.

διαφάνεια 3

Η έννοια του ολοκληρώματος. Έστω η ευθεία MN που δίνεται από την εξίσωση Και πρέπει να βρούμε το εμβαδόν F του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς aABb. Ας διαιρέσουμε το τμήμα ab σε n μέρη (ίσα ή άνισα) και ας κατασκευάσουμε ένα κλιμακωτό σχήμα που φαίνεται με εκκόλαψη στο Σχ. 1 Το εμβαδόν του, το εμβαδόν του είναι ίσο με (1) Εάν εισάγουμε τον συμβολισμό Τότε, ο τύπος (1) θα λάβει η μορφή (3) Το επιθυμητό εμβαδόν είναι το όριο του αθροίσματος ( 3) για απείρως μεγάλο n. Ο Leibniz εισήγαγε τον προσδιορισμό για αυτό το όριο (4) Στο οποίο (πλάγια γραφή s) είναι το αρχικό γράμμα της λέξης summa (άθροισμα), η έκφραση Ε υποδηλώνει την τυπική μορφή μεμονωμένων όρων. Ο Leibniz άρχισε να αποκαλεί την έκφραση integral - από τη λατινική λέξη integralis - integral. Ο J. B. Fourier βελτίωσε τον συμβολισμό του Leibniz, δίνοντάς του τη μορφή Εδώ, οι αρχικές και τελικές τιμές του x υποδεικνύονται ρητά.

διαφάνεια 4

Σχέση ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης. Ας εξετάσουμε μια σταθερά και μια μεταβλητή b. Τότε το ολοκλήρωμα θα είναι συνάρτηση του b . Το διαφορικό αυτής της συνάρτησης είναι

διαφάνεια 5

πρωτόγονη λειτουργία. Έστω μια συνάρτηση παράγωγος μιας συνάρτησης, T.S. Υπάρχει διαφορικό συνάρτησης: Τότε η συνάρτηση ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση

διαφάνεια 6

Ένα παράδειγμα εύρεσης αντιπαραγώγου. Η συνάρτηση είναι το αντιπαράγωγο από το T.S. Υπάρχει διαφορικό της συνάρτησης Η συνάρτηση είναι το αντιπαράγωγο της συνάρτησης

Διαφάνεια 7

Αόριστο ολοκλήρωμα. Το αόριστο ολοκλήρωμα μιας δεδομένης έκφρασης είναι η πιο γενική μορφή της αντιπαράγωγης συνάρτησής της. Το αόριστο ολοκλήρωμα μιας έκφρασης συμβολίζεται Η έκφραση ονομάζεται υποολοκληρωμένη έκφραση, η συνάρτηση ονομάζεται υποολοκληρωμένη συνάρτηση, η μεταβλητή x είναι η μεταβλητή της ολοκλήρωσης. Η εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται ολοκλήρωση.

GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι υπολογισμού

Εύδοξος Κνίδος γ. 408 - περ. 355 π.Χ μι. Ο ολοκληρωτικός λογισμός εμφανίστηκε κατά την αρχαία περίοδο της ανάπτυξης της μαθηματικής επιστήμης και ξεκίνησε με τη μέθοδο της εξάντλησης, η οποία αναπτύχθηκε από τους μαθηματικούς της αρχαίας Ελλάδας και ήταν ένα σύνολο κανόνων που αναπτύχθηκε από τον Εύδοξο της Κνίδου. Σύμφωνα με αυτούς τους κανόνες, υπολογίστηκαν οι εκτάσεις και οι όγκοι

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Το σύμβολο ∫ εισήχθη από τον Leibniz (1675). Αυτό το σύμβολο είναι μια παραλλαγή του λατινικού γράμματος S (το πρώτο γράμμα της λέξης summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Ο Newton και ο Leibniz ανακάλυψαν ανεξάρτητα ένα γεγονός γνωστό ως τύπος Newton-Leibniz.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Το έργο των Cauchy και Weierstrass συνόψισε την αιώνια ανάπτυξη του ολοκληρωτικού λογισμού.

Ρώσοι μαθηματικοί συμμετείχαν στην ανάπτυξη του ολοκληρωτικού λογισμού: M.V. Ostrogradsky (1801 - 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 - 1889) P.L. Chebyshev (1821 - 1894)

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ένα αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f(x) στο διάστημα (a; b) είναι οποιαδήποτε από τις αντιπαράγωγες συναρτήσεις της. Όπου C είναι μια αυθαίρετη σταθερά (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Ταίριασμα. Βρείτε μια τέτοια γενική μορφή του αντιπαραγώγου που αντιστοιχεί στη δεδομένη συνάρτηση. tgx +С

Ολοκληρωτικές ιδιότητες

Ολοκληρωτικές ιδιότητες

Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης Πίνακας. 2. Αναγωγή σε πίνακα μετατροπής του ολοκληρώματος σε άθροισμα ή διαφορά. 3.Ολοκλήρωση με χρήση αλλαγής μεταβλητής (υποκατάσταση). 4. Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα.

Βρείτε αντιπαράγωγα για συναρτήσεις: F(x) = 5 x ² + CF(x) = x ³ + CF(x) = - cos x + 5x + CF(x) = 5 sin x + CF(x) = 2 x ³ + CF(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

Είναι αλήθεια ότι: α) γ) β) δ)

Παράδειγμα 1. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των παραστάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων αυτών των παραστάσεων.Μπορεί να αφαιρεθεί ένας σταθερός παράγοντας από το ολοκλήρωμα

Παράδειγμα 2. Έλεγχος λύσης Καταγράψτε τη λύση:

Παράδειγμα 3. Έλεγχος λύσης Καταγράψτε τη λύση:

Παράδειγμα 4. Ελέγξτε τη λύση Καταγράψτε τη λύση: Εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή και εκφράστε τα διαφορικά:

Παράδειγμα 5. Έλεγχος λύσης Καταγράψτε τη λύση:

Γ ανεξάρτητη εργασία Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα Ελέγξτε τη λύση Επίπεδο "Α" (κατά "3") Επίπεδο "Β" (κατά "4") Επίπεδο "Γ" (κατά "5")

Εργασία Καθιερώστε έναν αγώνα. Βρείτε μια τέτοια γενική μορφή του αντιπαραγώγου που αντιστοιχεί στη δεδομένη συνάρτηση.

Anoshina O.V.

Κύρια λογοτεχνία

1. V. S. Shipachev, Ανώτερα Μαθηματικά. Βασικό μάθημα: σχολικό βιβλίο και
εργαστήριο για πτυχιούχους [Πιστοποιητικό του Υπουργείου Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας] / V. S.
Shipachev; εκδ. A. N. Tikhonova. - 8η έκδ., αναθεωρημένη. και επιπλέον Μόσχα: Yurayt, 2015. - 447 σελ.
2. V. S. Shipachev, Ανώτερα Μαθηματικά. Πλήρες μάθημα: σχολικό βιβλίο
για ακαδ. Πτυχίο [Πιστοποιητικό UMO] / V. S. Shipachev; εκδ. ΑΛΛΑ.
N. Tikhonova. - 4η έκδ., Rev. και επιπλέον - Μόσχα: Yurayt, 2015. - 608
από
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. ανώτερα μαθηματικά
σε ασκήσεις και εργασίες. [Κείμενο] / Π.Ε. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Κοζέβνικοφ. Στις 2 η ώρα - Μ .: Ανώτερη Σχολή, 2007. - 304 + 415γ.

Αναφορά

1.
Δοκιμή. Εκτελείται σύμφωνα με:
Εργασίες και οδηγίες για τη διενέργεια των εξετάσεων
στο γνωστικό αντικείμενο «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ», Αικατερινούπολη, ΦΓΑΟΥ
VO "Ρωσικό Κρατικό Επαγγελματικό Παιδαγωγικό
Πανεπιστήμιο», 2016 - δεκαετία του '30.
Επιλέξτε την επιλογή της εργασίας ελέγχου με το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
βιβλίο με ρεκόρ.
2.
Εξέταση

Αόριστο ολοκλήρωμα, οι ιδιότητες και υπολογισμός του Αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα

Ορισμός. Καλείται η συνάρτηση F x
αντιπαράγωγη συνάρτηση f x ορίζεται στις
κάποιο διάστημα εάν F x f x για
κάθε x από αυτό το διάστημα.
Για παράδειγμα, η συνάρτηση cos x είναι
αντιπαράγωγη συνάρτηση sin x , αφού
cos x sin x .

Προφανώς, αν το F x είναι αντιπαράγωγο
συναρτήσεις f x , τότε F x C , όπου το C είναι κάποια σταθερά, είναι επίσης
αντιπαράγωγη συνάρτηση f x .
Αν το F x είναι κάποιο αντιπαράγωγο
συνάρτηση f x , τότε οποιαδήποτε συνάρτηση της φόρμας
F x F x C είναι επίσης
αντιπαράγωγη συνάρτηση f x και οποιαδήποτε
Το πρωτόγονο μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή.

Ορισμός. Το σύνολο όλων
αντιπαράγωγα της συνάρτησης f x,
ορίζεται σε ορισμένα
ενδιάμεσα καλείται
αόριστο ολοκλήρωμα του
συναρτήσεις f x σε αυτό το διάστημα και
συμβολίζεται με f x dx .

Αν το F x είναι κάποιο αντιπαράγωγο της συνάρτησης
f x , τότε γράφουν f x dx F x C , αν και
θα ήταν πιο σωστό να γράφουμε f x dx F x C .
Εμείς, σύμφωνα με την καθιερωμένη παράδοση, θα γράφουμε
f x dx F x C .
Έτσι το ίδιο σύμβολο
Το f x dx θα υποδηλώσει ως σύνολο
σύνολο αντιπαραγώγων της συνάρτησης f x ,
και οποιοδήποτε στοιχείο αυτού του συνόλου.

Ολοκληρωτικές ιδιότητες

Η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος είναι
integrand και η διαφορά του με το integrand. Πραγματικά:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Ολοκληρωτικές ιδιότητες

3. Αόριστο ολοκλήρωμα του
διαφορικό συνεχώς (x)
διαφοροποιήσιμη συνάρτηση είναι ίση με τον εαυτό της
αυτή η συνάρτηση μέχρι μια σταθερά:
d (x) (x) dx (x) C,
αφού το (χ) είναι αντιπαράγωγο του (χ).

Ολοκληρωτικές ιδιότητες

4. Αν οι συναρτήσεις f1 x και f 2 x έχουν
αντιπαράγωγα, τότε η συνάρτηση f1 x f 2 x
έχει επίσης ένα αντιπαράγωγο, και
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
Α'1
Χ
2. x a dx
C, (a 1) .
Α'1
dx
3. ln x C .
Χ
Χ
ένα
4.a x dx
ΝΤΟ.
Στο α
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
αμαρτία x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων

11.
dx
τόξο x C .
1x2
dx
1
Χ
12. 2 2 αρκτάν Γ .
ένα
ένα
ένα x
13.
14.
15.
dx
a2x2
Χ
τόξο C ..
ένα
dx
1
x α
ln
ντο
2
2
2a x a
x α
dx
1
ένα x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 α
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Ιδιότητες διαφορικών

Κατά την ενσωμάτωση, είναι βολικό στη χρήση
ιδιότητες: 1
1. dx d (ax)
ένα
1
2. dx d (ax b),
ένα
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Παραδείγματα

Παράδειγμα. Υπολογίστε το cos 5xdx .
Λύση. Στον πίνακα των ολοκληρωμάτων βρίσκουμε
cos xdx sin x C .
Ας μετατρέψουμε αυτό το ολοκλήρωμα σε πίνακα,
εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι d ax adx .
Επειτα:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= αμαρτία 5 x C .
5

Παραδείγματα

Παράδειγμα. Υπολογίστε το x
3x x 1 dx.
Λύση. Αφού κάτω από το ακέραιο πρόσημο
είναι το άθροισμα τεσσάρων όρων, λοιπόν
επεκτείνετε το ολοκλήρωμα ως άθροισμα τεσσάρων
ολοκληρώματα:
2
3
2
3
2
3
Χ
3
Χ
Χ
1
dx
Χ
dx
3
Χ
δχ χδχ δχ .
x3
x4 x2
3
x Γ
3
4
2

Ανεξαρτησία του τύπου της μεταβλητής

Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων, είναι βολικό
χρησιμοποιήστε τις παρακάτω ιδιότητες
ολοκληρώματα:
Αν f x dx F x C , τότε
f x b dx F x b C .
Αν f x dx F x C , τότε
1
f ax b dx F ax b C .
ένα

Παράδειγμα

Υπολογίζω
1
6
2
3
Χ
dx
2
3
Χ
ντο
.
3 6
5

Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον τύπο udv uv vdu.
Τα ακόλουθα ολοκληρώματα λαμβάνονται με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά μέρη:
α) x n sin xdx, όπου n 1.2...k;
β) x n e x dx , όπου n 1,2...k ;
γ) x n arctgxdx , όπου n 0, 1, 2,... k . ;
δ) x n ln xdx , όπου n 0, 1, 2,... k .
Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων α) και β) εισάγετε
ν 1
σημειογραφία: x n u , μετά du nx dx , και, για παράδειγμα
sin xdx dv, μετά v cos x.
Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων c), δ) συμβολίστε για το u τη συνάρτηση
arctgx , ln x , και για dv παίρνουν x n dx .

Παραδείγματα

Παράδειγμα. Υπολογίστε x cos xdx .
Λύση.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Παραδείγματα

Παράδειγμα. Υπολογίζω
x ln xdx
dx
u ln x, du
Χ
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
Στο x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
Στο x
ΝΤΟ.
=
2
2
2
2 2

Μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης

Έστω ότι απαιτείται η εύρεση f x dx , και
σηκώστε κατευθείαν το πρωτόγονο
για το f x δεν μπορούμε, αλλά το ξέρουμε αυτό
αυτή υπάρχει. Βρίσκεται συχνά
αντιπαράγωγο με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής,
σύμφωνα με τον τύπο
f x dx f t t dt , όπου x t και t είναι το νέο
μεταβλητός

Ολοκλήρωση συναρτήσεων που περιέχουν τετράγωνο τριώνυμο

Εξετάστε το ολοκλήρωμα
axb
dx,
x px q
που περιέχει ένα τετράγωνο τριώνυμο in
ο παρονομαστής του ολοκληρώματος
εκφράσεις. Λαμβάνεται επίσης ένα τέτοιο ολοκλήρωμα
μέθοδος αλλαγής μεταβλητών,
προηγουμένως εντοπίστηκε σε
ο παρονομαστής είναι ένα πλήρες τετράγωνο.
2

Παράδειγμα

Υπολογίζω
dx
.
x4x5
Λύση. Ας μετατρέψουμε το x 2 4 x 5,
2
επιλέγοντας ένα πλήρες τετράγωνο σύμφωνα με τον τύπο a b 2 a 2 2ab b 2 .
Τότε παίρνουμε:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Παράδειγμα

Να βρω
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Ορισμένο ολοκλήρωμα, οι κύριες ιδιότητές του. Τύπος Newton-Leibniz. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος.

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος οδηγεί σε
το πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής ενός καμπυλόγραμμου
τραπεζοειδές.
Ας δοθεί σε κάποιο διάστημα
συνεχής συνάρτηση y f (x) 0
Μια εργασία:
Σχεδιάστε το γράφημά του και βρείτε την περιοχή F του σχήματος,
που οριοθετούνται από αυτή την καμπύλη, δύο ευθείες x = a και x
= b, και από κάτω - ένα τμήμα του άξονα της τετμημένης μεταξύ των σημείων
x = a και x = b.

Το σχήμα aABb ονομάζεται
καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές

Ορισμός

σι
f(x)dx
Κάτω από ορισμένο ολοκλήρωμα
ένα
από μια δεδομένη συνεχή συνάρτηση f(x) on
αυτό το τμήμα είναι κατανοητό
την αντίστοιχη προσαύξηση
πρωτόγονο δηλαδή
F (β) F (α) F (x) /
σι
ένα
Οι αριθμοί a και b είναι τα όρια της ολοκλήρωσης,
είναι το διάστημα της ολοκλήρωσης.

Κανόνας:

Το οριστικό ολοκλήρωμα ισούται με τη διαφορά
τιμές του αντιπαραγώγου ολοκλήρωσης
λειτουργίες για άνω και κάτω όρια
ενσωμάτωση.
Παρουσιάζοντας τη σημείωση για τη διαφορά
σι
F (β) F (α) F (x) / a
σι
f (x)dx F (β) F (a)
ένα
Τύπος Newton-Leibniz.

Βασικές ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος.

1) Η τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος δεν εξαρτάται από
συμβολισμός μεταβλητής ολοκλήρωσης, π.χ.
σι
σι
ένα
ένα
f (x)dx f (t)dt
όπου x και t είναι οποιαδήποτε γράμματα.
2) Ορισμένο ολοκλήρωμα με το ίδιο
εξω απο
η ολοκλήρωση είναι μηδέν
ένα
f (x)dx F (a) F (a) 0
ένα

3) Κατά την αναδιάταξη των ορίων ολοκλήρωσης
το οριστικό ολοκλήρωμα αντιστρέφει το πρόσημό του
σι
ένα
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
ένα
σι
(ιδιότητα προσθετικότητας)
4) Αν το διάστημα χωριστεί σε πεπερασμένο αριθμό
μερικά διαστήματα, μετά το οριστικό ολοκλήρωμα,
που λαμβάνεται πάνω από το διάστημα είναι ίσο με το άθροισμα του καθορισμένου
ολοκληρώματα που λαμβάνονται σε όλα τα επιμέρους διαστήματα του.
σι
ντο
σι
f(x)dx f(x)dx
ντο
ένα
ένα
f(x)dx

5) Ένας σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να αφαιρεθεί
για το πρόσημο ορισμένου ολοκληρώματος.
6) Ορισμένο ολοκλήρωμα του αλγεβρικού
αθροίσματα ενός πεπερασμένου αριθμού συνεχών
συναρτήσεις ισούται με την ίδια αλγεβρική
το άθροισμα ορισμένων ολοκληρωμάτων αυτών
λειτουργίες.

3. Αλλαγή μεταβλητής σε οριστικό ολοκλήρωμα.

3. Αντικατάσταση μεταβλητής σε ορισμένη
αναπόσπαστο.
σι
f (x)dx f (t) (t)dt
ένα
α(), β(), (τ)
όπου
για t[; ] , οι συναρτήσεις (t) και (t) είναι συνεχείς.
5
Παράδειγμα:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Ακατάλληλα ολοκληρώματα.

Ακατάλληλα ολοκληρώματα.
Ορισμός. Ας οριστεί η συνάρτηση f(x).
άπειρο διάστημα , όπου β< + . Если
υπάρχει
σι
λιμ
f(x)dx,
σι
ένα
τότε αυτό το όριο ονομάζεται ακατάλληλο
ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) στο διάστημα
}